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2. 已知 $ y=\sqrt{k - 1}x + 1 $ 是关于 $ x $ 的一次函数，则一元二次方程 $ kx^{2}+2x + 1 = 0 $ 的根的情况为(
A.没有实数根
B.有一个实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个相等的实数根
A
)A.没有实数根
B.有一个实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个相等的实数根
答案
A
解析
由于$y = \sqrt{k - 1}x + 1$是关于$x$的一次函数，
根据一次函数的定义，其系数$\sqrt{k - 1}$不能为0，
即：$k - 1 ＞ 0$，
解得：$k ＞ 1$，
对于一元二次方程$kx^{2} + 2x + 1 = 0$，
其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4k = 4 - 4k$
由于$k ＞ 1$，所以：
$4 - 4k ＜ 0$
即：$\Delta ＜ 0$。
因此，一元二次方程$kx^{2} + 2x + 1 = 0$没有实数根。
根据一次函数的定义，其系数$\sqrt{k - 1}$不能为0，
即：$k - 1 ＞ 0$，
解得：$k ＞ 1$，
对于一元二次方程$kx^{2} + 2x + 1 = 0$，
其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4k = 4 - 4k$
由于$k ＞ 1$，所以：
$4 - 4k ＜ 0$
即：$\Delta ＜ 0$。
因此，一元二次方程$kx^{2} + 2x + 1 = 0$没有实数根。
3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-bx + c = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1}=1,x_{2}=-2 $，则 $ b $ 与 $ c $ 的值分别为(
A.$ b=-1,c = 2 $
B.$ b = 1,c=-2 $
C.$ b = 1,c = 2 $
D.$ b=-1,c=-2 $
D
)A.$ b=-1,c = 2 $
B.$ b = 1,c=-2 $
C.$ b = 1,c = 2 $
D.$ b=-1,c=-2 $
答案
D
解析
对于一元二次方程$x^{2}-bx + c = 0$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=b$，$x_{1}x_{2}=c$。
已知$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$，则$b=x_{1}+x_{2}=1 + (-2)=-1$，$c=x_{1}x_{2}=1×(-2)= - 2$。
已知$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$，则$b=x_{1}+x_{2}=1 + (-2)=-1$，$c=x_{1}x_{2}=1×(-2)= - 2$。
4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-6x + n = 0 $ 的一个解为 $ x_{1}=1 $，则另一个解 $ x_{2}= $
5
.答案
5
解析
由题意可知，关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 6x + n = 0$ 的一个解为 $x_1 = 1$，设另一个解为 $x_2$。
根据一元二次方程的根与系数的关系可知：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 6$，其中 $a = 1$，$b = -6$。
将 $x_1 = 1$ 代入，得 $1 + x_2 = 6$，解得 $x_2 = 5$。
根据一元二次方程的根与系数的关系可知：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 6$，其中 $a = 1$，$b = -6$。
将 $x_1 = 1$ 代入，得 $1 + x_2 = 6$，解得 $x_2 = 5$。
5. 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-4x + 3 = 0 $ 与 $ \frac{1}{x - 1}=\frac{2}{x + a} $ 有一个解相同，则 $ a = $
1
.答案
【解析】：解方程$x^2 - 4x + 3 = 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 3) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
对于方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x + a}$，分母不能为零，所以$x \neq 1$且$x \neq -a$。
因为两个方程有一个解相同，而$x = 1$是第一个方程的解，但会使第二个方程分母为零，所以相同的解只能是$x = 3$。
将$x = 3$代入$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x + a}$，得$\frac{1}{3 - 1} = \frac{2}{3 + a}$，即$\frac{1}{2} = \frac{2}{3 + a}$，解得$3 + a = 4$，$a = 1$。
【答案】：1
对于方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x + a}$，分母不能为零，所以$x \neq 1$且$x \neq -a$。
因为两个方程有一个解相同，而$x = 1$是第一个方程的解，但会使第二个方程分母为零，所以相同的解只能是$x = 3$。
将$x = 3$代入$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x + a}$，得$\frac{1}{3 - 1} = \frac{2}{3 + a}$，即$\frac{1}{2} = \frac{2}{3 + a}$，解得$3 + a = 4$，$a = 1$。
【答案】：1
解析
首先，解方程$x^{2} - 4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 3) = 0$，
所以，该方程的解为$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
考虑方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x + a}$，
由于分母不能为0，所以$x \neq 1$，
因此，只能选择$x = 3$作为共同解，
将$x = 3$代入方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x + a}$，
得到$\frac{1}{3 - 1} = \frac{2}{3 + a}$，
即$\frac{1}{2} = \frac{2}{3 + a}$，
解这个方程，得到$3 + a = 4$，
所以，$a = 1$。
经过检验，当$a = 1$时，$x=3$是该分式方程的解。
因式分解得$(x - 1)(x - 3) = 0$，
所以，该方程的解为$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
考虑方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x + a}$，
由于分母不能为0，所以$x \neq 1$，
因此，只能选择$x = 3$作为共同解，
将$x = 3$代入方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x + a}$，
得到$\frac{1}{3 - 1} = \frac{2}{3 + a}$，
