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2. 如图，公路AC，BC互相垂直，M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C，M两点间的距离，工人师傅测得AC=3 km，BC=4 km，则M，C两点间的距离为 （
A.2.5 km
B.3 km
C.4 km
D.5 km
A
）A.2.5 km
B.3 km
C.4 km
D.5 km
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先根据AC、BC互相垂直，可判定△ABC为直角三角形，已知两条直角边的长度，第一步用勾股定理计算出斜边AB的长度；再结合M是AB中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，即可求出CM的长度。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=3km，BC=4km，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{km}$
∵M为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5\mathrm{km}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是勾股定理与直角三角形性质的基础综合应用题，解题关键是先利用勾股定理求出斜边长度，再结合斜边中线的性质计算待求线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据AC、BC互相垂直，可判定△ABC为直角三角形，已知两条直角边的长度，第一步用勾股定理计算出斜边AB的长度；再结合M是AB中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，即可求出CM的长度。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=3km，BC=4km，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{km}$
∵M为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5\mathrm{km}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是勾股定理与直角三角形性质的基础综合应用题，解题关键是先利用勾股定理求出斜边长度，再结合斜边中线的性质计算待求线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 如图,做一个长80 cm,宽60 cm的长方形木框,需在对角的顶点间钉一根木条用来加固,则木条的长为
100
cm.答案
3. 100
解析
【分析】
首先观察图形可知，长方形的四个内角均为直角，因此对角顶点间的木条与长方形的长、宽刚好构成一个直角三角形，其中长和宽是直角三角形的两条直角边，木条的长度是该直角三角形的斜边。我们可以利用勾股定理，通过已知的两条直角边的长度计算出斜边的长度，也就是木条的长度。
【解析】
解：
∵长方形的四个角都是直角，
∴木条的长度与长方形的长、宽构成直角三角形，且木条为斜边，长80cm、宽60cm为两条直角边。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两直角边的平方和开算术平方根，
∴木条长度=√(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000 = 100(cm)。
【答案】
100
【知识点】
勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的简单应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，明确直角边和斜边的对应关系即可快速求解，同时记住常见的勾股数能提高解题效率。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知，长方形的四个内角均为直角，因此对角顶点间的木条与长方形的长、宽刚好构成一个直角三角形，其中长和宽是直角三角形的两条直角边，木条的长度是该直角三角形的斜边。我们可以利用勾股定理，通过已知的两条直角边的长度计算出斜边的长度，也就是木条的长度。
【解析】
解：
∵长方形的四个角都是直角，
∴木条的长度与长方形的长、宽构成直角三角形，且木条为斜边，长80cm、宽60cm为两条直角边。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两直角边的平方和开算术平方根，
∴木条长度=√(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000 = 100(cm)。
【答案】
100
【知识点】
勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的简单应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，明确直角边和斜边的对应关系即可快速求解，同时记住常见的勾股数能提高解题效率。
