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7. (2025·淮安期末)已知不等式组$\begin{cases}2x - 1 ≥ 1, \\ x ≤ a\end{cases}$有解，则$a$的取值范围是( )
A.$a ＞ 1$
B.$a ＜ 1$
C.$a ≥ 1$
D.$a ≤ 1$
A.$a ＞ 1$
B.$a ＜ 1$
C.$a ≥ 1$
D.$a ≤ 1$
答案
7. C
解析
解不等式$2x - 1 ≥ 1$，得$2x ≥ 2$，$x ≥ 1$。
不等式组为$\begin{cases}x ≥ 1 \\ x ≤ a\end{cases}$，因为不等式组有解，所以$a ≥ 1$。
C
不等式组为$\begin{cases}x ≥ 1 \\ x ≤ a\end{cases}$，因为不等式组有解，所以$a ≥ 1$。
C
8. 不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\ \frac{x + 1}{2} - 1 ＜ x\end{cases}$的解集为$x ＞ -1$，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
8. $ a ≤ -1 $
解析
解不等式$\frac{x + 1}{2} - 1 ＜ x$，
$\frac{x + 1}{2} - 1 ＜ x$
$x + 1 - 2 ＜ 2x$
$x - 1 ＜ 2x$
$-1 ＜ x$，即$x ＞ -1$。
不等式组为$\begin{cases}x ＞ a \\ x ＞ -1\end{cases}$，其解集为$x ＞ -1$，所以$a ≤ -1$。
$a ≤ -1$
$\frac{x + 1}{2} - 1 ＜ x$
$x + 1 - 2 ＜ 2x$
$x - 1 ＜ 2x$
$-1 ＜ x$，即$x ＞ -1$。
不等式组为$\begin{cases}x ＞ a \\ x ＞ -1\end{cases}$，其解集为$x ＞ -1$，所以$a ≤ -1$。
$a ≤ -1$
9. 新定义：对于任何有理数$m$，符号$[m]$表示不大于$m$的最大整数. 已知$[x] = a$，则$a ≤ x ＜ a + 1$. 例如，若$[x] = 4$，则$4 ≤ x ＜ 5$. 如果$[x - 1] = 2024$，那么$x$的取值范围是
$ 2025 ≤ x ＜ 2026 $
。答案
9. $ 2025 ≤ x ＜ 2026 $
10. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\ x ＜ 4\end{cases}$恰有三个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
10. $ 0 ≤ a ＜ 1 $
解析
不等式组$\begin{cases}x ＞ a \\ x ＜ 4\end{cases}$的解集为$a ＜ x ＜ 4$。
因为该不等式组恰有三个整数解，而小于$4$的连续整数为$3$，$2$，$1$，所以这三个整数解只能是$1$，$2$，$3$。
由此可得$a$必须满足$0 ≤ a ＜ 1$。
$0 ≤ a ＜ 1$
因为该不等式组恰有三个整数解，而小于$4$的连续整数为$3$，$2$，$1$，所以这三个整数解只能是$1$，$2$，$3$。
由此可得$a$必须满足$0 ≤ a ＜ 1$。
$0 ≤ a ＜ 1$
11. 解下列不等式组：
(1)$\begin{cases}x - 3(x - 2) ≤ 4, \\ -\frac{3x + 1}{2} ＜ 1 - x;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}4(x - 1) ≥ x + 2, \\ \frac{2x + 1}{3} ＞ x - 1.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}x - 3(x - 2) ≤ 4, \\ -\frac{3x + 1}{2} ＜ 1 - x;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}4(x - 1) ≥ x + 2, \\ \frac{2x + 1}{3} ＞ x - 1.\end{cases}$
答案
11. 解：(1) $ \begin{cases} x - 3(x - 2) ≤ 4, & ① \\ -\frac{3x + 1}{2} ＜ 1 - x, & ② \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ≥ 1 $；解不等式②，得 $ x ＞ -3 $.
所以不等式组的解集是 $ x ≥ 1 $.
(2) $ \begin{cases} 4(x - 1) ≥ x + 2, & ① \\ \frac{2x + 1}{3} ＞ x - 1. & ② \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ≥ 2 $；解不等式②，得 $ x ＜ 4 $.
所以不等式组的解集为 $ 2 ≤ x ＜ 4 $.
解不等式①，得 $ x ≥ 1 $；解不等式②，得 $ x ＞ -3 $.
所以不等式组的解集是 $ x ≥ 1 $.
(2) $ \begin{cases} 4(x - 1) ≥ x + 2, & ① \\ \frac{2x + 1}{3} ＞ x - 1. & ② \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ≥ 2 $；解不等式②，得 $ x ＜ 4 $.
所以不等式组的解集为 $ 2 ≤ x ＜ 4 $.
12. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = -3m + 2, \\ x + 2y = 4\end{cases}$的解满足$\begin{cases}x + y ＞ -\frac{2}{3}, \\ x - y ＜ 2,\end{cases}$求整数$m$的值.
答案
12. 解：$ \begin{cases} 2x + y = -3m + 2, & ① \\ x + 2y = 4. & ② \end{cases} $
① + ②，得 $ 3(x + y) = -3m + 6 $，
所以 $ x + y = -m + 2 $.
① - ②，得 $ x - y = -3m - 2 $.
因为 $ \begin{cases} x + y ＞ -\frac{2}{3}, \\ x - y ＜ 2, \end{cases} $ 所以 $ \begin{cases} -m + 2 ＞ -\frac{2}{3}, \\ -3m - 2 ＜ 2, \end{cases} $
解得 $ -\frac{4}{3} ＜ m ＜ \frac{8}{3} $.
所以整数 $ m $ 的值为 $ -1, 0, 1, 2 $.
① + ②，得 $ 3(x + y) = -3m + 6 $，
所以 $ x + y = -m + 2 $.
① - ②，得 $ x - y = -3m - 2 $.
因为 $ \begin{cases} x + y ＞ -\frac{2}{3}, \\ x - y ＜ 2, \end{cases} $ 所以 $ \begin{cases} -m + 2 ＞ -\frac{2}{3}, \\ -3m - 2 ＜ 2, \end{cases} $
解得 $ -\frac{4}{3} ＜ m ＜ \frac{8}{3} $.
所以整数 $ m $ 的值为 $ -1, 0, 1, 2 $.
13. (2025·鼓楼区期末)已知不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\ x - a ≤ 1\end{cases}$的解集中每一个$x$的值均不在$3 ≤ x ＜ 5$的范围内，则$a$的取值范围为 ______ 。
答案
13. $ a ＜ 2 $ 或 $ a ≥ 5 $
解析
解不等式组$\begin{cases}x ＞ a \\ x - a ≤ 1\end{cases}$，得$a ＜ x ≤ a + 1$。
因为解集中每一个$x$的值均不在$3 ≤ x ＜ 5$的范围内，所以分两种情况：
情况一：$a + 1 ＜ 3$，解得$a ＜ 2$；
情况二：$a ≥ 5$。
综上，$a$的取值范围为$a ＜ 2$或$a ≥ 5$。
因为解集中每一个$x$的值均不在$3 ≤ x ＜ 5$的范围内，所以分两种情况：
情况一：$a + 1 ＜ 3$，解得$a ＜ 2$；
情况二：$a ≥ 5$。
综上，$a$的取值范围为$a ＜ 2$或$a ≥ 5$。
