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【例】如图，已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以15 km/h的速度向东航行，船B以10 km/h的速度向北航行.它们离开港口2 h后，相距多远？（结果保留根号）
规律总结 运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法”
（1）找直角：找出图中的直角三角形，或作辅助线构造直角三角形.
（2）定关系：找出所求线段与直角三角形三边的关系.
（3）求值：根据勾股定理计算相关线段的长度.
规律总结 运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法”
（1）找直角：找出图中的直角三角形，或作辅助线构造直角三角形.
（2）定关系：找出所求线段与直角三角形三边的关系.
（3）求值：根据勾股定理计算相关线段的长度.
答案
解:因为船 A 以 15 km/h 的速度向东航行,船 B 以 10 km/h 的速度向北航行,所以它们离开港口 2 h 后，OA=15×2=30(km),OB=10×2=20(km)，在Rt△AOB 中，AB=√(OA²+OB²)=√(30²+20²)=10√13(km)。答:离开港口 2 h 后,两艘船相距 10√13 km。
解析
【分析】
首先根据“东”和“北”两个方向互相垂直，可判断△AOB是直角三角形，∠O为直角。解题时第一步先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘船航行2小时后的路程，也就是OA、OB的长度；第二步明确所求的两船距离AB是直角三角形的斜边；第三步利用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：由题意得，OA和OB分别是船A、船B航行2小时的路程，且∠AOB=90°。
OA = 15×2 = 30（km）
OB = 10×2 = 20（km）
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：
AB = √(OA² + OB²) = √(30² + 20²) = √(900 + 400) = √1300 = 10√13（km）
答：离开港口2h后，两艘船相距10√13 km。
【答案】
10√13 km
【知识点】
勾股定理的应用，方位角识别，路程计算
【点评】
本题是勾股定理结合实际行程的基础应用题，解题核心是通过方位特征确定直角三角形，将实际距离问题转化为直角三角形边长求解问题，能够有效提升将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
首先根据“东”和“北”两个方向互相垂直，可判断△AOB是直角三角形，∠O为直角。解题时第一步先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘船航行2小时后的路程，也就是OA、OB的长度；第二步明确所求的两船距离AB是直角三角形的斜边；第三步利用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：由题意得，OA和OB分别是船A、船B航行2小时的路程，且∠AOB=90°。
OA = 15×2 = 30（km）
OB = 10×2 = 20（km）
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：
AB = √(OA² + OB²) = √(30² + 20²) = √(900 + 400) = √1300 = 10√13（km）
答：离开港口2h后，两艘船相距10√13 km。
【答案】
10√13 km
【知识点】
勾股定理的应用，方位角识别，路程计算
【点评】
本题是勾股定理结合实际行程的基础应用题，解题核心是通过方位特征确定直角三角形，将实际距离问题转化为直角三角形边长求解问题，能够有效提升将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
【变式1】如图，有两棵树，一棵树高14 m，另一棵树高2 m，两树之间相距5 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了
（
A.11 m
B.12 m
C.13 m
D.14 m
（
C
）A.11 m
B.12 m
C.13 m
D.14 m
答案
C
解析
【分析】
小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢的最短路径是两点之间的线段，我们可以把这个实际问题转化为直角三角形求斜边长的问题：首先确定直角三角形的两条直角边，一条是两棵树的高度差，另一条是两树之间的水平距离，最后用勾股定理计算斜边长度，就得到小鸟的最短飞行距离。
【解析】
先计算两棵树的高度差：$14 - 2 = 12\ \mathrm{m}$，已知两树水平距离为$5\ \mathrm{m}$，小鸟最短飞行路径就是以$12\ \mathrm{m}$、$5\ \mathrm{m}$为直角边的直角三角形的斜边长。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得斜边长为：
$c=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$
即小鸟至少飞了13m。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题核心是将实际的最短路径问题转化为直角三角形模型，准确提取出直角三角形两条直角边的长度，再代入勾股定理计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢的最短路径是两点之间的线段，我们可以把这个实际问题转化为直角三角形求斜边长的问题：首先确定直角三角形的两条直角边，一条是两棵树的高度差，另一条是两树之间的水平距离，最后用勾股定理计算斜边长度，就得到小鸟的最短飞行距离。
【解析】
先计算两棵树的高度差：$14 - 2 = 12\ \mathrm{m}$，已知两树水平距离为$5\ \mathrm{m}$，小鸟最短飞行路径就是以$12\ \mathrm{m}$、$5\ \mathrm{m}$为直角边的直角三角形的斜边长。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得斜边长为：
$c=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$
即小鸟至少飞了13m。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题核心是将实际的最短路径问题转化为直角三角形模型，准确提取出直角三角形两条直角边的长度，再代入勾股定理计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
【变式2】(贵阳模拟)如图,某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE(即$MD⊥ DE$,$NE⊥ DE$).一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时,梯子底端B到左墙的距离$BD=7\ \mathrm{dm}$,顶端A到地面的距离$AD=24\ \mathrm{dm}$.(图中所有点均在同一平面内)(1)求梯子AB的长;(2)如果保持底端位置B不动,将梯子斜靠在右墙NE上时,若梯子顶端C距地面的距离$CE=20\ \mathrm{dm}$,求该教学楼走廊的宽度DE.
