【变式1】已知正方形的面积为$(x^2 - 4x + 4)\mathrm{cm}^2(x＞2)$，则正方形的周长是（）

A.$(2-x)\mathrm{cm}$
B.$(x-2)\mathrm{cm}$
C.$(8-4x)\mathrm{cm}$
D.$(4x-8)\mathrm{cm}$

D

【分析】
解题时先明确正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此第一步需要将给出的面积表达式利用完全平方公式因式分解，转化为平方的形式；再结合题目给出的x＞2的条件，确定边长为正数，得到边长的表达式；最后根据正方形周长=4×边长的公式计算出周长，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：首先对面积表达式进行因式分解：
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
已知正方形面积=边长²，且$x＞2$，因此$x-2＞0$，可得正方形的边长为$(x-2)\mathrm{cm}$。
根据正方形周长公式计算周长：
周长$=4× 边长 = 4(x-2) = (4x-8)\mathrm{cm}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 正方形周长与面积计算
3. 代数式化简
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础题，解题核心是正确运用完全平方公式分解因式，同时结合边长为正的实际意义确定边长表达式，再代入周长公式计算即可，整体考察内容比较基础。
【难度系数】
0.8

【变式2】若$a+b=4,ab=-6$,求代数式$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值.

解:$a^3b+2a^2b^2+ab^3=ab(a^2+2ab+b^2)=ab(a+b)^2$.
当 $a+b=4,ab=-6$ 时，
原式$=-6×16=-96$.

【分析】
本题若直接求解a、b的值计算量较大，因此考虑用整体代入的思想解题。首先观察所求代数式的结构，每一项都含有公因式ab，先提取公因式，再判断余下的多项式符合完全平方公式的结构特征，将代数式变形为只含a+b和ab的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
第一步：对代数式因式分解
先提取公因式$ab$：
$a^3b+2a^2b^2+ab^3=ab(a^2+2ab+b^2)$
再根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，进一步变形得：
原式$=ab(a+b)^2$
第二步：代入已知数值计算
已知$a+b=4$，$ab=-6$，将其代入上式：
原式$=-6×4^2=-6×16=-96$
【答案】
$-96$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是利用因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，运用整体代入思想简化计算，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.8

1. (上海模拟)下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是 ()

A.$x^2 + 2x -1$
B.$x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$
C.$x^2 + 2x +4$
D.$x^2 -6x +9$

D

【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式因式分解，首先需明确完全平方公式因式分解的结构特征：可因式分解的三项式需满足$a^2\pm2ab+b^2$的形式，即①为三项式；②有两项是两个式子的平方且符号相同；③第三项是这两个式子乘积的2倍，符号可正可负。我们只需按这个特征逐个验证选项即可。
【解析】
完全平方公式因式分解的公式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐项分析：
选项A：$x^2+2x-1$中，平方项$x^2$和$-1$符号相反，不符合要求，不能用完全平方公式因式分解；
选项B：$x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$中，两个平方项为$x^2$和$(\frac{1}{2})^2$，对应中间项应为$\pm2· x·\frac{1}{2}=\pm x$，与原式中间项$\frac{1}{4}x$不符，不能用完全平方公式因式分解；
选项C：$x^2+2x+4$中，两个平方项为$x^2$和$2^2$，对应中间项应为$\pm2· x·2=\pm4x$，与原式中间项$2x$不符，不能用完全平方公式因式分解；
选项D：$x^2-6x+9$可变形为$x^2-2· x·3+3^2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-3)^2$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题主要考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，解题核心是牢记完全平方公式的三项结构特点，逐一验证即可得到正确答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 将$x^2 - 2x +1$因式分解的结果是（）

A.$(x-1)^2$
B.$(x+1)^2$
C.$x^2 +1$
D.$x^2 -1$

A

【分析】
本题考查利用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：第一步先回忆完全平方公式的结构特征，完全平方差公式为$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$；第二步将所给多项式和公式结构做对比，找到公式中$a$、$b$对应的项；第三步代入公式得到因式分解的结果，最后匹配选项即可。
【解析】
解：观察多项式$x^2 - 2x +1$：
首项$x^2 = x^2$，尾项$1 = 1^2$，
中间项$-2x = -2 × x × 1$，完全符合完全平方差公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$的结构，其中$a=x$，$b=1$。
代入公式得：$x^2 -2x +1 = (x-1)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对完全平方公式结构的识别与应用，只要熟练掌握完全平方公式的形式，准确匹配公式中的各项，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3.若多项式$4a^2 +1$加上一个单项式以后，能够进行因式分解，这个单项式不可能是（）

