4. 分解因式：
(1)$ m(x-y)^2 - x + y $;
(2)$ a^2 - 2a + b^2 - 2b + 2ab + 1 $.

4. (1) 原式$=m(x−y)^2−(x−y)=(x−y)[m(x−y)−1]$
$=(x−y)(mx−my−1)$.
(2) 原式$=a^2+2ab+b^2−(2a+2b)+1$
$=(a+b)^2−2(a+b)+1$
$=(a+b−1)^2$.

【分析】
(1) 解第一问时，先观察式子特征，发现后两项$-x+y$可以变形为$-(x-y)$，此时式子两项都含有公因式$(x-y)$，先提取公因式，再整理余下的整式即可。
(2) 解第二问时，先对式子合理分组，将$a^2$、$2ab$、$b^2$分为一组，可利用完全平方公式转化为$(a+b)^2$，再将$-2a-2b$变形为$-2(a+b)$，此时整个式子为关于$(a+b)$的二次三项式，符合完全平方公式的结构，再用完全平方公式分解即可。
【解析】
(1) 先对后两项变形，提取公因式：
原式$=m(x-y)^2 - (x-y)$
$=(x-y)[m(x-y)-1]$
去括号整理得：
$=(x-y)(mx - my - 1)$
(2) 先分组整理，再依次用完全平方公式分解：
原式$=a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b + 1$
$=(a+b)^2 - 2(a+b) + 1$
将$(a+b)$看作整体，用完全平方公式得：
$=(a+b - 1)^2$
【答案】
(1) $(x-y)(mx - my - 1)$
(2) $(a+b - 1)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，分组分解法
【点评】
这两道题是因式分解的常见进阶题型，解题时要注意运用整体思想，第一问需识别出隐藏的公因式，第二问要掌握合理分组的技巧，因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7

三、换元法
5. 分解因式：$(x^2 +5x +2)(x^2 +5x +3)-12$

5. 解:设 $x^2+5x=a$,
则原式$=(a+2)(a+3)−12=a^2+5a−6=(a−1)(a+6)$,
所以原式$=(x^2+5x−1)(x^2+5x+6)$
$=(x^2+5x−1)(x+2)(x+3)$.

【分析】
观察式子可发现两个多项式因式中都含有相同的整体$x^2+5x$，若直接展开原式会得到四次多项式，计算复杂且容易出错，因此可以采用换元法简化运算：第一步将重复出现的$x^2+5x$设为新的参数$a$，将原式转化为关于$a$的二次多项式；第二步先对关于$a$的多项式展开、整理，再进行因式分解；第三步将$a=x^2+5x$回代，继续检查分解后的因式是否能在有理数范围内继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：设$x^2+5x=a$，
则原式$=(a+2)(a+3)-12$
展开整理得：
$=a^2+5a+6-12$
$=a^2+5a-6$
用十字相乘法分解关于$a$的二次式：
$=(a-1)(a+6)$
将$a=x^2+5x$回代，得：
$=(x^2+5x-1)(x^2+5x+6)$
继续对$x^2+5x+6$用十字相乘法分解：
$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$，且$x^2+5x-1$在有理数范围内无法继续分解。
【答案】
$(x^2+5x−1)(x+2)(x+3)$
【知识点】
换元法因式分解、十字相乘法分解因式、整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的进阶题型，核心是通过换元将高次多项式转化为熟悉的二次多项式简化运算，解题时要注意换元后必须回代，且最终结果要分解到每个因式在指定范围内（本题为有理数范围）不能再分解为止。
【难度系数】
0.6

四、拆添项法
6. 分解因式：
(1) $x^4 + 4y^4$；
(2) $x^3 + 5x - 6$。

6. (1) 原式$=x^4+4x^2y^2+4y^4−4x^2y^2$
$=(x^2+2y^2)^2−4x^2y^2$
$=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2−2xy)$.
(2) 原式$=x^3−x+6x−6=x(x^2−1)+6(x−1)$
$=(x−1)(x^2+x+6)$.

【分析】
(1) 多项式$x^4+4y^4$是四次二项式，无公因式且无法直接套用乘法公式分解，因此采用添项法：添加$4x^2y^2$可将前三项凑成完全平方的结构，后续整体可转化为平方差形式，再用平方差公式分解即可。
(2) 多项式$x^3+5x-6$是三次三项式，无公因式且无法直接用公式分解，因此采用拆项法：将$5x$拆分为$-x+6x$后分组，两组分别提公因式后可得到公共因式$(x-1)$，继续提取公因式即可完成分解。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^4+4x^2y^2+4y^4−4x^2y^2\\&=(x^2+2y^2)^2−4x^2y^2\\&=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2−2xy)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^3−x+6x−6\\&=x(x^2−1)+6(x−1)\\&=x(x-1)(x+1)+6(x-1)\\&=(x−1)(x^2+x+6)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$
(2) $(x-1)(x^2+x+6)$
【知识点】
拆添项法因式分解，公式法因式分解，分组分解法因式分解
【点评】
这两道题是拆添项法分解因式的典型题型，核心是通过观察多项式的结构特征，合理拆添项将原式转化为可提公因式或可套用公式的形式，分解时要注意结果需化简到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.4

五、待定系数法
7. 阅读理解:已知二次三项式$2x^2 + x + a$有一个因式是$x+2$,求另一个因式以及$a$的值.
解:设另一个因式是$2x + b$,
根据题意,得$2x^2 + x + a = (x+2)(2x + b)$.
展开,得$2x^2 + x + a = 2x^2 + (b+4)x + 2b$.
$\therefore \begin{cases} b+4=1, \\ a=2b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-6, \\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$另一个因式是$2x - 3$, $a$的值是$-6$.
解决问题:已知二次三项式$3x^2 + 10x + m$有一个因式是$x+4$,求另一个因式以及$m$的值.

7. 解:设另一个因式是 $3x+b$,
根据题意,得 $3x^2+10x+m=(x+4)(3x+b)$.
展开,得 $3x^2+10x+m=3x^2+(b+12)x+4b$.
所以 $\begin{cases} b+12=10, \\ m=4b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=-2, \\ m=-8, \end{cases}$
所以另一个因式是 $3x−2$,$m$的值是$-8$.

【分析】
本题可使用待定系数法求解，解题思路如下：首先观察二次三项式$3x^2+10x+m$的二次项系数为3，已知的一个一次因式$x+4$的一次项系数是1，因此另一个一次因式的一次项系数应为3，可设另一个因式为$3x+b$；再根据因式分解与整式乘法互为逆运算，将两个因式相乘展开，利用两个恒等的多项式对应项系数相等的性质，列出关于$b$和$m$的方程组，解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设另一个因式是$3x+b$，
根据题意，得$3x^2 + 10x + m = (x+4)(3x + b)$，
展开等号右侧，得$3x^2 + 10x + m = 3x^2 + (b + 12)x + 4b$，
根据多项式恒等时对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} b + 12 = 10 \\ m = 4b \end{cases}$
解第一个方程得$b = 10 - 12 = -2$，将$b=-2$代入第二个方程得$m = 4×(-2) = -8$。
【答案】
另一个因式是$3x-2$，$m$的值是$-8$。
【知识点】
待定系数法，多项式乘法，多项式恒等性质
【点评】
本题是待定系数法在因式分解中的典型应用，解题关键是结合已知因式的结构合理设出未知因式的形式，再通过多项式相等对应项系数相等建立方程求解，该方法可推广到同类已知部分因式求未知参数、其余因式的问题中。
【难度系数】
0.75