【难度系数】
0.9
4. 在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为
40
m.答案
4. 40
解析
【分析】首先根据方向角的定义，东北方向为北偏东45°，东南方向为南偏东45°，可推出∠AOB为90°，即△AOB是直角三角形，已知两条直角边OA、OB的长度，再运用勾股定理计算斜边AB的长度，就是所求水管的长度。
【解析】解：
∵A在O的东北方向，B在O的东南方向，
∴∠AOB = 90°，△AOB为直角三角形。
已知OA=32m，OB=24m，根据勾股定理可得：
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
代入数值计算：
$AB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$
∴$AB=\sqrt{1600}=40(m)$
【答案】40
【知识点】方向角的认识；勾股定理的应用
【点评】本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的核心是通过方向角判断出直角三角形，再代入勾股定理计算即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵A在O的东北方向，B在O的东南方向，
∴∠AOB = 90°，△AOB为直角三角形。
已知OA=32m，OB=24m，根据勾股定理可得：
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
代入数值计算：
$AB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$
∴$AB=\sqrt{1600}=40(m)$
【答案】40
【知识点】方向角的认识；勾股定理的应用
【点评】本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的核心是通过方向角判断出直角三角形，再代入勾股定理计算即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】0.8
5. 如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=53°，∠B=37°，AB=5 km，BC=4 km，则隧道AC的长度为多少？
答案
解:因为∠A=53°,∠B=37°，所以∠C=180°-∠A-∠B=90°，又因为 AB=5 km,BC=4 km，所以 AC=√(AB²-BC²)=3 km。答:隧道 AC 的长度为 3 km。
解析
【分析】
解题时首先从已知的两个内角角度出发，利用三角形内角和为180°，先计算出第三个角∠C的度数，判断三角形的形状；当确认三角形为直角三角形后，再根据勾股定理，已知斜边和一条直角边的长度，即可计算出另一条直角边AC的长度。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-53°-37°=90°$
因此$△ ABC$是直角三角形，且直角为$∠ C$，斜边为$AB$。
根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$AC^2+BC^2=AB^2$，变形可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}$
将$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$代入得：
$AC=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3(\mathrm{km})$
【答案】
隧道AC的长度为3 km。
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形判定
【点评】
本题是勾股定理在实际工程问题中的应用，解题核心是先通过角度计算确定三角形为直角三角形，再套用勾股定理求解未知边长，侧重对基础定理的理解和应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的两个内角角度出发，利用三角形内角和为180°，先计算出第三个角∠C的度数，判断三角形的形状；当确认三角形为直角三角形后，再根据勾股定理，已知斜边和一条直角边的长度，即可计算出另一条直角边AC的长度。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-53°-37°=90°$
因此$△ ABC$是直角三角形，且直角为$∠ C$，斜边为$AB$。
根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$AC^2+BC^2=AB^2$，变形可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}$
将$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$代入得：
$AC=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3(\mathrm{km})$
【答案】
隧道AC的长度为3 km。
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形判定