答案
解:(1)因为 MD⊥DE,所以∠ADB=90°。在Rt△ADB 中,AD=24 dm,BD=7 dm，所以 AB=√(AD²+BD²)=√(7²+24²)=25(dm)。所以梯子 AB 的长是 25 dm。(2)在Rt△CEB 中,CE=20 dm,BC=AB=25 dm，所以 BE=√(BC²-CE²)=√(25²-20²)=15(dm)，所以 DE=BD+BE=7+15=22(dm)。所以该教学楼走廊的宽度 DE 是 22 dm。
解析
【分析】
(1) 要求梯子AB的长度，由题中$MD⊥ DE$可知$△ ADB$是直角三角形，已知两条直角边AD、BD的长度，直接利用勾股定理即可求出斜边AB的长度。
(2) 走廊宽度DE由BD和BE两段组成，BD已知，只需求出BE即可。梯子长度是固定不变的，所以斜靠右墙时$BC=AB$，又$NE⊥ DE$，$△ CEB$也是直角三角形，已知斜边BC和直角边CE的长度，用勾股定理求出BE后，将BD与BE相加即可得到DE的长度。
【解析】
(1) $\because MD⊥ DE$，$\therefore ∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$AD=24\ \mathrm{dm}$，$BD=7\ \mathrm{dm}$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25(\mathrm{dm})$。
(2) $\because$ 梯子长度不变，$\therefore BC=AB=25\ \mathrm{dm}$。
$\because NE⊥ DE$，$\therefore ∠ CEB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$CE=20\ \mathrm{dm}$，$BC=25\ \mathrm{dm}$，根据勾股定理可得：
$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15(\mathrm{dm})$。
$\therefore DE=BD+BE=7+15=22(\mathrm{dm})$。
【答案】
(1) 梯子AB的长为$\boxed{25\ \mathrm{dm}}$；
(2) 教学楼走廊的宽度DE为$\boxed{22\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，两次运用勾股定理即可求解，解题时需注意区分直角三角形的直角边和斜边，避免公式套用错误。
【难度系数】
0.8
(1) 要求梯子AB的长度，由题中$MD⊥ DE$可知$△ ADB$是直角三角形，已知两条直角边AD、BD的长度，直接利用勾股定理即可求出斜边AB的长度。
(2) 走廊宽度DE由BD和BE两段组成，BD已知，只需求出BE即可。梯子长度是固定不变的，所以斜靠右墙时$BC=AB$，又$NE⊥ DE$，$△ CEB$也是直角三角形，已知斜边BC和直角边CE的长度，用勾股定理求出BE后，将BD与BE相加即可得到DE的长度。
【解析】
(1) $\because MD⊥ DE$，$\therefore ∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$AD=24\ \mathrm{dm}$，$BD=7\ \mathrm{dm}$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25(\mathrm{dm})$。
(2) $\because$ 梯子长度不变，$\therefore BC=AB=25\ \mathrm{dm}$。
$\because NE⊥ DE$，$\therefore ∠ CEB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$CE=20\ \mathrm{dm}$，$BC=25\ \mathrm{dm}$，根据勾股定理可得：
$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15(\mathrm{dm})$。
$\therefore DE=BD+BE=7+15=22(\mathrm{dm})$。
【答案】
(1) 梯子AB的长为$\boxed{25\ \mathrm{dm}}$；
(2) 教学楼走廊的宽度DE为$\boxed{22\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，两次运用勾股定理即可求解，解题时需注意区分直角三角形的直角边和斜边，避免公式套用错误。
【难度系数】
0.8
1. 如图，要从电线杆上离地面15 m的C处向地面拉一条17 m长的电缆AC，则地面固
定点A到电线杆底部B的距离为 （
A.8 m
B.15 m
C.17 m
D.25 m
定点A到电线杆底部B的距离为 （A
）A.8 m
B.15 m
C.17 m
D.25 m
答案
1. A
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC为直角三角形，∠B是直角，结合题意可知直角边BC=15m，斜边AC=17m，要求AB的长度，可直接利用勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，变形得到$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可得$∠ ABC=90°$，$BC=15\mathrm{m}$，$AC=17\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
则$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{17^2 - 15^2}=\sqrt{289 - 225}=\sqrt{64}=8(\mathrm{m})$
即地面固定点A到电线杆底部B的距离为8m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题目，解题的关键是先从实际场景中抽象出直角三角形模型，找准已知边和未知边的关系，正确代入勾股定理计算即可，是对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
首先观察图形可知△ABC为直角三角形，∠B是直角，结合题意可知直角边BC=15m，斜边AC=17m，要求AB的长度，可直接利用勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，变形得到$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可得$∠ ABC=90°$，$BC=15\mathrm{m}$，$AC=17\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
则$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{17^2 - 15^2}=\sqrt{289 - 225}=\sqrt{64}=8(\mathrm{m})$
即地面固定点A到电线杆底部B的距离为8m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题目，解题的关键是先从实际场景中抽象出直角三角形模型，找准已知边和未知边的关系，正确代入勾股定理计算即可，是对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
