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【例1】把下列多项式因式分解：
(1)$x^2+12x+36$；
(2)$a^2-4ab+4b^2$。
规律总结 因式分解的一般步骤:(1)若有公因式则先提公因式.(2)若没有公因式则对代数式进行整体观察,若有两项,则可能用平方差公式分解;若有三项则可能用完全平方公式分解。
(1)$x^2+12x+36$；
(2)$a^2-4ab+4b^2$。
规律总结 因式分解的一般步骤:(1)若有公因式则先提公因式.(2)若没有公因式则对代数式进行整体观察,若有两项,则可能用平方差公式分解;若有三项则可能用完全平方公式分解。
答案
(1) 原式$=(x+6)^2$.
(2) 原式$=a^2-4ab+(2b)^2=(a-2b)^2$.
(2) 原式$=a^2-4ab+(2b)^2=(a-2b)^2$.
解析
【分析】
这两道是三项式的因式分解题目，按照因式分解的常规步骤思考：首先检查两个多项式均无公因式，再结合三项式的特征，优先判断是否符合完全平方公式的结构。完全平方公式因式分解的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时只需找准公式中对应的a、b两项即可：
(1)题中首项$x^2$对应公式里的$a^2$，末项$36=6^2$对应$b^2$，中间项$12x=2× x×6$对应$2ab$，符合完全平方和的结构；
(2)题中首项$a^2$对应$a^2$，末项$4b^2=(2b)^2$对应$b^2$，中间项$-4ab=-2× a×2b$对应$-2ab$，符合完全平方差的结构。
【解析】
(1) 原式可变形为$x^2+2· x·6+6^2$，根据完全平方和公式因式分解可得：
原式$=(x+6)^2$
(2) 原式可变形为$a^2-2· a·2b+(2b)^2$，根据完全平方差公式因式分解可得：
原式$=(a-2b)^2$
【答案】
(1) $(x+6)^2$
(2) $(a-2b)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时只要准确识别公式中的平方项和中间乘积项，注意符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这两道是三项式的因式分解题目，按照因式分解的常规步骤思考：首先检查两个多项式均无公因式，再结合三项式的特征，优先判断是否符合完全平方公式的结构。完全平方公式因式分解的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时只需找准公式中对应的a、b两项即可：
(1)题中首项$x^2$对应公式里的$a^2$，末项$36=6^2$对应$b^2$，中间项$12x=2× x×6$对应$2ab$，符合完全平方和的结构；
(2)题中首项$a^2$对应$a^2$，末项$4b^2=(2b)^2$对应$b^2$，中间项$-4ab=-2× a×2b$对应$-2ab$，符合完全平方差的结构。
【解析】
(1) 原式可变形为$x^2+2· x·6+6^2$，根据完全平方和公式因式分解可得：
原式$=(x+6)^2$
(2) 原式可变形为$a^2-2· a·2b+(2b)^2$，根据完全平方差公式因式分解可得：
原式$=(a-2b)^2$
【答案】
(1) $(x+6)^2$
(2) $(a-2b)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时只要准确识别公式中的平方项和中间乘积项，注意符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【变式1】(杭州模拟)把多项式$x^2 - 2xy + y^2$因式分解的结果是 （
A.$(x+y)^2$
B.$(x-y)^2$
C.$(2x-y)^2$
D.$(x-2y)^2$
B
）A.$(x+y)^2$
B.$(x-y)^2$
C.$(2x-y)^2$
D.$(x-2y)^2$
答案
B
解析
【分析】
本题考查利用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。接下来观察待分解的多项式：第一项是x的平方，第三项是y的平方，中间项是x和y乘积的-2倍，完全符合两数差的完全平方公式的结构，直接套用公式即可得到因式分解结果，再匹配选项选出答案即可。
【解析】
首先写出完全平方差的因式分解公式：$\boldsymbol{a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2}$。
观察多项式$x^2 - 2xy + y^2$，可对应公式中的参数：$a=x$，$b=y$，满足$x^2=a^2$，$y^2=b^2$，中间项$-2xy=-2· x· y=-2ab$，代入公式得：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$。
