【例】(2025连云港模拟)某中学计划为新生军训时配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(钢管等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长度相等，O是AB，CD的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35 cm.由以上信息求出BC的长度，并说明理由.

解:BC的长度为35 cm. 理由如下：
因为凳腿AB和CD的长度相等,O是AB,CD的中点，
所以AO=BO=CO=DO.
又因为∠AOD=∠BOC,所以△AOD≌△BOC(SAS),所以AD=CB.
因为AD=35 cm,所以BC=35 cm，
所以BC的长度为35 cm.

【分析】
要求BC的长度，观察图形可知AD、BC分别属于△AOD和△BOC，若证明这两个三角形全等，即可得到BC=AD。首先利用已知的AB=CD、O是AB和CD的中点，先推出两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质，即可通过SAS判定两三角形全等，进而得到BC的长度。
【解析】
解：BC的长度为35 cm，理由如下：
∵凳腿AB和CD的长度相等，O是AB、CD的中点，
∴$AO=BO=\frac{1}{2}AB$，$CO=DO=\frac{1}{2}CD$，
∴$AO=BO=CO=DO$。
在$△ AOD$和$△ BOC$中：
$\begin{cases}AO=BO \\∠ AOD=∠ BOC \\DO=CO\end{cases}$
∴$△ AOD ≌ △ BOC(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=CB$。
∵$AD=35\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=35\ \mathrm{cm}$。
【答案】
35 cm
【知识点】
全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质，中点的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的应用，解题关键是从实物模型中抽象出几何图形，找到对应相等的边和角证明三角形全等，进而利用全等性质求解未知边长度。
【难度系数】
0.8

【变式1】(淄博模拟)如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨$AB=AC$,$D$,$E$分别是$AB$,$AC$的中点,$DM$,$EM$是连接弹簧$M$和伞骨的支架,且$DM=EM$,在弹簧向上滑动的过程中,求证:$AM$平分$∠ BAC$.

证明:因为AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中点，
所以AD=AE.
在△ADM和△AEM中,$\begin{cases} AD=AE, \\ AM=AM, \\ DM=EM, \end{cases}$
所以△ADM≌△AEM(SSS),所以∠DAM=∠EAM,
所以AM平分∠BAC.

【分析】
要证明AM平分∠BAC，本质是要证明∠DAM=∠EAM。观察这两个角分别在△ADM和△AEM中，因此优先考虑证明这两个三角形全等。首先根据已知AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，由中点的定义可得AD=AE；此时结合题目给出的DM=EM，再加上两个三角形的公共边AM=AM，刚好满足SSS全等判定的条件，证明△ADM≌△AEM后，根据全等三角形对应角相等就能得到∠DAM=∠EAM，即可完成证明。
【解析】
证明：因为AB=AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
所以AD=AE。
在△ADM和△AEM中，
$\begin{cases} AD=AE, \\ AM=AM, \\ DM=EM, \end{cases}$
所以△ADM≌△AEM(SSS)，
所以∠DAM=∠EAM，
所以AM平分∠BAC。
【答案】
AM平分∠BAC，证明过程见上述解析。
【知识点】
SSS判定全等三角形、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用类题目，解题核心是结合已知条件找到三角形全等的三组对应边，通过证明全等来推导角相等，侧重对基础几何定理的理解和运用能力的考查。
【难度系数】
0.8

【变式2】如图，小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得看旗杆顶端C的视线PC与地面的夹角∠DPC=36°，测得看楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=54°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度CD相等，都等于10 m，量得旗杆与楼之间的距离DB=36 m，小强据此计算出了楼高。问楼高AB是多少米？

解: 因为∠DPC = 36°, ∠APB = 54°, ∠CDP = ∠ABP=90°,
所以∠PCD=∠APB=54°.
在△CPD和△PAB中,$\begin{cases} ∠PCD=∠APB, \\ CD=PB, \\ ∠CDP=∠PBA, \end{cases}$
所以△CPD≌△PAB(ASA),所以PD=AB.
因为DB=36 m,PB=10 m,所以AB=PD=36−10=26(m).
答:楼高AB是26 m.

【分析】
要测量楼高AB，首先观察图形可知△CDP和△ABP均为直角三角形，已知CD=PB，可尝试通过证明两个三角形全等求解。首先根据直角三角形两锐角互余，计算得∠PCD=90°-∠DPC=54°，刚好与已知的∠APB相等；此时两个三角形已有一组角相等、一组边CD=PB相等，还有一组直角相等，满足ASA全等判定条件，证明△CPD≌△PAB后可得对应边PD=AB，最后用DB的长度减去PB的长度得到PD的长度，即可求出AB的高度。
【解析】
解：
∵∠DPC = 36°，∠CDP = 90°，
∴∠PCD = 90° - ∠DPC = 90° - 36° = 54°，
∴∠PCD = ∠APB = 54°。
在△CPD和△PAB中：
$\begin{cases} ∠PCD=∠APB \\ CD=PB \\ ∠CDP=∠PBA=90° \end{cases}$
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴PD = AB。
∵DB = 36 m，PB = 10 m，
∴PD = DB - PB = 36 - 10 = 26（m），
∴AB = 26 m。
【答案】
26 m
【知识点】
ASA判定三角形全等，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是全等三角形在实际测量问题中的应用，解题的关键是结合已知角度和垂直条件推导相等的角，进而证明三角形全等，将未知的楼高转化为易计算的线段长度，能够锻炼运用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7