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8. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + 5 = 0(a\neq0) $ 的解是 $ x = 1 $，则 $ 2017 - a - b $ 的值是
2022
.答案
2022
解析
已知方程 $ax^2 + bx + 5 = 0$ 的解为 $x = 1$，将 $x = 1$ 代入方程得：
$a · 1^2 + b · 1 + 5 = 0$，
即 $a + b + 5 = 0$，
解得 $a + b = -5$。
所以 $2017 - a - b = 2017 - (a + b) = 2017 - (-5) = 2022$。
$a · 1^2 + b · 1 + 5 = 0$，
即 $a + b + 5 = 0$，
解得 $a + b = -5$。
所以 $2017 - a - b = 2017 - (a + b) = 2017 - (-5) = 2022$。
9. 已知 $ x = 2 $ 是一元二次方程 $ x^{2}+mx + 2 = 0 $ 的一个解，则 $ m $ 的值是
-3
.答案
-3
解析
将 $ x = 2 $ 代入方程 $ x^{2} + mx + 2 = 0 $，得 $ 2^{2} + 2m + 2 = 0 $，即 $ 4 + 2m + 2 = 0 $，化简得 $ 6 + 2m = 0 $，解得 $ m = -3 $。
10. 若 $ \alpha,\beta $ 是一元二次方程 $ x^{2}+2x - 6 = 0 $ 的两个实数根，则 $ \alpha^{2}+\beta^{2}= $
16
.答案
16
解析
∵α,β是一元二次方程$x^{2}+2x - 6 = 0$的两个实数根，
∴根据韦达定理，α+β=-2，αβ=-6。
∵α²+β²=(α+β)²-2αβ，
∴α²+β²=(-2)² - 2×(-6)=4 + 12=16。
∴根据韦达定理，α+β=-2，αβ=-6。
∵α²+β²=(α+β)²-2αβ，
∴α²+β²=(-2)² - 2×(-6)=4 + 12=16。
11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+3x + k^{2}=0 $ 的一个根是 $ x = -1 $，则 $ k = $
$\pm\sqrt{2}$
.答案
$\pm\sqrt{2}$
解析
将 $ x = -1 $ 代入方程 $ x^{2} + 3x + k^{2} = 0 $，得$(-1)^{2} + 3×(-1) + k^{2} = 0$，即$1 - 3 + k^{2} = 0$，$-2 + k^{2} = 0$，$k^{2} = 2$，解得$k = \pm\sqrt{2}$。
12. 解方程.
（1）$ x^{2}-4x + 1 = 0 $.（配方法）
（2）$ x^{2}+3x + 1 = 0 $.（公式法）
（1）$ x^{2}-4x + 1 = 0 $.（配方法）
（2）$ x^{2}+3x + 1 = 0 $.（公式法）
答案
（1）
$x^{2} - 4x + 1 = 0$，
移项，得$x^{2} - 4x = - 1$，
配方，得$x^{2} - 4x + 4 = - 1 + 4$，
即$(x - 2)^{2} = 3$，
开平方，得$x - 2 = \pm \sqrt{3}$，
所以$x_{1} = 2 + \sqrt{3}$，$x_{2} = 2 - \sqrt{3}$。
（2）
对于方程$x^{2} + 3x + 1 = 0$，
其中$a = 1$，$b = 3$，$c = 1$，
因为$\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 × 1 × 1 = 5 ＞ 0$，
所以代入求根公式，得$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$，
即$x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2}$。
$x^{2} - 4x + 1 = 0$，
移项，得$x^{2} - 4x = - 1$，
配方，得$x^{2} - 4x + 4 = - 1 + 4$，
即$(x - 2)^{2} = 3$，
开平方，得$x - 2 = \pm \sqrt{3}$，
所以$x_{1} = 2 + \sqrt{3}$，$x_{2} = 2 - \sqrt{3}$。
（2）
对于方程$x^{2} + 3x + 1 = 0$，
其中$a = 1$，$b = 3$，$c = 1$，
因为$\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 × 1 × 1 = 5 ＞ 0$，
所以代入求根公式，得$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$，
即$x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2}$。
13. 先化简，再求值：$ (\frac{a + 2}{a^{2}-2a}+\frac{8}{4 - a^{2}})÷\frac{a^{2}-4}{a} $，其中 $ a $ 满足方程 $ a^{2}+4a + 1 = 0 $.
答案
$\frac{1}{3}$
解析
化简过程：
1. 对分母因式分解：
$a^2 - 2a = a(a - 2)$，$4 - a^2 = -(a^2 - 4) = -(a - 2)(a + 2)$。
2. 通分并化简括号内分式：
$ \begin{aligned} &\frac{a + 2}{a(a - 2)} + \frac{8}{-(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{(a + 2)^2 - 8a}{a(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{a^2 + 4a + 4 - 8a}{a(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{a^2 - 4a + 4}{a(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{(a - 2)^2}{a(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{a - 2}{a(a + 2)}. \end{aligned} $
3. 除法变乘法并化简：
$ \frac{a - 2}{a(a + 2)} ÷ \frac{a^2 - 4}{a} = \frac{a - 2}{a(a + 2)} · \frac{a}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{(a + 2)^2}. $
求值：
由$a^2 + 4a + 1 = 0$，得$a^2 + 4a = -1$。
$(a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4 = -1 + 4 = 3$，故原式$=\frac{1}{3}$。
1. 对分母因式分解：
$a^2 - 2a = a(a - 2)$，$4 - a^2 = -(a^2 - 4) = -(a - 2)(a + 2)$。
2. 通分并化简括号内分式：
$ \begin{aligned} &\frac{a + 2}{a(a - 2)} + \frac{8}{-(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{(a + 2)^2 - 8a}{a(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{a^2 + 4a + 4 - 8a}{a(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{a^2 - 4a + 4}{a(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{(a - 2)^2}{a(a - 2)(a + 2)} \\ =&\frac{a - 2}{a(a + 2)}. \end{aligned} $
3. 除法变乘法并化简：
$ \frac{a - 2}{a(a + 2)} ÷ \frac{a^2 - 4}{a} = \frac{a - 2}{a(a + 2)} · \frac{a}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{(a + 2)^2}. $
求值：
由$a^2 + 4a + 1 = 0$，得$a^2 + 4a = -1$。
$(a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4 = -1 + 4 = 3$，故原式$=\frac{1}{3}$。
1. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + k = 0 $ 没有实数根，则一次函数 $ y=(k - 1)x + 3 $ 的图象经过(
A.第二、三、四象限
B.第一、二、三象限
C.第一、三、四象限
D.第一、二、四象限
B
)A.第二、三、四象限
B.第一、二、三象限
C.第一、三、四象限
D.第一、二、四象限
答案
B
解析
对于一元二次方程$x^{2}+2x + k = 0$，判别式$\Delta = 2^2 - 4×1×k = 4 - 4k$。因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即$4 - 4k ＜ 0$，解得$k ＞ 1$。则$k - 1 ＞ 0$，所以一次函数$y=(k - 1)x + 3$中，斜率$k - 1 ＞ 0$，截距$3 ＞ 0$，其图象经过第一、二、三象限。
