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1. 一元二次方程的概念
如果一个方程只含有
那么这样的方程称为一元二次方程。
如果一个方程只含有
一
个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2
，那么这样的方程称为一元二次方程。
答案
1. 一 2
解析
【分析】
我们可以通过拆分“一元二次方程”的名称来梳理定义要素：“一元”对应未知数的数量，指方程仅含有1个未知数；“二次”对应含未知数项的最高次数，指整理后最高次数为2。结合题目给出的定义表述，直接对应填入两个核心要素即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2的整式方程，称为一元二次方程。因此第一个空填“一”，第二个空填“2”。
【答案】
一 2
【知识点】
一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，牢记一元二次方程名称中“一元”“二次”对应的定义特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
我们可以通过拆分“一元二次方程”的名称来梳理定义要素：“一元”对应未知数的数量，指方程仅含有1个未知数；“二次”对应含未知数项的最高次数，指整理后最高次数为2。结合题目给出的定义表述，直接对应填入两个核心要素即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2的整式方程，称为一元二次方程。因此第一个空填“一”，第二个空填“2”。
【答案】
一 2
【知识点】
一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，牢记一元二次方程名称中“一元”“二次”对应的定义特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程的一般形式
一般地,关于x的一元二次方程通过整理可以使右边为0,它的一般形式是$ax^2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)$,其中a,b,c分别叫作
一般地,关于x的一元二次方程通过整理可以使右边为0,它的一般形式是$ax^2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)$,其中a,b,c分别叫作
二次项系数
、一次项系数
和常数项
。答案
2. 二次项系数 一次项系数 常数项
解析
【分析】
本题是对一元二次方程一般形式基础概念的考察，解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式的结构：$ax^2+bx+c=0(a≠0)$共包含三部分，含$x^2$的项是二次项，它前面的系数a就对应二次项系数；含x的项是一次项，它前面的系数b对应一次项系数；不含未知数的单独常数c就是常数项，直接对应概念填空即可，注意a≠0是该方程为一元二次方程的必要条件，若a为0，方程就没有二次项，不属于一元二次方程了。
【解析】
根据一元二次方程一般形式的定义可知，关于x的一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（a、b、c为常数，$a≠0$）中，a是二次项$ax^2$的系数，叫做二次项系数；b是一次项$bx$的系数，叫做一次项系数；c是不含未知数的项，叫做常数项。因此三个空依次填入对应名称即可。
【答案】
二次项系数 一次项系数 常数项
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察对一元二次方程基本构成的掌握情况，是后续学习一元二次方程解法、实际应用的核心基础，需熟练记忆相关定义。
【难度系数】
0.9
本题是对一元二次方程一般形式基础概念的考察，解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式的结构：$ax^2+bx+c=0(a≠0)$共包含三部分，含$x^2$的项是二次项，它前面的系数a就对应二次项系数；含x的项是一次项，它前面的系数b对应一次项系数；不含未知数的单独常数c就是常数项，直接对应概念填空即可，注意a≠0是该方程为一元二次方程的必要条件，若a为0，方程就没有二次项，不属于一元二次方程了。
【解析】
根据一元二次方程一般形式的定义可知，关于x的一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（a、b、c为常数，$a≠0$）中，a是二次项$ax^2$的系数，叫做二次项系数；b是一次项$bx$的系数，叫做一次项系数；c是不含未知数的项，叫做常数项。因此三个空依次填入对应名称即可。
【答案】
二次项系数 一次项系数 常数项
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察对一元二次方程基本构成的掌握情况，是后续学习一元二次方程解法、实际应用的核心基础，需熟练记忆相关定义。
【难度系数】
0.9
【例1】(2025衡阳期末)下列方程中，是一元二次方程的是（
A. $x^2 -5x=0$
B. $x+1=0$
C. $y-2x=0$
D. $2x^3 -2=0$
易错提醒 对于一元二次方程应注意以下三点：
(1)必须是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2。
A
）A. $x^2 -5x=0$
B. $x+1=0$
C. $y-2x=0$
D. $2x^3 -2=0$
易错提醒 对于一元二次方程应注意以下三点：
(1)必须是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2。
答案
【例1】 A
解析
【分析】
