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一、平均变化率问题
1. (2026安阳月考)某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验.一月初水稻采收产量为200 t，三月初水稻采收产量增至242 t.假设技术稳定，每月产量的增长率相同.
(1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率.
(2)按此增长率，预计四月初水稻采收的产量将达到多少吨？
1. (2026安阳月考)某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验.一月初水稻采收产量为200 t，三月初水稻采收产量增至242 t.假设技术稳定，每月产量的增长率相同.
(1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率.
(2)按此增长率，预计四月初水稻采收的产量将达到多少吨？
答案
1. 解:(1)设在该栽培模式下,每月产量的平均增长率为x.根据题意,得200(1+x)²=242,解得x₁=0.1=10%,x₂=-2.1(不合题意,舍去).答:在该栽培模式下,每月产量的平均增长率为10%.
(2)242×(1+10%)=242×1.1=266.2(t).答:预计四月初水稻采收的产量将达到266.2 t.
(2)242×(1+10%)=242×1.1=266.2(t).答:预计四月初水稻采收的产量将达到266.2 t.
解析
【分析】
（1）本题属于平均增长率类实际应用问题，解题可依据增长率通用数量关系：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，增长$n$次后的量为$a(1+x)^n$。本题初始量是一月初的200t，到三月初共增长2次，增长后的产量为242t，据此设未知数列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）四月初产量是三月初产量增长1次的结果，直接用三月初产量乘$(1+增长率)$计算即可。
【解析】
（1）设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$200(1+x)^2=242$
方程两边同时除以200得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于产量增长率不能为负，因此$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
（2）四月初产量为三月初产量增长一次的结果，计算得：
$242×(1+10\%)=242×1.1=266.2(\mathrm{t})$
【答案】
（1）每月产量的平均增长率为$10\%$；（2）预计四月初水稻采收的产量将达到$266.2\ \mathrm{t}$
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是掌握增长率的计算公式，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，是应用类题型的常考类型。
【难度系数】
0.8
（1）本题属于平均增长率类实际应用问题，解题可依据增长率通用数量关系：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，增长$n$次后的量为$a(1+x)^n$。本题初始量是一月初的200t，到三月初共增长2次，增长后的产量为242t，据此设未知数列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）四月初产量是三月初产量增长1次的结果，直接用三月初产量乘$(1+增长率)$计算即可。
【解析】
（1）设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$200(1+x)^2=242$
方程两边同时除以200得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于产量增长率不能为负，因此$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
（2）四月初产量为三月初产量增长一次的结果，计算得：
$242×(1+10\%)=242×1.1=266.2(\mathrm{t})$
【答案】
（1）每月产量的平均增长率为$10\%$；（2）预计四月初水稻采收的产量将达到$266.2\ \mathrm{t}$
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是掌握增长率的计算公式，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，是应用类题型的常考类型。
【难度系数】
0.8
二、营销问题
2. (2026 济南期末)某超市销售一款零食礼盒,平均每天可售出 50 盒,每盒盈利 15 元.为了提升销量、增加盈利,超市决定适当降价,经测算发现,每盒礼盒每降低 1 元,平均每天可多售出 10 盒.
(1)若每盒礼盒降价 4 元时,平均每天可售出多少盒礼盒? 此时每天销售获利多少元?
(2)在每盒盈利不少于 5 元的前提下,要使该礼盒每天销售获利 1 000 元,问每盒礼盒应降价多少元?
2. (2026 济南期末)某超市销售一款零食礼盒,平均每天可售出 50 盒,每盒盈利 15 元.为了提升销量、增加盈利,超市决定适当降价,经测算发现,每盒礼盒每降低 1 元,平均每天可多售出 10 盒.
(1)若每盒礼盒降价 4 元时,平均每天可售出多少盒礼盒? 此时每天销售获利多少元?
(2)在每盒盈利不少于 5 元的前提下,要使该礼盒每天销售获利 1 000 元,问每盒礼盒应降价多少元?
答案
2. 解:(1)
∵每盒礼盒每降低1元,平均每天可多售出10盒,
∴每盒礼盒降价4元时,平均每天可多售出$\frac{4}{1}×10=$40(盒),此时平均每天售出礼盒50+40=90(盒),每天获利90×(15-4)=990(元).答:每盒礼盒降价4元时,平均每天可售出90盒礼盒,此时每天销售获利990元.
