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7. 如图，在$△ ABC$和$△ ADE$中，E在BC边上，$AD=AB$，$AE=AC$，$DE=BC$。若$∠ 1=25°$，则$∠ 2$的度数是
25°
。答案
7. 25°
解析
【分析】
首先观察题目给出的已知条件，三组边分别相等：AD=AB，AE=AC，DE=BC，符合全等三角形SSS判定的条件，因此优先考虑证明△ABC和△ADE全等。全等后可得对应角∠DAE=∠BAC，再观察两个角的构成，二者都包含公共角∠BAE，根据等式的性质，两个相等的角同时减去公共角，剩余的角也相等，即可推出∠2=∠1，代入已知角度就能得到结果。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\AC=AE\\BC=DE\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE$（SSS）
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAE = ∠ DAE - ∠ BAE$
即$∠ 1 = ∠ 2$
$\because ∠ 1=25°$
$\therefore ∠ 2=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
1. SSS判定全等三角形
2. 全等三角形对应角相等
3. 角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题的关键是能根据已知的三边相等条件快速判断用SSS证明三角形全等，再结合角的和差关系找到待求角和已知角的等量关系，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的已知条件，三组边分别相等：AD=AB，AE=AC，DE=BC，符合全等三角形SSS判定的条件，因此优先考虑证明△ABC和△ADE全等。全等后可得对应角∠DAE=∠BAC，再观察两个角的构成，二者都包含公共角∠BAE，根据等式的性质，两个相等的角同时减去公共角，剩余的角也相等，即可推出∠2=∠1，代入已知角度就能得到结果。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\AC=AE\\BC=DE\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE$（SSS）
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAE = ∠ DAE - ∠ BAE$
即$∠ 1 = ∠ 2$
$\because ∠ 1=25°$
$\therefore ∠ 2=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
1. SSS判定全等三角形
2. 全等三角形对应角相等
3. 角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题的关键是能根据已知的三边相等条件快速判断用SSS证明三角形全等，再结合角的和差关系找到待求角和已知角的等量关系，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，点$E$分别在边$AB$，$BC$上，连接$DE$，$AD=AC$，$ED=EC$。
(1)求证：$∠ ADE=∠ C$；
(2)若$AB⊥ DE$，$∠ B=30°$，求$∠ BAC$的度数。
(1)求证：$∠ ADE=∠ C$；
(2)若$AB⊥ DE$，$∠ B=30°$，求$∠ BAC$的度数。
答案
8. (1)证明:如图,连接AE.
在△ADE和△ACE中,$\begin{cases} AD=AC,\\ ED=EC,\\ AE=AE, \end{cases}$
所以△ADE≌△ACE(SSS),
所以∠ADE=∠C.
(2)解:因为AB⊥DE,所以∠ADE=90°.
由(1)已证,∠ADE=∠C,所以∠C=90°.
因为∠B=30°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
解析
【分析】
（1）要证明∠ADE=∠C，可通过证明两个角所在的三角形全等推导。已知AD=AC、ED=EC，若连接公共边AE，即可凑齐SSS全等判定的三组对应边相等条件，证明△ADE和△ACE全等后，由全等三角形对应角相等就能得出结论。
（2）先根据垂直的定义得到∠ADE的度数，结合第一问的结论可推出∠C的度数，再利用三角形内角和为180°，减去已知的∠B和∠C的度数，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
(1) 证明：如图，连接AE。
在$△ ADE$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} AD=AC（已知）,\\ ED=EC（已知）,\\ AE=AE（公共边）, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ ACE$（SSS），
$\therefore ∠ ADE=∠ C$（全等三角形对应角相等）。
(2) 解：$\because AB ⊥ DE$（已知），
$\therefore ∠ ADE=90°$（垂直的定义），
由(1)已证$∠ ADE=∠ C$，
$\therefore ∠ C=90°$（等量代换），
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-90°=60°$。
【答案】
8. (1)证明:如图,连接AE.
在△ADE和△ACE中,$\begin{cases} AD=AC,\\ ED=EC,\\ AE=AE, \end{cases}$
所以△ADE≌△ACE(SSS),
所以∠ADE=∠C.
(2)解:因为AB⊥DE,所以∠ADE=90°.
由(1)已证,∠ADE=∠C,所以∠C=90°.
因为∠B=30°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
【知识点】
1. SSS判定全等
2. 全等三角形性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形相关的基础应用题，构造公共边作为辅助线是证明全等的关键，解题过程需要结合全等性质、垂直定义和三角形内角和定理逐步推导，要注意逻辑清晰、步骤完整。
【难度系数】
0.8
（1）要证明∠ADE=∠C，可通过证明两个角所在的三角形全等推导。已知AD=AC、ED=EC，若连接公共边AE，即可凑齐SSS全等判定的三组对应边相等条件，证明△ADE和△ACE全等后，由全等三角形对应角相等就能得出结论。
（2）先根据垂直的定义得到∠ADE的度数，结合第一问的结论可推出∠C的度数，再利用三角形内角和为180°，减去已知的∠B和∠C的度数，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
(1) 证明：如图，连接AE。
在$△ ADE$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} AD=AC（已知）,\\ ED=EC（已知）,\\ AE=AE（公共边）, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ ACE$（SSS），
$\therefore ∠ ADE=∠ C$（全等三角形对应角相等）。
(2) 解：$\because AB ⊥ DE$（已知），
$\therefore ∠ ADE=90°$（垂直的定义），
由(1)已证$∠ ADE=∠ C$，
$\therefore ∠ C=90°$（等量代换），
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-90°=60°$。
【答案】
8. (1)证明:如图,连接AE.
