一、十字相乘法
1. 用十字相乘法分解因式：
(1)$x^2+6x-27=$;
(2)$6x^2-7x-3=$;
(3)$20(x+y)^2+7(x+y)-6=$.

1. (1) (x+9)(x−3)
(2) (3x+1)(2x−3)
(3) (4x+4y+3)(5x+5y−2)

【分析】
十字相乘法分解因式的核心思路是拆分二次项系数和常数项，交叉相乘求和后等于一次项系数即可完成拆分：①对于二次项系数为1的$x^2+px+q$型，需找两个数$a、b$满足$a+b=p$，$ab=q$，分解为$(x+a)(x+b)$；②对于二次项系数不为1的$ax^2+bx+c$型，将$a$拆为$a_1×a_2$，$c$拆为$c_1×c_2$，满足$a_1c_2+a_2c_1=b$，分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$；③若式子有相同的整体项，可先将整体换元简化计算，最后再回代即可。
【解析】
(1) 分解$x^2+6x-27$：
二次项系数1拆为$1×1$，常数项-27拆为$9×(-3)$，交叉验证：$1×(-3)+1×9=6$，等于一次项系数，因此原式$=(x+9)(x-3)$。
(2) 分解$6x^2-7x-3$：
二次项系数6拆为$3×2$，常数项-3拆为$1×(-3)$，交叉验证：$3×(-3)+2×1=-7$，等于一次项系数，因此原式$=(3x+1)(2x-3)$。
(3) 分解$20(x+y)^2+7(x+y)-6$：
设$t=x+y$，原式转化为$20t^2+7t-6$；二次项系数20拆为$4×5$，常数项-6拆为$3×(-2)$，交叉验证：$4×(-2)+5×3=7$，等于一次项系数，因此$20t^2+7t-6=(4t+3)(5t-2)$；将$t=x+y$回代得：原式$=[4(x+y)+3][5(x+y)-2]=(4x+4y+3)(5x+5y-2)$。
【答案】
(1) $(x+9)(x−3)$；(2) $(3x+1)(2x−3)$；(3) $(4x+4y+3)(5x+5y−2)$
【知识点】
十字相乘法分解因式，换元思想，因式分解
【点评】
本题主要考查十字相乘法在因式分解中的应用，覆盖了二次项系数为1、不为1以及整体代换三种常见考法，解题时要注意拆分后交叉验证是否匹配一次项系数，换元后记得回代还原原式，避免出现漏项错误。
【难度系数】
0.7

2.阅读:用“十字相乘法”分解因式 $2x^2 - x - 3$ 的方法.
(1)二次项系数 $2 = 1 × 2$.
(2)常数项 $-3 = -1 × 3 = 1 × (-3)$.
验算:“交叉相乘之和”.

①$1 × 3 + 2 × (-1) = 1$;
②$1 × (-1) + 2 × 3 = 5$;
③$1 × (-3) + 2 × 1 = -1$;
④$1 × 1 + 2 × (-3) = -5$.
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果 $1 × (-3) + 2 × 1 = -1$,等于一次项系数.
即 $(x+1)(2x-3) = 2x^2 - 3x + 2x - 3 = 2x^2 - x - 3$,则 $2x^2 - x - 3 = (x+1)(2x-3)$.
像这样,通过十字交叉线,把二次三项式分解因式的方法,叫作“十字相乘法”.
仿照以上方法,分解因式:
(1)$x^2 + 8x + 15$;
(2)$3x^2 -5x -12$;
(3)$3(x+2)^2 -5(x+2)-12$.

2. (1) $x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$.
(2) $3x^2 -5x -12 = (3x+4)(x-3)$.
(3) $3(x+2)^2 -5(x+2)-12 = [3(x+2)+4][(x+2)-3]=(3x+10)(x-1)$.