(2)设每盒礼盒应降价x元,则平均每天可多售出10x盒,根据题意,得$(50+10x)(15-x)=1\ 000$,解得$x_1=x_2=5$,当每盒礼盒降价5元时,每盒盈利15-5=10(元),10＞5,符合题意.答:每盒礼盒应降价5元.
∵每盒礼盒每降低1元,平均每天可多售出10盒,
∴每盒礼盒降价4元时,平均每天可多售出$\frac{4}{1}×10=$40(盒),此时平均每天售出礼盒50+40=90(盒),每天获利90×(15-4)=990(元).答:每盒礼盒降价4元时,平均每天可售出90盒礼盒,此时每天销售获利990元.
(2)设每盒礼盒应降价x元,则平均每天可多售出10x盒,根据题意,得$(50+10x)(15-x)=1\ 000$,解得$x_1=x_2=5$,当每盒礼盒降价5元时,每盒盈利15-5=10(元),10＞5,符合题意.答:每盒礼盒应降价5元.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据“每降价1元多售出10盒”的数量关系，先计算降价4元时增加的销量，加上原有销量得到总销量；再用原单盒盈利减去降价金额得到降价后的单盒盈利，最后根据“总利润=单盒盈利×总销量”计算总获利即可。
(2) 解题思路：设降价金额为未知数x，用含x的代数式分别表示出降价后的总销量和单盒盈利，结合总获利1000元的等量关系列一元二次方程求解；最后根据“每盒盈利不少于5元”的限制条件，检验方程的根是否符合题意，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) 已知每盒降价1元，平均每天多售出10盒，那么降价4元时，多售出的盒数为：$4×10=40$（盒）
此时平均每天售出的盒数为：$50+40=90$（盒）
降价后每盒盈利为：$15-4=11$（元）
总获利为：$90×11=990$（元）
(2) 设每盒礼盒应降价x元，则平均每天可多售出10x盒，此时单盒盈利为$(15-x)$元，总销量为$(50+10x)$盒。
根据总获利1000元列方程得：
$(50+10x)(15-x)=1000$
整理得：$x^2-10x+25=0$
因式分解得：$(x-5)^2=0$
解得：$x_1=x_2=5$
检验限制条件：每盒盈利不少于5元，即$15-x≥5$，当x=5时，$15-5=10≥5$，符合题意。
【答案】
(1) 平均每天可售出90盒礼盒，此时每天销售获利990元；
(2) 每盒礼盒应降价5元。
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，解的合理性检验
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心要抓住“总利润=单件利润×销售数量”这一核心等量关系列方程求解，解题时需特别注意题目给出的限制条件，对求出的方程的根进行检验，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先根据“每降价1元多售出10盒”的数量关系，先计算降价4元时增加的销量，加上原有销量得到总销量；再用原单盒盈利减去降价金额得到降价后的单盒盈利，最后根据“总利润=单盒盈利×总销量”计算总获利即可。
(2) 解题思路：设降价金额为未知数x，用含x的代数式分别表示出降价后的总销量和单盒盈利，结合总获利1000元的等量关系列一元二次方程求解；最后根据“每盒盈利不少于5元”的限制条件，检验方程的根是否符合题意，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) 已知每盒降价1元，平均每天多售出10盒，那么降价4元时，多售出的盒数为：$4×10=40$（盒）
此时平均每天售出的盒数为：$50+40=90$（盒）
降价后每盒盈利为：$15-4=11$（元）
总获利为：$90×11=990$（元）
(2) 设每盒礼盒应降价x元，则平均每天可多售出10x盒，此时单盒盈利为$(15-x)$元，总销量为$(50+10x)$盒。
根据总获利1000元列方程得：
$(50+10x)(15-x)=1000$
整理得：$x^2-10x+25=0$
因式分解得：$(x-5)^2=0$
解得：$x_1=x_2=5$
检验限制条件：每盒盈利不少于5元，即$15-x≥5$，当x=5时，$15-5=10≥5$，符合题意。
【答案】
(1) 平均每天可售出90盒礼盒，此时每天销售获利990元；
(2) 每盒礼盒应降价5元。
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，解的合理性检验
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心要抓住“总利润=单件利润×销售数量”这一核心等量关系列方程求解，解题时需特别注意题目给出的限制条件，对求出的方程的根进行检验，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
三、几何图形动点问题
3. 如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,AD=8 cm.点P从点A出发沿AB边以2 cm/s的速度向终点B运动;同时点Q从点B出发沿BC边以1 cm/s的速度向终点C运动.当点P到达点B时,点Q也随之停止运动.
