1. (2024·眉山)不等式组$\begin{cases}2x + 1 ＞ x + 2, \\ x + 3 ≥ 2x - 1\end{cases}$的解集是( )

A.$x ＞ 1$
B.$x ≤ 4$
C.$x ＞ 1$或$x ≤ 4$
D.$1 ＜ x ≤ 4$

1. D

解不等式组：
1. 解不等式 $2x + 1 ＞ x + 2$，得 $x ＞ 1$；
2. 解不等式 $x + 3 ≥ 2x - 1$，得 $x ≤ 4$；
所以不等式组的解集为 $1 ＜ x ≤ 4$。
D

2. 不等式组$\begin{cases}2(x - 1) ≥ x - 4, \\ -\frac{1}{2}x ＞ -1\end{cases}$的解集表示在数轴上正确的是( )

2. C

解不等式组：
1. 解不等式 $2(x - 1) ≥ x - 4$：
$ 2x - 2 ≥ x - 4 $
$ 2x - x ≥ -4 + 2 $
$ x ≥ -2 $
2. 解不等式 $-\frac{1}{2}x ＞ -1$：
$ x ＜ 2 $
综上，不等式组的解集为 $-2 ≤ x ＜ 2$。
C

3. (2025·鹤壁期末)若不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0, \\ 3x + b ＜ 6\end{cases}$的解集为$2 ＜ x ＜ 3$，则$(a + b)^{2025}$的值为( )

A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$2025$

3. C

解：解不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0 \\ 3x + b ＜ 6\end{cases}$，得$a ＜ x ＜ \frac{6 - b}{3}$。
因为解集为$2 ＜ x ＜ 3$，所以$a = 2$，$\frac{6 - b}{3}=3$。
解得$b = -3$。
则$a + b = 2 + (-3) = -1$，$(a + b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
C

4. (2025·上海)不等式组$\begin{cases}\frac{x}{2} - 1 ＞ 0, \\ 2x + 3 ≥ x\end{cases}$的解集是 ______ 。

4. $ x ＞ 2 $

解不等式$\frac{x}{2} - 1 ＞ 0$，得$x＞2$；
解不等式$2x + 3 ≥ x$，得$x≥-3$；
不等式组的解集为$x＞2$。

5. 已知$y = 2x + 1$，若$-1 ＜ y ≤ 3$，则$x$的取值范围是。

5. $ -1 ＜ x ≤ 1 $

解：因为$y = 2x + 1$，且$-1 ＜ y ≤ 3$，所以$-1 ＜ 2x + 1 ≤ 3$。
不等式两边同时减1：$-1 - 1 ＜ 2x + 1 - 1 ≤ 3 - 1$，即$-2 ＜ 2x ≤ 2$。
不等式两边同时除以2：$-2÷2 ＜ 2x÷2 ≤ 2÷2$，得$-1 ＜ x ≤ 1$。
$-1 ＜ x ≤ 1$

6. 解下列不等式组：
(1)$\begin{cases}2x + 1 ＞ x, \\ x ＜ -3x + 8;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5 - 7x ＞ 2x - 4, \\ 1 - \frac{3}{4}(x - 1) ＜ 0.5;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}9x + 5 ＜ 8x + 7, \\ 3(x - 2) ＞ 5(x - 3);\end{cases}$
(4)$0 ＜ 2x - 3 ≤ 5$；
(5)$\begin{cases}x - 3(x - 2) ≥ 2, \\ \frac{2x - 1}{5} ＜ \frac{x + 1}{2};\end{cases}$
(6)$\begin{cases}10x ＞ 7x + 6, \\ x - 1 ＜ \frac{x + 7}{3}.\end{cases}$