【分析】
解决本题需掌握十字相乘法分解因式的核心逻辑：对于形如$ax^2+bx+c$的二次三项式，先将二次项系数$a$拆分为两个数的乘积，常数项$c$拆分为两个数的乘积，再验证交叉相乘的和是否等于一次项系数$b$，找到符合条件的拆分后即可写成两个一次式乘积的形式。
(1)第一题是二次项系数为1的二次三项式，只需拆分常数项15为两个正数，使其和等于一次项系数8即可；
(2)第二题二次项系数为3，先拆分3为$1×3$，再拆分常数项-12，验证交叉相乘和等于-5的拆分组合；
(3)第三题可将$(x+2)$看作一个整体，直接套用第二题的分解结果，最后化简得到的一次式即可。
【解析】
(1) 分解$x^2 + 8x + 15$：
① 二次项系数$1=1×1$；
② 常数项$15=3×5$，验算交叉相乘之和：$1×5 + 1×3 = 8$，恰好等于一次项系数；
因此$x^2 + 8x + 15=(x+3)(x+5)$。
(2) 分解$3x^2 -5x -12$：
① 二次项系数$3=3×1$；
② 常数项$-12=4×(-3)$，验算交叉相乘之和：$3×(-3) + 1×4 = -9+4=-5$，恰好等于一次项系数；
因此$3x^2 -5x -12=(3x+4)(x-3)$。
(3) 分解$3(x+2)^2 -5(x+2)-12$：
将$(x+2)$看作整体，该式的结构与(2)中的二次三项式完全一致，因此直接套用(2)的分解结果可得：
$3(x+2)^2 -5(x+2)-12=[3(x+2)+4][(x+2)-3]$
再化简括号内的整式：
$3(x+2)+4=3x+6+4=3x+10$，$(x+2)-3=x-1$
因此原式$=(3x+10)(x-1)$。
【答案】
(1) $x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$
(2) $3x^2 -5x -12 = (3x+4)(x-3)$
(3) $3(x+2)^2 -5(x+2)-12 = (3x+10)(x-1)$
【知识点】
十字相乘法，整体思想，因式分解
【点评】
本题围绕十字相乘法分解因式设计，题型由易到难，既考查了基础的十字相乘验算方法，也考查了整体代换的思想，熟练掌握交叉相乘的验证步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7

二、分组分解法
3. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将多项式 $2a + 3ab - 4 - 6b$ 分解因式.
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
解：原式$=(2a - 4)+(3ab - 6b)$
$=2(a - 2)+3b(a - 2)$
$=(a - 2)(2 + 3b)$.
这种方法叫作分组分解法.
【类比】
(1) 请用分组分解法将多项式 $x^2 - a^2 + x + a$ 分解因式；
【挑战】
(2) 请用分组分解法将多项式 $ax + a^2 - 2ab - bx + b^2$ 分解因式.

3. (1) 原式$=(x^2−a^2)+(x+a)$
$=(x+a)(x−a)+(x+a)$
$=(x+a)(x−a+1)$.
(2) 原式$=(a^2−2ab+b^2)+(ax−bx)$
$=(a−b)^2+x(a−b)$
$=(a−b)(a−b+x)$.

【分析】
（1）观察多项式$x^2 - a^2 + x + a$的结构，前两项$x^2 - a^2$符合平方差公式特征，可分解出因式$x+a$，后两项恰好是$x+a$，因此将前两项分为一组、后两项分为一组，先分别分解每组，再提取公因式即可完成因式分解。
（2）观察多项式$ax + a^2 - 2ab - bx + b^2$的结构，其中$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式特征，可分解出因式$a-b$，剩余$ax-bx$提取公因式$x$后也可得到因式$a-b$，因此将$a^2-2ab+b^2$分为一组、$ax-bx$分为一组，先分别分解每组，再提取公因式即可完成因式分解。
【解析】
(1) 对原式合理分组后逐步分解：
原式$=(x^2−a^2)+(x+a)$
对第一组用平方差公式分解，得
$=(x+a)(x−a)+(x+a)$
提取公因式$(x+a)$，得
$=(x+a)(x−a+1)$
(2) 对原式合理分组后逐步分解：
原式$=(a^2−2ab+b^2)+(ax−bx)$
对第一组用完全平方公式分解，第二组提取公因式$x$，得
$=(a−b)^2+x(a−b)$
提取公因式$(a−b)$，得
$=(a−b)(a−b+x)$
【答案】
(1) $(x+a)(x−a+1)$
(2) $(a−b)(a−b+x)$
【知识点】
分组分解法，提公因式法，公式法因式分解
【点评】
本题考查分组分解法因式分解的应用，解题核心是根据多项式的结构特征合理分组，分组后要保证后续可继续提取公因式或运用乘法公式分解，最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7