对比选项，B选项与计算结果一致。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对完全平方公式结构的识别与应用，熟记完全平方公式的形式，准确区分和、差两种完全平方的符号特征是解题核心，注意不要和其他因式分解公式混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查利用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。接下来观察待分解的多项式：第一项是x的平方，第三项是y的平方，中间项是x和y乘积的-2倍，完全符合两数差的完全平方公式的结构，直接套用公式即可得到因式分解结果，再匹配选项选出答案即可。
【解析】
首先写出完全平方差的因式分解公式：$\boldsymbol{a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2}$。
观察多项式$x^2 - 2xy + y^2$，可对应公式中的参数：$a=x$，$b=y$，满足$x^2=a^2$，$y^2=b^2$，中间项$-2xy=-2· x· y=-2ab$，代入公式得：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$。
对比选项，B选项与计算结果一致。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对完全平方公式结构的识别与应用，熟记完全平方公式的形式，准确区分和、差两种完全平方的符号特征是解题核心，注意不要和其他因式分解公式混淆。
【难度系数】
0.9
【变式2】把下列多项式因式分解：
(1)$a^2 + 8a + 16$；
(2)$4a^3 - 4a^2 + a$；
(3)$4 - 12(x - y) + 9(x - y)^2$。
(1)$a^2 + 8a + 16$；
(2)$4a^3 - 4a^2 + a$；
(3)$4 - 12(x - y) + 9(x - y)^2$。
答案
(1) $a^2+8a+16=a^2+2·a·4+4^2=(a+4)^2$.
(2) $4a^3-4a^2+a=a(4a^2-4a+1)=a(2a-1)^2$.
(3) $4-12(x-y)+9(x-y)^2=2^2-2×2×3(x-y)+[3(x-y)]^2=[2-3(x-y)]^2=(2-3x+3y)^2$.
(2) $4a^3-4a^2+a=a(4a^2-4a+1)=a(2a-1)^2$.
(3) $4-12(x-y)+9(x-y)^2=2^2-2×2×3(x-y)+[3(x-y)]^2=[2-3(x-y)]^2=(2-3x+3y)^2$.
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的思路，结合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$解题：
1. 第(1)题无公因式，观察式子可知首项是$a$的平方，尾项是4的平方，中间项是$a$与4乘积的2倍，符合完全平方和公式结构，直接套用公式即可。
2. 第(2)题先提取公因式$a$，再判断剩余三项式符合完全平方差公式结构，再次套用公式分解即可。
3. 第(3)题将$(x-y)$看作整体，首项是2的平方，尾项是$3(x-y)$的平方，中间项是2与$3(x-y)$乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式结构，套用公式后化简括号内的式子即可。
【解析】
(1) 套用完全平方和公式：
$a^2+8a+16=a^2+2·a·4+4^2=(a+4)^2$
(2) 先提公因式，再套用完全平方差公式：
$4a^3-4a^2+a=a(4a^2-4a+1)=a(2a-1)^2$
(3) 把$(x-y)$看作整体套用公式后化简：
$4-12(x-y)+9(x-y)^2=2^2-2×2×3(x-y)+[3(x-y)]^2=[2-3(x-y)]^2=(2-3x+3y)^2$
【答案】
(1) $(a+4)^2$
(2) $a(2a-1)^2$
(3) $(2-3x+3y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式法因式分解、整体代换思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意先提公因式再套用公式，遇到重复出现的多项式时可将其看作整体简化运算，最后要检查结果是否分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的思路，结合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$解题：
1. 第(1)题无公因式，观察式子可知首项是$a$的平方，尾项是4的平方，中间项是$a$与4乘积的2倍，符合完全平方和公式结构，直接套用公式即可。
2. 第(2)题先提取公因式$a$，再判断剩余三项式符合完全平方差公式结构，再次套用公式分解即可。