在△ADE和△ACE中,$\begin{cases} AD=AC,\\ ED=EC,\\ AE=AE, \end{cases}$
所以△ADE≌△ACE(SSS),
所以∠ADE=∠C.
(2)解:因为AB⊥DE,所以∠ADE=90°.
由(1)已证,∠ADE=∠C,所以∠C=90°.
因为∠B=30°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
【知识点】
1. SSS判定全等
2. 全等三角形性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形相关的基础应用题，构造公共边作为辅助线是证明全等的关键，解题过程需要结合全等性质、垂直定义和三角形内角和定理逐步推导，要注意逻辑清晰、步骤完整。
【难度系数】
0.8
9.如图,点 P 是△ABC内一点,且AC=BC,AP=BP,连接CP.
(1)求证:∠ACP=∠BCP;
(2)若AB=3CP=6,求△APC的面积.
(1)求证:∠ACP=∠BCP;
(2)若AB=3CP=6,求△APC的面积.
答案
9. (1)证明:在△ACP和△BCP中,$\begin{cases} AC=BC,\\ AP=BP,\\ CP=CP, \end{cases}$
所以△ACP≌△BCP(SSS),所以∠ACP=∠BCP.
(2)解:如图,延长CP交AB于点D.
由(1)知,∠ACP=∠BCP,
在△ACD和△BCD中,
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCD,\\ CD=CD, \end{cases}$
所以△ACD≌△BCD(SAS),所以∠ADC=∠BDC.
又因为∠ADC+∠BDC=180°,
所以∠ADC=∠BDC=90°,
所以CD⊥AB,
AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3.
因为AB=3CP=6,所以CP=2,
所以$S_{△APC}=\frac{1}{2}CP·AD=\frac{1}{2}×2×3=3$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠ACP=∠BCP，观察两角分别在△ACP和△BCP中，题目已知AC=BC、AP=BP，且CP是两个三角形的公共边，满足SSS全等判定的条件，因此只需证明△ACP≌△BCP，即可利用全等三角形对应角相等得到结论。
(2) 要求△APC的面积，需要找到对应的底和高。结合第一问得到的∠ACP=∠BCP，以及AC=BC的条件，可延长CP交AB于点D，先证明CD⊥AB得到AD的长度，再根据已知条件求出CP的长度，此时CP为△APC的底，AD为CP边上的高，代入面积公式即可求解。
【解析】
(1) 证明：在△ACP和△BCP中，
$\begin{cases} AC=BC,\\ AP=BP,\\ CP=CP, \end{cases}$
所以△ACP≌△BCP（SSS），所以∠ACP=∠BCP。
(2) 解：如图，延长CP交AB于点D。
由(1)知，∠ACP=∠BCP，
在△ACD和△BCD中，
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCD,\\ CD=CD, \end{cases}$
所以△ACD≌△BCD（SAS），所以∠ADC=∠BDC。
又因为∠ADC+∠BDC=180°，
所以∠ADC=∠BDC=90°，即CD⊥AB，
AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3。
因为AB=3CP=6，所以CP=2，
所以$S_{△APC}=\frac{1}{2}CP·AD=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
(1) 证明如上，∠ACP=∠BCP得证；(2) △APC的面积为3，辅助线如图：
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
这道题综合考查全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是利用已知边相等的条件证明三角形全等，第二问通过构造辅助线得到垂直关系，将所求面积和已知线段建立关联，能够有效锻炼学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠ACP=∠BCP，观察两角分别在△ACP和△BCP中，题目已知AC=BC、AP=BP，且CP是两个三角形的公共边，满足SSS全等判定的条件，因此只需证明△ACP≌△BCP，即可利用全等三角形对应角相等得到结论。
(2) 要求△APC的面积，需要找到对应的底和高。结合第一问得到的∠ACP=∠BCP，以及AC=BC的条件，可延长CP交AB于点D，先证明CD⊥AB得到AD的长度，再根据已知条件求出CP的长度，此时CP为△APC的底，AD为CP边上的高，代入面积公式即可求解。
【解析】
(1) 证明：在△ACP和△BCP中，
$\begin{cases} AC=BC,\\ AP=BP,\\ CP=CP, \end{cases}$
所以△ACP≌△BCP（SSS），所以∠ACP=∠BCP。
(2) 解：如图，延长CP交AB于点D。
由(1)知，∠ACP=∠BCP，
在△ACD和△BCD中，
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCD,\\ CD=CD, \end{cases}$
所以△ACD≌△BCD（SAS），所以∠ADC=∠BDC。
又因为∠ADC+∠BDC=180°，
所以∠ADC=∠BDC=90°，即CD⊥AB，
AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3。
因为AB=3CP=6，所以CP=2，
所以$S_{△APC}=\frac{1}{2}CP·AD=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
(1) 证明如上，∠ACP=∠BCP得证；(2) △APC的面积为3，辅助线如图：
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
这道题综合考查全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是利用已知边相等的条件证明三角形全等，第二问通过构造辅助线得到垂直关系，将所求面积和已知线段建立关联，能够有效锻炼学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