(1)出发几秒后,点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍?
(2)在点P,Q的运动过程中,是否存在某个时刻,使得△DPQ的面积是16 cm²?若存在,请求出运动的时间;若不存在,请说明理由.
3. 如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,AD=8 cm.点P从点A出发沿AB边以2 cm/s的速度向终点B运动;同时点Q从点B出发沿BC边以1 cm/s的速度向终点C运动.当点P到达点B时,点Q也随之停止运动.
(1)出发几秒后,点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍?
(2)在点P,Q的运动过程中,是否存在某个时刻,使得△DPQ的面积是16 cm²?若存在,请求出运动的时间;若不存在,请说明理由.
答案
3. 解:(1)设出发x s后,点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍,此时AP=2x cm,BP=(10-2x) cm,BQ=x cm.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴$PD^2=AP^2+AD^2$,$PQ^2=BP^2+BQ^2$.
∵PD=2PQ,即$PD^2=4PQ^2$,
∴$(2x)^2+8^2=4[(10-2x)^2+x^2]$,解得$x_1=3$,$x_2=7$.当x=7时,10-2x＜0,不合题意,舍去,
∴x=3.答:出发3 s后,点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍.
(2)不存在.理由如下:设出发y s后,$△ DPQ$的面积是16 cm².
∵$S_{△ DPQ}=S_{矩形ABCD}-S_{△ ADP}-S_{△ BQP}-S_{△ DCQ}$,
∴$\frac{1}{2}×8×2y+\frac{1}{2}(10-2y)·y+\frac{1}{2}(8-y)·10=80-16$,整理,得$y^2-8y+24=0$.
∵$\Delta=(-8)^2-4×24=-32＜0$,
∴该方程无实数解,
∴不存在某个时刻,使得$△ DPQ$的面积是16 cm².
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴$PD^2=AP^2+AD^2$,$PQ^2=BP^2+BQ^2$.
∵PD=2PQ,即$PD^2=4PQ^2$,
∴$(2x)^2+8^2=4[(10-2x)^2+x^2]$,解得$x_1=3$,$x_2=7$.当x=7时,10-2x＜0,不合题意,舍去,
∴x=3.答:出发3 s后,点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍.
(2)不存在.理由如下:设出发y s后,$△ DPQ$的面积是16 cm².
∵$S_{△ DPQ}=S_{矩形ABCD}-S_{△ ADP}-S_{△ BQP}-S_{△ DCQ}$,
∴$\frac{1}{2}×8×2y+\frac{1}{2}(10-2y)·y+\frac{1}{2}(8-y)·10=80-16$,整理,得$y^2-8y+24=0$.
∵$\Delta=(-8)^2-4×24=-32＜0$,
∴该方程无实数解,
∴不存在某个时刻,使得$△ DPQ$的面积是16 cm².
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，先设运动时间为x s，根据P、Q的运动速度用含x的代数式表示出AP、BP、BQ的长度，结合矩形的直角性质，用勾股定理分别表示$PD^2$和$PQ^2$，再根据PD=2PQ可得$PD^2=4PQ^2$，据此列一元二次方程求解，最后结合动点的运动范围（x≤5，P到达B点的时长为10÷2=5s）对解进行取舍。
(2) 解决第二问时，直接计算△DPQ的面积较复杂，可采用割补法：△DPQ的面积等于矩形ABCD的面积减去周围三个直角三角形的面积，设运动时间为y s，根据面积关系列方程，再通过判断一元二次方程根的判别式的符号，确定方程是否有符合要求的实根，即可判断是否存在该时刻。
【解析】
(1) 设出发x s后，点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍，此时AP=2x cm，BP=(10-2x) cm，BQ=x cm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由勾股定理得：$PD^2=AP^2+AD^2$，$PQ^2=BP^2+BQ^2$.