【点评】
本题是勾股定理在实际工程问题中的应用，解题核心是先通过角度计算确定三角形为直角三角形，再套用勾股定理求解未知边长，侧重对基础定理的理解和应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
6. (2025山西模拟)如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中.已知笔筒内部的底面直径为9 cm，内壁高12 cm. 
若这支铅笔长18 cm，则这支铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是 (
A.3 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.2 cm
若这支铅笔长18 cm，则这支铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是 (
D
)A.3 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.2 cm
答案
6. D
解析
【分析】
要判断铅笔在笔筒外部分的长度不可能是多少，需先确定外露长度的取值范围。首先思考两种极端情况：一是铅笔竖直放置，此时笔筒内的铅笔长度最短，外露长度最长；二是铅笔斜靠在笔筒内壁，此时底面直径、笔筒高与笔筒内铅笔长度构成直角三角形，内部长度为斜边，是最长的内部长度，对应最短的外露长度。用勾股定理算出最长内部长度后，结合总长度即可得到外露长度的范围，最后对比选项选出不在范围内的答案即可。
【解析】
解：分两种情况分析铅笔在笔筒内的长度：
1. 当铅笔竖直放置时，笔筒内铅笔长度最短，等于笔筒内壁高度12cm，
此时外露长度最长：$ 18 - 12 = 6\ \mathrm{cm} $；
2. 当铅笔斜放，底部抵在底面边缘、上部靠在对面筒口边缘时，笔筒内铅笔长度最长，
此时底面直径9cm、内壁高12cm为直角三角形的两条直角边，内部铅笔长为斜边，
由勾股定理得：内部最长长度 $ = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm} $，
此时外露长度最短：$ 18 - 15 = 3\ \mathrm{cm} $。
因此铅笔外露部分的长度范围为 $ 3\ \mathrm{cm} ≤ \mathrm{外露长度} ≤ 6\ \mathrm{cm} $，
选项中2cm不在该范围内，故不可能。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；最值范围计算
【点评】
本题结合生活实际考查勾股定理的应用，解题的核心是找到铅笔在笔筒内长度的两种极端情况，从而确定外露长度的取值范围，再结合选项判断即可，注意不要遗漏斜放的情况。
【难度系数】
0.7
要判断铅笔在笔筒外部分的长度不可能是多少，需先确定外露长度的取值范围。首先思考两种极端情况：一是铅笔竖直放置，此时笔筒内的铅笔长度最短，外露长度最长；二是铅笔斜靠在笔筒内壁，此时底面直径、笔筒高与笔筒内铅笔长度构成直角三角形，内部长度为斜边，是最长的内部长度，对应最短的外露长度。用勾股定理算出最长内部长度后，结合总长度即可得到外露长度的范围，最后对比选项选出不在范围内的答案即可。
【解析】
解：分两种情况分析铅笔在笔筒内的长度：
1. 当铅笔竖直放置时，笔筒内铅笔长度最短，等于笔筒内壁高度12cm，
此时外露长度最长：$ 18 - 12 = 6\ \mathrm{cm} $；
2. 当铅笔斜放，底部抵在底面边缘、上部靠在对面筒口边缘时，笔筒内铅笔长度最长，
此时底面直径9cm、内壁高12cm为直角三角形的两条直角边，内部铅笔长为斜边，
由勾股定理得：内部最长长度 $ = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm} $，
此时外露长度最短：$ 18 - 15 = 3\ \mathrm{cm} $。
因此铅笔外露部分的长度范围为 $ 3\ \mathrm{cm} ≤ \mathrm{外露长度} ≤ 6\ \mathrm{cm} $，
选项中2cm不在该范围内，故不可能。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；最值范围计算
【点评】
本题结合生活实际考查勾股定理的应用，解题的核心是找到铅笔在笔筒内长度的两种极端情况，从而确定外露长度的取值范围，再结合选项判断即可，注意不要遗漏斜放的情况。
【难度系数】
0.7
7.(咸阳模拟)如图是某游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口A的正北方向，入口A和出口B在同一直线上，$DA⊥ AB$，测得$AB=80\ \mathrm{m}$，$AD=135\ \mathrm{m}$，$BC=100\ \mathrm{m}$.
(1)求摩天轮C到淘气堡D的距离；
(2)现要在距离摩天轮45 m的E处修建游乐项目旋转木马($CE=45\ \mathrm{m}$)，点B,C,E在同一直线上，此时恰好$DE⊥ EC$，求淘气堡D到旋转木马E的距离.
(1)求摩天轮C到淘气堡D的距离；
(2)现要在距离摩天轮45 m的E处修建游乐项目旋转木马($CE=45\ \mathrm{m}$)，点B,C,E在同一直线上，此时恰好$DE⊥ EC$，求淘气堡D到旋转木马E的距离.