3. 第(3)题将$(x-y)$看作整体，首项是2的平方，尾项是$3(x-y)$的平方，中间项是2与$3(x-y)$乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式结构，套用公式后化简括号内的式子即可。
【解析】
(1) 套用完全平方和公式：
$a^2+8a+16=a^2+2·a·4+4^2=(a+4)^2$
(2) 先提公因式，再套用完全平方差公式：
$4a^3-4a^2+a=a(4a^2-4a+1)=a(2a-1)^2$
(3) 把$(x-y)$看作整体套用公式后化简：
$4-12(x-y)+9(x-y)^2=2^2-2×2×3(x-y)+[3(x-y)]^2=[2-3(x-y)]^2=(2-3x+3y)^2$
【答案】
(1) $(a+4)^2$
(2) $a(2a-1)^2$
(3) $(2-3x+3y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式法因式分解、整体代换思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意先提公因式再套用公式，遇到重复出现的多项式时可将其看作整体简化运算，最后要检查结果是否分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
【例2】用简便方法进行计算：
(1)$800^2 - 1600 × 798 + 798^2$；
(2)$42.5^2 + 85 × 57.5 + 57.5^2$。
(1)$800^2 - 1600 × 798 + 798^2$；
(2)$42.5^2 + 85 × 57.5 + 57.5^2$。
答案
(1) 原式$=800^2-2×800×798+798^2=(800-798)^2=4$.
(2) 原式$=42.5^2+2×42.5×57.5+57.5^2=(42.5+57.5)^2=10 000$.
(2) 原式$=42.5^2+2×42.5×57.5+57.5^2=(42.5+57.5)^2=10 000$.
解析
【分析】
观察两个算式的结构，均符合完全平方公式的展开形式特征，解题时可先将中间项转化为2ab的形式，再逆用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$进行简便计算，无需直接计算高次幂，可大幅减少计算量。其中：(1)式中$1600=2×800$，对应完全平方差公式的2ab项，a为800，b为798；(2)式中$85=2×42.5$，对应完全平方和公式的2ab项，a为42.5，b为57.5。
【解析】
(1) 先将中间项变形为2ab的形式：
原式$=800^2-2×800×798+798^2$
逆用完全平方差公式计算：
$=(800-798)^2$
$=2^2=4$
(2) 先将中间项变形为2ab的形式：
原式$=42.5^2+2×42.5×57.5+57.5^2$
逆用完全平方和公式计算：
$=(42.5+57.5)^2$
$=100^2=10000$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{10000}$
【知识点】
完全平方公式；有理数简便运算
【点评】
本题属于简便运算类基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式中对应的a、b项，通过逆用完全平方公式简化计算，避免直接计算平方带来的繁琐运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
观察两个算式的结构，均符合完全平方公式的展开形式特征，解题时可先将中间项转化为2ab的形式，再逆用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$进行简便计算，无需直接计算高次幂，可大幅减少计算量。其中：(1)式中$1600=2×800$，对应完全平方差公式的2ab项，a为800，b为798；(2)式中$85=2×42.5$，对应完全平方和公式的2ab项，a为42.5，b为57.5。
【解析】
(1) 先将中间项变形为2ab的形式：
原式$=800^2-2×800×798+798^2$
逆用完全平方差公式计算：
$=(800-798)^2$
$=2^2=4$
(2) 先将中间项变形为2ab的形式：
原式$=42.5^2+2×42.5×57.5+57.5^2$
逆用完全平方和公式计算：
$=(42.5+57.5)^2$
$=100^2=10000$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{10000}$
【知识点】
完全平方公式；有理数简便运算
【点评】
本题属于简便运算类基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式中对应的a、b项，通过逆用完全平方公式简化计算，避免直接计算平方带来的繁琐运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