判断一元二次方程需紧扣三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件需同时满足。解题时我们就用这三个条件逐一核对每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 方程$x^2 -5x=0$是整式方程，仅含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，符合一元二次方程的全部判定条件；
B. 方程$x+1=0$中未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
C. 方程$y-2x=0$含有$x$、$y$两个未知数，属于二元一次方程，不符合要求；
D. 方程$2x^3 -2=0$中未知数的最高次数为3，属于一元三次方程，不符合要求。
综上，只有A选项符合一元二次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，只要准确掌握一元二次方程的三个判定标准，逐一排查选项就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
判断一元二次方程需紧扣三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件需同时满足。解题时我们就用这三个条件逐一核对每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 方程$x^2 -5x=0$是整式方程，仅含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，符合一元二次方程的全部判定条件；
B. 方程$x+1=0$中未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
C. 方程$y-2x=0$含有$x$、$y$两个未知数，属于二元一次方程，不符合要求；
D. 方程$2x^3 -2=0$中未知数的最高次数为3，属于一元三次方程，不符合要求。
综上，只有A选项符合一元二次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，只要准确掌握一元二次方程的三个判定标准，逐一排查选项就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
【变式】若关于$x$的方程$(a-1)x^2 -3x=1$是一元二次方程，则 （
A.$a=0$
B.$a=1$
C.$a≠0$
D.$a≠1$
方法技巧 如果明确指出方程$ax^2 +bx +c=0$是一元二次方程，那么就隐含了$a≠0$这一重要条件。
D
）A.$a=0$
B.$a=1$
C.$a≠0$
D.$a≠1$
方法技巧 如果明确指出方程$ax^2 +bx +c=0$是一元二次方程，那么就隐含了$a≠0$这一重要条件。
答案
【变式】 D
解析
【分析】
要判断方程是一元二次方程，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$，其中隐含要求二次项系数$A≠0$。首先找到给定方程的二次项系数，再根据系数不为0列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
首先将方程$(a-1)x^2 -3x=1$整理为一元二次方程的一般形式：
$(a-1)x^2 - 3x - 1 = 0$
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此：
$a - 1 ≠ 0$
解得$a ≠ 1$，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，解题的核心是注意一元二次方程中“二次项系数不为0”的隐含限制条件，避免遗漏该条件选错答案。
【难度系数】
0.8
要判断方程是一元二次方程，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$，其中隐含要求二次项系数$A≠0$。首先找到给定方程的二次项系数，再根据系数不为0列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
首先将方程$(a-1)x^2 -3x=1$整理为一元二次方程的一般形式：
$(a-1)x^2 - 3x - 1 = 0$
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此：
$a - 1 ≠ 0$
解得$a ≠ 1$，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，解题的核心是注意一元二次方程中“二次项系数不为0”的隐含限制条件，避免遗漏该条件选错答案。
【难度系数】
0.8
【例2】把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$(2t+3)^2 - 2(t-5)^2 = -41$；
(2)$\frac{1}{2}(x-1)^2 = 3x + \frac{1}{3}$.
(1)$(2t+3)^2 - 2(t-5)^2 = -41$；
(2)$\frac{1}{2}(x-1)^2 = 3x + \frac{1}{3}$.
答案
【例2】解:(1)去括号,得
$4t^2 +12t +9 -2t^2 +20t -50 = -41$.
移项、合并同类项,得 $2t^2 +32t =0$,
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为 2,32,0.
(2)去括号,得$\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{1}{2} = 3x +\frac{1}{3}$,
移项、合并同类项,得$\frac{1}{2}x^2 -4x +\frac{1}{6} =0$,
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为$\frac{1}{2},-4,\frac{1}{6}$.
$4t^2 +12t +9 -2t^2 +20t -50 = -41$.