A.$4a^4$
B.$5a^2$
C.$-5a^2$
D.$-4a$

B

【分析】
这道题考查因式分解的应用，解题思路是将每个选项的单项式分别与多项式$4a^2+1$相加，再用学过的因式分解方法（公式法：完全平方公式、平方差公式）判断是否能分解，不能分解的选项就是答案。解题时要牢记两类乘法公式的结构特征，逐个验证即可得出结果。
【解析】
我们逐个代入选项验证：
1. 选项A：加上$4a^4$后，多项式为$4a^4 + 4a^2 + 1$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$4a^4 +4a^2 +1=(2a^2+1)^2$，能因式分解，不符合题意；
2. 选项B：加上$5a^2$后，多项式为$4a^2 +1 +5a^2=9a^2 +1$，该式没有公因式，也不符合平方差公式（无减号）、完全平方公式的结构，无法进行因式分解，符合题意；
3. 选项C：加上$-5a^2$后，多项式为$4a^2 +1 -5a^2=1 -a^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$1 -a^2=(1+a)(1-a)$，能因式分解，不符合题意；
4. 选项D：加上$-4a$后，多项式为$4a^2 -4a +1$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$4a^2 -4a +1=(2a-1)^2$，能因式分解，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查因式分解常用方法的灵活运用，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，通过逐一验证的方法即可解题，做题时要细心观察多项式的结构，避免漏看公式的适用条件。
【难度系数】
0.7

4.因式分解：$9m^2 -6m +1=$.

4. $(3m-1)^2$

【分析】
首先观察待分解的多项式，它是三项式，优先考虑用完全平方公式进行因式分解。第一步先找平方项：$9m^2$是$(3m)$的平方，常数项$1$是$1$的平方；第二步验证中间项：中间项$-6m$恰好是两个平方项底数乘积的2倍且带负号，符合完全平方差公式的结构特征，因此可以直接套用公式完成因式分解。
【解析】
解：先将原式变形为完全平方公式的标准形式：
$9m^2 -6m +1=(3m)^2 - 2× 3m× 1 + 1^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=3m$，$b=1$，代入可得：
原式$=(3m-1)^2$
【答案】
$(3m-1)^2$
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，只要能准确识别出公式中的对应项，就能快速求解。
【难度系数】
0.8

5.若$a + b = -2$，则$a^2 + 2ab + b^2$的值为。

5. 4

【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现$a^2+2ab+b^2$刚好是完全平方和公式的展开形式，因此我们可以逆用完全平方公式，先将所求代数式转化为含$a+b$的形式，再代入已知条件$a+b=-2$进行计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方和公式可知：
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
已知$a+b=-2$，将其代入上式可得：
原式$=(-2)^2=4$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查完全平方公式的逆用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9

6. 把下列多项式因式分解：
(1)$x^2 - 14x + 49$；
(2)$3x^3 + 12x^2 + 12x$；
(3)$(a + b)^2 - 4ab$。

(1) 原式$=x^2-2×7x+7^2=(x-7)^2$.
(2) 原式$=3x(x^2+4x+4)=3x(x+2)^2$.
(3) 原式$=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：先观察多项式是否有公因式，有则先提取公因式；再判断剩余式子是否符合乘法公式的结构特征，符合则套用公式分解；最后检查分解结果是否彻底。
(1) 该式无公因式，对比完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，$x^2$对应$a^2$，$49=7^2$对应$b^2$，$-14x=-2× x×7$对应$-2ab$，可直接套用公式。
(2) 三项有公因式$3x$，先提取公因式，剩余的$x^2+4x+4$符合完全平方和公式结构，再套用公式分解。
(3) 先将$(a+b)^2$展开整理，合并同类项后所得式子符合完全平方差公式结构，再套用公式分解。
【解析】
(1) 原式$=x^2-2×7x+7^2=(x-7)^2$
(2) 原式$=3x(x^2+4x+4)=3x(x+2)^2$
(3) 原式$=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
【答案】
(1) $(x-7)^2$
(2) $3x(x+2)^2$
(3) $(a-b)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式因式分解、整式乘法展开
【点评】
本题属于因式分解基础运算题，解题时要严格按照分解步骤操作，对于含括号的多项式可先展开整理再判断分解方式，需注意最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.85

7.若$x^2+(m-3)x+4$能运用完全平方公式进行因式分解,则常数$m$的值为 （）

A.1或5
B.7或-1
C.5
D.1

B

【分析】
解题时先回忆完全平方公式的结构：完全平方公式分为和的平方、差的平方两种，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，符合该结构的二次三项式可因式分解为完全平方形式。本题中二次三项式的首项为$x^2$，常数项为$4=2^2$，因此中间项的系数应为±2倍的首项底数乘尾项底数，据此列方程求解m即可，注意不要遗漏中间项为负的情况。
【解析】
已知$x^2+(m-3)x+4$可运用完全平方公式因式分解，结合完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$分析：
式子的首项对应$a=x$，常数项对应$b^2=4$，即$b=\pm2$，因此一次项系数满足：
$m-3=\pm2×1×2=\pm4$
分两种情况计算：
1. 当$m-3=4$时，解得$m=7$；
2. 当$m-3=-4$时，解得$m=-1$。
综上，m的值为7或-1，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用，易错点是容易只考虑完全平方和的情况，忽略完全平方差的中间项符号为负，从而出现漏解，熟练掌握完全平方公式的两种结构是解题的核心。
【难度系数】
0.6