$(1)$ 解不等式组$\begin{cases}2x + 1 ＞ x \\ x ＜ -3x + 8\end{cases}$
- 解不等式$2x + 1 ＞ x$：
移项可得$2x - x＞ - 1$，即$x＞ - 1$。
- 解不等式$x ＜ -3x + 8$：
移项得$x + 3x＜8$，即$4x＜8$，两边同时除以$4$，$x＜2$。
所以不等式组的解集为$-1＜x＜2$。
$(2)$ 解不等式组$\begin{cases}5 - 7x ＞ 2x - 4 \\ 1 - \frac{3}{4}(x - 1) ＜ 0.5\end{cases}$
- 解不等式$5 - 7x ＞ 2x - 4$：
移项得$-7x - 2x＞ - 4 - 5$，即$-9x＞ - 9$，两边同时除以$-9$，不等号变向，$x＜1$。
- 解不等式$1 - \frac{3}{4}(x - 1) ＜ 0.5$：
去括号得$1-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}＜0.5$，移项得$-\frac{3}{4}x＜0.5 - 1 - \frac{3}{4}$，即$-\frac{3}{4}x＜-\frac{5}{4}$，两边同时除以$-\frac{3}{4}$，不等号变向，$x＞\frac{5}{3}$。
因为$x＜1$与$x＞\frac{5}{3}$没有交集，所以该不等式组无解。
$(3)$ 解不等式组$\begin{cases}9x + 5 ＜ 8x + 7 \\ 3(x - 2) ＞ 5(x - 3)\end{cases}$
- 解不等式$9x + 5 ＜ 8x + 7$：
移项得$9x - 8x＜7 - 5$，即$x＜2$。
- 解不等式$3(x - 2) ＞ 5(x - 3)$：
去括号得$3x - 6＞5x - 15$，移项得$3x - 5x＞ - 15 + 6$，即$-2x＞ - 9$，两边同时除以$-2$，不等号变向，$x＜\frac{9}{2}$。
所以不等式组的解集为$x＜2$。
$(4)$ 解不等式$0＜2x - 3≤5$
- 解不等式$0＜2x - 3$：
移项得$2x＞3$，两边同时除以$2$，$x＞\frac{3}{2}$。
- 解不等式$2x - 3≤5$：
移项得$2x≤5 + 3$，即$2x≤8$，两边同时除以$2$，$x≤4$。
所以不等式的解集为$\frac{3}{2}＜x≤4$。
$(5)$ 解不等式组$\begin{cases}x - 3(x - 2) ≥ 2 \\ \frac{2x - 1}{5} ＜ \frac{x + 1}{2}\end{cases}$
- 解不等式$x - 3(x - 2) ≥ 2$：
去括号得$x - 3x + 6≥2$，移项得$x - 3x≥2 - 6$，即$-2x≥ - 4$，两边同时除以$-2$，不等号变向，$x≤2$。
- 解不等式$\frac{2x - 1}{5} ＜ \frac{x + 1}{2}$：
去分母得$2(2x - 1)＜5(x + 1)$，去括号得$4x - 2＜5x + 5$，移项得$4x - 5x＜5 + 2$，即$-x＜7$，两边同时除以$-1$，不等号变向，$x＞ - 7$。
所以不等式组的解集为$-7＜x≤2$。
$(6)$ 解不等式组$\begin{cases}10x ＞ 7x + 6 \\ x - 1 ＜ \frac{x + 7}{3}\end{cases}$
- 解不等式$10x ＞ 7x + 6$：
移项得$10x - 7x＞6$，即$3x＞6$，两边同时除以$3$，$x＞2$。
- 解不等式$x - 1 ＜ \frac{x + 7}{3}$：
去分母得$3(x - 1)＜x + 7$，去括号得$3x - 3＜x + 7$，移项得$3x - x＜7 + 3$，即$2x＜10$，两边同时除以$2$，$x＜5$。
所以不等式组的解集为$2＜x＜5$。
综上，答案依次为：$(1)$$-1＜x＜2$；$(2)$无解；$(3)$$x＜2$；$(4)$$\frac{3}{2}＜x≤4$；$(5)$$-7＜x≤2$；$(6)$$2＜x＜5$。