移项、合并同类项,得 $2t^2 +32t =0$,
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为 2,32,0.
(2)去括号,得$\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{1}{2} = 3x +\frac{1}{3}$,
移项、合并同类项,得$\frac{1}{2}x^2 -4x +\frac{1}{6} =0$,
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为$\frac{1}{2},-4,\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
要解决这类问题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数且$a\ne0$），解题思路如下：第一步用完全平方公式去掉方程中的括号，第二步将所有项移到等号左侧，合并同类项后整理为等号右侧为0的标准形式，最后对应提取二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意系数要包含本身的符号，常数项为0时不可漏写。
【解析】
(1) 利用完全平方公式去括号，得：
$4t^2 +12t +9 -2(t^2-10t+25) = -41$
即$4t^2 +12t +9 -2t^2 +20t -50 = -41$
移项、合并同类项，得：$2t^2 +32t = 0$
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，32，0。
(2) 利用完全平方公式去括号，得：
$\frac{1}{2}(x^2-2x+1) = 3x + \frac{1}{3}$
即$\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{1}{2} = 3x + \frac{1}{3}$
移项、合并同类项，得：$\frac{1}{2}x^2 -4x +\frac{1}{6} =0$
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为$\frac{1}{2}$，$-4$，$\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 一般形式为$2t^2+32t=0$，二次项系数2，一次项系数32，常数项0；
(2) 一般形式为$\frac{1}{2}x^2-4x+\frac{1}{6}=0$，二次项系数$\frac{1}{2}$，一次项系数$-4$，常数项$\frac{1}{6}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 完全平方公式
3. 整式加减运算
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题时需注意去括号时的符号变化，移项要变号，确定各项系数时不要遗漏本身的符号，常数项为0时也要明确标注，避免漏项。
【难度系数】
0.8
要解决这类问题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数且$a\ne0$），解题思路如下：第一步用完全平方公式去掉方程中的括号，第二步将所有项移到等号左侧，合并同类项后整理为等号右侧为0的标准形式，最后对应提取二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意系数要包含本身的符号，常数项为0时不可漏写。
【解析】
(1) 利用完全平方公式去括号，得：
$4t^2 +12t +9 -2(t^2-10t+25) = -41$
即$4t^2 +12t +9 -2t^2 +20t -50 = -41$
移项、合并同类项，得：$2t^2 +32t = 0$
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，32，0。
(2) 利用完全平方公式去括号，得：
$\frac{1}{2}(x^2-2x+1) = 3x + \frac{1}{3}$
即$\frac{1}{2}x^2 -x +\frac{1}{2} = 3x + \frac{1}{3}$
移项、合并同类项，得：$\frac{1}{2}x^2 -4x +\frac{1}{6} =0$
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为$\frac{1}{2}$，$-4$，$\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 一般形式为$2t^2+32t=0$，二次项系数2，一次项系数32，常数项0；
(2) 一般形式为$\frac{1}{2}x^2-4x+\frac{1}{6}=0$，二次项系数$\frac{1}{2}$，一次项系数$-4$，常数项$\frac{1}{6}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 完全平方公式
3. 整式加减运算
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，解题时需注意去括号时的符号变化，移项要变号，确定各项系数时不要遗漏本身的符号，常数项为0时也要明确标注，避免漏项。
【难度系数】
0.8
【变式】(2026 益阳期中)一元二次方程$x^2 - 3 = 5x$化成一般形式后，二次项系数为1，其一次项系数为 （
A.3
B.$-3$
C.$-5$
D.5
C
）A.3
B.$-3$
C.$-5$
D.5
答案
【变式】 C
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先将给定方程通过移项转化为一般形式，移项需注意移动的项要变号，再对应找到一次项，提取其带符号的系数即可。
【解析】
将原方程$x^2 - 3 = 5x$移项，把右边的$5x$移到左边，符号变为负，整理得一元二次方程的一般形式：$x^2 -5x -3 = 0$。
该方程二次项系数为1，符合题目条件，其中一次项为$-5x$，因此一次项系数为$-5$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程一般形式；移项法则
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是移项时忘记变号，或是确定系数时漏掉前面的正负号，熟练掌握一元二次方程的相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.7
首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先将给定方程通过移项转化为一般形式，移项需注意移动的项要变号，再对应找到一次项，提取其带符号的系数即可。
【解析】
将原方程$x^2 - 3 = 5x$移项，把右边的$5x$移到左边，符号变为负，整理得一元二次方程的一般形式：$x^2 -5x -3 = 0$。
该方程二次项系数为1，符合题目条件，其中一次项为$-5x$，因此一次项系数为$-5$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程一般形式；移项法则
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是移项时忘记变号，或是确定系数时漏掉前面的正负号，熟练掌握一元二次方程的相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.7
【例3】用一张矩形纸片做一个容积为750 cm³，高为6 cm，底面的长比宽多5 cm的无盖长方体粉笔盒.若设这个粉笔盒的底面宽为x cm，请列出关于x的一元二次方程，并将其化为一般形式.