即$\frac{1}{2} = \frac{2}{3 + a}$，
解这个方程，得到$3 + a = 4$，
所以，$a = 1$。
经过检验，当$a = 1$时，$x=3$是该分式方程的解。
6. 某款文化衫，平均每天销售 40 件，每件盈利 20 元. 由于换季现准备降价销售，若每件降价 0.5 元，则每天可多售 5 件. 为了尽快减少库存且每天要盈利 1080 元，每件应降价
14
元.答案
【解析】：设每件降价$x$元，每件盈利$(20 - x)$元，每天多售$\frac{x}{0.5} × 5 = 10x$件，销售量为$(40 + 10x)$件。根据题意得$(20 - x)(40 + 10x) = 1080$，整理得$x^2 - 16x + 28 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 14$。为尽快减少库存，选择较大降价，故$x = 14$。
【答案】：14
【答案】：14
解析
设每件应降价$x$元，则每件盈利$(20 - x)$元。
每件降价$0.5$元多售$5$件，那么降价$x$元就多售$\frac{x}{0.5}×5 = 10x$件，实际每天销售$(40 + 10x)$件。
根据总盈利$=$每件盈利$×$销售数量，可列方程$(20 - x)(40 + 10x) = 1080$。
展开式子得$800+200x - 40x - 10x^{2}=1080$，即$-10x^{2}+160x + 800 = 1080$，移项化为标准的一元二次方程形式为$10x^{2}-160x + 280 = 0$，两边同时除以$10$得$x^{2}-16x + 28 = 0$。
分解因式得$(x - 2)(x - 14)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=14$。
因为要尽快减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，所以$x = 14$（舍去$x = 2$）。
每件降价$0.5$元多售$5$件，那么降价$x$元就多售$\frac{x}{0.5}×5 = 10x$件，实际每天销售$(40 + 10x)$件。
根据总盈利$=$每件盈利$×$销售数量，可列方程$(20 - x)(40 + 10x) = 1080$。
展开式子得$800+200x - 40x - 10x^{2}=1080$，即$-10x^{2}+160x + 800 = 1080$，移项化为标准的一元二次方程形式为$10x^{2}-160x + 280 = 0$，两边同时除以$10$得$x^{2}-16x + 28 = 0$。
分解因式得$(x - 2)(x - 14)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=14$。
因为要尽快减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，所以$x = 14$（舍去$x = 2$）。
7. 设 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-3x - 2 = 0 $ 的两个实数根，则 $ x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+x_{2}^{2} $ 的值为
7
.答案
7
解析
∵$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x - 2 = 0$的两个实数根，
∴由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-2$。
$x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}x_{2}=3^{2}+(-2)=9 - 2 = 7$。
∴由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-2$。
$x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}x_{2}=3^{2}+(-2)=9 - 2 = 7$。
8. 如果 $ (\sqrt{x}+1)^{2}-(\sqrt{x}+1)-2 = 0 $，那么 $ \sqrt{x}+1 = $
2
.答案
2
解析
设 $ \sqrt{x} + 1 = y $，则原方程可化为 $ y^2 - y - 2 = 0 $。
因式分解得：$ (y - 2)(y + 1) = 0 $，
解得：$ y_1 = 2 $，$ y_2 = -1 $。
由于 $ \sqrt{x} \geq 0 $，所以 $ \sqrt{x} + 1 \geq 1 $，因此 $ y = -1 $ 不符合题意，舍去。
所以 $ \sqrt{x} + 1 = 2 $。
因式分解得：$ (y - 2)(y + 1) = 0 $，
解得：$ y_1 = 2 $，$ y_2 = -1 $。
由于 $ \sqrt{x} \geq 0 $，所以 $ \sqrt{x} + 1 \geq 1 $，因此 $ y = -1 $ 不符合题意，舍去。
所以 $ \sqrt{x} + 1 = 2 $。
9. 已知方程 $ x^{2}+mx + 3 = 0 $ 的一个根是 1，则它的另一个根是
3
，$ m $ 的值是-4
.答案
3；-4
解析
设方程的另一个根为$x_2$。
由韦达定理得：$1 × x_2 = 3$，解得$x_2 = 3$；
$1 + x_2 = -m$，即$1 + 3 = -m$，解得$m = -4$。
由韦达定理得：$1 × x_2 = 3$，解得$x_2 = 3$；
$1 + x_2 = -m$，即$1 + 3 = -m$，解得$m = -4$。
10. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-4x + 3a - 1 = 0 $ 有两个实数根.
（1）求实数 $ a $ 的取值范围.
（2）若 $ a $ 为正整数，求方程的根.
（1）求实数 $ a $ 的取值范围.
（2）若 $ a $ 为正整数，求方程的根.
答案
（1）
方程 $x^{2} - 4x + 3a - 1 = 0$ 有两个实数根，需满足判别式 $\Delta \geq 0$，
$\Delta = (-4)^{2} - 4 × 1 × (3a - 1) = 16 - 12a + 4 = 20 - 12a$，
由 $\Delta \geq 0$ 得 $20 - 12a \geq 0$，
解得 $a \leq \frac{5}{3}$。
（2）
由 $a \leq \frac{5}{3}$ 且 $a$ 为正整数，得 $a = 1$，
将 $a = 1$ 代入原方程得 $x^{2} - 4x + 2 = 0$，
使用求根公式 $x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4 × 1 × 2}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$，
所以方程的根为 $x_{1} = 2 + \sqrt{2}$，$x_{2} = 2 - \sqrt{2}$。
方程 $x^{2} - 4x + 3a - 1 = 0$ 有两个实数根，需满足判别式 $\Delta \geq 0$，
$\Delta = (-4)^{2} - 4 × 1 × (3a - 1) = 16 - 12a + 4 = 20 - 12a$，
由 $\Delta \geq 0$ 得 $20 - 12a \geq 0$，
解得 $a \leq \frac{5}{3}$。
（2）
由 $a \leq \frac{5}{3}$ 且 $a$ 为正整数，得 $a = 1$，
将 $a = 1$ 代入原方程得 $x^{2} - 4x + 2 = 0$，
使用求根公式 $x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4 × 1 × 2}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$，
所以方程的根为 $x_{1} = 2 + \sqrt{2}$，$x_{2} = 2 - \sqrt{2}$。