8.已知$|x - 2y - 1| + x^2 + 4xy + 4y^2 = 0$，则$x + y$的值为。

8. $\frac{1}{4}$

【分析】
首先观察等式左边的结构，发现$x^2+4xy+4y^2$符合完全平方公式的形式，可因式分解为$(x+2y)^2$，此时等式变为绝对值加平方的形式。根据绝对值和偶次幂的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值后即可计算$x+y$的结果。
【解析】
先对等式左边的多项式因式分解：
原式可变形为：$|x - 2y - 1| + (x + 2y)^2 = 0$
∵ 绝对值和完全平方均为非负数，即$|x - 2y - 1|≥0$，$(x + 2y)^2≥0$
两个非负数的和为0，则两个非负数分别为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - 2y - 1 = 0 \\x + 2y = 0\end{cases}$
将两个方程相加，得$2x - 1 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$
把$x = \frac{1}{2}$代入$x + 2y = 0$，得$\frac{1}{2} + 2y = 0$，解得$y = -\frac{1}{4}$
∴ $x + y = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.非负数的性质 3.二元一次方程组的解法
【点评】
本题是代数基础综合题，解题关键是先利用完全平方公式对多项式变形，再结合非负数的性质列方程组求解，能很好地考查学生对基础公式和性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

9.(沈阳模拟)用简便方法计算：$99^2 + 202 × 99 + 101^2 = \_\_\_\_\_\_$

9. 40 000

【分析】
首先观察算式的结构特征，发现式子中包含两个平方项$99^2$和$101^2$，再将中间项$202×99$变形为$2×99×101$，刚好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2$的结构，其中$a=99$，$b=101$，因此可以利用完全平方公式将原式变形后计算，避免直接计算大数平方的繁琐过程，降低出错率。
【解析】
解：$\begin{aligned}原式&=99^2 + 2×99×101 + 101^2\\&=(99+101)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方和公式）}\\&=200^2\\&=40000\end{aligned}$
【答案】
40000
【知识点】
完全平方公式；整式简便运算
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构的识别能力，熟练掌握公式“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的特征是快速解题的核心，通过凑完全平方的方法能大幅简化运算，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

10.阅读材料：
把多项式因式分解:$(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$.
解:将“$x+y$”看成整体,设$x+y=m$,则原式$=m^2 + 2m +1=(m+1)^2$.再将$x+y=m$代入,得原式$=(x+y+1)^2$.
上述解题用到的是“整体思想”,请你运用“整体思想”把下列多项式因式分解:
(1)$1 - 2(x - y) + (x - y)^2$;
(2)$(y^2 - 4y)(y^2 - 4y +8)+16$.

(1) $1-2(x-y)+(x-y)^2$，
将“$x-y$”看成整体，
设$x-y=m$,则原式$=1-2m+m^2=(1-m)^2$。
将$x-y=m$代入,得原式$=(1-x+y)^2$。
(2) $(y^2-4y)(y^2-4y+8)+16$，
将“$y^2-4y$”看成整体，
设$y^2-4y=m$,则原式$=m(m+8)+16=m^2+8m+16=(m+4)^2$。
将$y^2-4y=m$代入,得原式$=(y^2-4y+4)^2=(y-2)^4$。

【分析】
本题考查整体思想在因式分解中的应用，解题思路如下：首先观察多项式结构，找到式子中重复出现的部分作为整体，通过设整体为新的字母进行换元，将原式转化为熟悉的整式形式，再利用完全平方公式进行因式分解，最后将新字母替换回原来的整体，必要时进一步化简或继续分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) 对多项式$1 - 2(x - y) + (x - y)^2$：
将“$x-y$”看成整体，设$x-y=m$，
则原式$=1-2m+m^2$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，
因此$1-2m+m^2=(1-m)^2$，
将$x-y=m$代回，得原式$=(1-(x-y))^2=(1-x+y)^2$。
(2) 对多项式$(y^2 - 4y)(y^2 - 4y +8)+16$：
将“$y^2-4y$”看成整体，设$y^2-4y=m$，
则原式$=m(m+8)+16$，展开整理得$m^2+8m+16$，
符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，
因此$m^2+8m+16=(m+4)^2$，
将$y^2-4y=m$代回，得原式$=(y^2-4y+4)^2$，
其中$y^2-4y+4=(y-2)^2$，因此最终结果为$[(y-2)^2]^2=(y-2)^4$。
【答案】
(1) $\boxed{(1-x+y)^2}$
(2) $\boxed{(y-2)^4}$
【知识点】
整体换元思想；因式分解；完全平方公式
【点评】
本题核心是考查整体思想的灵活运用，解题关键是准确识别多项式中重复出现的结构，通过换元简化式子降低因式分解难度，最后要注意因式分解必须分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7