答案
【例3】解:长方体底面的宽为 x cm,则底面的长为$(x+5)$cm.
由题意,得$(x+5)·x·6=750$,
整理,得 $6x^2 +30x -750=0$,
∴此方程的一般形式为 $6x^2 +30x -750=0$,即 $x^2 +5x -125=0$.
由题意,得$(x+5)·x·6=750$,
整理,得 $6x^2 +30x -750=0$,
∴此方程的一般形式为 $6x^2 +30x -750=0$,即 $x^2 +5x -125=0$.
解析
【分析】
解题时首先回忆长方体容积的计算公式：容积=底面积×高。题目已经设底面宽为x cm，首先根据“长比宽多5 cm”表示出底面的长，再用长×宽得到底面积，结合已知的高和容积，找到等量关系列出方程，最后通过去括号、移项将方程整理为ax²+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程一般形式即可。
【解析】
已知粉笔盒底面宽为x cm，则底面的长为$(x+5)$ cm。
根据长方体容积=长×宽×高，代入已知容积为$750\ \mathrm{cm}^3$、高为6 cm，可得：
$6· x·(x+5)=750$
去括号得：$6x^2 + 30x = 750$
移项整理为一般形式：$6x^2 + 30x - 750 = 0$，两边同时除以6化简可得：$x^2 + 5x - 125 = 0$
【答案】
所列方程为$6x(x+5)=750$，一般形式为$x^2 + 5x - 125 = 0$（或$6x^2 + 30x - 750 = 0$）
【知识点】
长方体容积公式；一元二次方程的列写；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心是找准等量关系，正确用含未知数的式子表示出底面的长，再结合体积公式列方程，化简时注意一元二次方程一般形式的规范要求。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆长方体容积的计算公式：容积=底面积×高。题目已经设底面宽为x cm，首先根据“长比宽多5 cm”表示出底面的长，再用长×宽得到底面积，结合已知的高和容积，找到等量关系列出方程，最后通过去括号、移项将方程整理为ax²+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程一般形式即可。
【解析】
已知粉笔盒底面宽为x cm，则底面的长为$(x+5)$ cm。
根据长方体容积=长×宽×高，代入已知容积为$750\ \mathrm{cm}^3$、高为6 cm，可得：
$6· x·(x+5)=750$
去括号得：$6x^2 + 30x = 750$
移项整理为一般形式：$6x^2 + 30x - 750 = 0$，两边同时除以6化简可得：$x^2 + 5x - 125 = 0$
【答案】
所列方程为$6x(x+5)=750$，一般形式为$x^2 + 5x - 125 = 0$（或$6x^2 + 30x - 750 = 0$）
【知识点】
长方体容积公式；一元二次方程的列写；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心是找准等量关系，正确用含未知数的式子表示出底面的长，再结合体积公式列方程，化简时注意一元二次方程一般形式的规范要求。
【难度系数】
0.8