∵PD=2PQ，
∴$PD^2=4PQ^2$，
代入得：$(2x)^2+8^2=4[(10-2x)^2+x^2]$，
解得$x_1=3$，$x_2=7$.
∵点P运动总时长为$10÷2=5s$，即$0≤x≤5$，
∴x=7不合题意，舍去，故x=3.
(2) 不存在，理由如下：
设出发y s后，$△ DPQ$的面积是16 cm².
矩形ABCD的面积为$10×8=80\ \mathrm{cm^2}$，
由$S_{△ DPQ}=S_{矩形ABCD}-S_{△ ADP}-S_{△ BQP}-S_{△ DCQ}$，
代入各面积公式得：
$80-\frac{1}{2}×8×2y-\frac{1}{2}(10-2y)·y-\frac{1}{2}(8-y)×10=16$，
整理得：$y^2-8y+24=0$.
∵判别式$\Delta=(-8)^2-4×1×24=-32＜0$，
∴该方程无实数解，即不存在满足条件的时刻。
【答案】
(1) 出发3 s后，点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍；
(2) 不存在这样的时刻。
【知识点】
勾股定理、一元二次方程的应用、割补法求面积
【点评】
本题以矩形动点问题为载体，考查了方程思想和数形结合思想的应用，解题时要注意结合动点的运动范围对解进行取舍，将不规则图形的面积通过割补法转化为规则图形面积的和差是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问时，先设运动时间为x s，根据P、Q的运动速度用含x的代数式表示出AP、BP、BQ的长度，结合矩形的直角性质，用勾股定理分别表示$PD^2$和$PQ^2$，再根据PD=2PQ可得$PD^2=4PQ^2$，据此列一元二次方程求解，最后结合动点的运动范围（x≤5，P到达B点的时长为10÷2=5s）对解进行取舍。
(2) 解决第二问时，直接计算△DPQ的面积较复杂，可采用割补法：△DPQ的面积等于矩形ABCD的面积减去周围三个直角三角形的面积，设运动时间为y s，根据面积关系列方程，再通过判断一元二次方程根的判别式的符号，确定方程是否有符合要求的实根，即可判断是否存在该时刻。
【解析】
(1) 设出发x s后，点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍，此时AP=2x cm，BP=(10-2x) cm，BQ=x cm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由勾股定理得：$PD^2=AP^2+AD^2$，$PQ^2=BP^2+BQ^2$.
∵PD=2PQ，
∴$PD^2=4PQ^2$，
代入得：$(2x)^2+8^2=4[(10-2x)^2+x^2]$，
解得$x_1=3$，$x_2=7$.
∵点P运动总时长为$10÷2=5s$，即$0≤x≤5$，
∴x=7不合题意，舍去，故x=3.
(2) 不存在，理由如下：
设出发y s后，$△ DPQ$的面积是16 cm².
矩形ABCD的面积为$10×8=80\ \mathrm{cm^2}$，
由$S_{△ DPQ}=S_{矩形ABCD}-S_{△ ADP}-S_{△ BQP}-S_{△ DCQ}$，
代入各面积公式得：
$80-\frac{1}{2}×8×2y-\frac{1}{2}(10-2y)·y-\frac{1}{2}(8-y)×10=16$，
整理得：$y^2-8y+24=0$.
∵判别式$\Delta=(-8)^2-4×1×24=-32＜0$，
∴该方程无实数解，即不存在满足条件的时刻。
【答案】
(1) 出发3 s后，点P,D之间的距离是点P,Q之间距离的2倍；
(2) 不存在这样的时刻。
【知识点】
勾股定理、一元二次方程的应用、割补法求面积
【点评】
本题以矩形动点问题为载体，考查了方程思想和数形结合思想的应用，解题时要注意结合动点的运动范围对解进行取舍，将不规则图形的面积通过割补法转化为规则图形面积的和差是解题的关键。
【难度系数】
0.6