答案
解:(1)因为 DA⊥AB,所以∠BAC=90°。因为 AB=80 m,BC=100 m，所以 AC=√(BC²-AB²)=√(100²-80²)=60(m)。因为 AD=135 m,点 C,D 均在点 A 的正北方向,即点 A,C,D 在同一直线上，所以 CD=135-60=75(m)。答:摩天轮 C 到淘气堡 D 的距离为 75 m。(2)因为 DE⊥EC,所以∠DEC=90°，因为 CD=75 m,CE=45 m，所以 DE=√(CD²-CE²)=√(75²-45²)=60(m)。答:淘气堡 D 到旋转木马 E 的距离为 60 m。
解析
【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：
（1）求CD的长度：首先由$DA⊥ AB$可知$△ ABC$是直角三角形，已知直角边AB和斜边BC的长度，可先通过勾股定理算出AC的长度；再结合A、C、D三点共线（都在A的正北方向），用AD的长度减去AC的长度就能得到CD。
（2）求DE的长度：由$DE⊥ EC$可知$△ DEC$是直角三角形，已知斜边CD（第（1）问已求出）和直角边CE的长度，直接用勾股定理就可求出DE的长度。
【解析】
解：(1) 因为$DA⊥ AB$，所以$∠ BAC=90°$，$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=80\ \mathrm{m}$，$BC=100\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{100^2-80^2}=\sqrt{3600}=60(\mathrm{m})$。
因为点C、D都在A的正北方向，即A、C、D三点共线，且$AD=135\ \mathrm{m}$，
所以$CD=AD-AC=135-60=75(\mathrm{m})$。
(2) 因为$DE⊥ EC$，所以$∠ DEC=90°$，$△ DEC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$CD=75\ \mathrm{m}$，$CE=45\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{75^2-45^2}=\sqrt{3600}=60(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 摩天轮C到淘气堡D的距离为$\boxed{75\ \mathrm{m}}$；
(2) 淘气堡D到旋转木马E的距离为$\boxed{60\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理；线段和差计算；垂直的定义
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题核心是从实际场景的平面图中抽象出直角三角形，明确已知边和待求边的对应关系，正确运用勾股定理计算即可，计算时可利用平方差公式简化运算，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
我们可以分两步梳理解题思路：
（1）求CD的长度：首先由$DA⊥ AB$可知$△ ABC$是直角三角形，已知直角边AB和斜边BC的长度，可先通过勾股定理算出AC的长度；再结合A、C、D三点共线（都在A的正北方向），用AD的长度减去AC的长度就能得到CD。
（2）求DE的长度：由$DE⊥ EC$可知$△ DEC$是直角三角形，已知斜边CD（第（1）问已求出）和直角边CE的长度，直接用勾股定理就可求出DE的长度。
【解析】
解：(1) 因为$DA⊥ AB$，所以$∠ BAC=90°$，$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=80\ \mathrm{m}$，$BC=100\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{100^2-80^2}=\sqrt{3600}=60(\mathrm{m})$。
因为点C、D都在A的正北方向，即A、C、D三点共线，且$AD=135\ \mathrm{m}$，
所以$CD=AD-AC=135-60=75(\mathrm{m})$。
(2) 因为$DE⊥ EC$，所以$∠ DEC=90°$，$△ DEC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$CD=75\ \mathrm{m}$，$CE=45\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{75^2-45^2}=\sqrt{3600}=60(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 摩天轮C到淘气堡D的距离为$\boxed{75\ \mathrm{m}}$；
(2) 淘气堡D到旋转木马E的距离为$\boxed{60\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理；线段和差计算；垂直的定义
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题核心是从实际场景的平面图中抽象出直角三角形，明确已知边和待求边的对应关系，正确运用勾股定理计算即可，计算时可利用平方差公式简化运算，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
8.有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长$AD=80\ \mathrm{cm}$，高$AB=50\ \mathrm{cm}$，水深$AE=40\ \mathrm{cm}$，在水面上紧贴内壁的$G$处有一块面包屑，$G$在水面线$EF$上，且$FG=30\ \mathrm{cm}$.一只蚂蚁想从鱼缸外的$A$点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的$G$处吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线为
$10\sqrt{61}$
cm.答案
8. 10√61
解析
【分析】
要找到蚂蚁爬行的最短路线，需利用“两点之间线段最短”的原理：蚂蚁需要从鱼缸外跨越缸沿爬到缸内的G点，我们可以通过作对称点的方法，将折线爬行路径转化为两点之间的线段。首先作点A关于鱼缸上沿BC所在直线的对称点A'，连接A'G，该线段的长度就是最短爬行路线，再构造直角三角形用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
作点A关于鱼缸上沿BC的对称点A'，连接A'G，A'G即为最短爬行路径：
1. 由AB=50cm，可知A到BC的距离为50cm，对称后A'到BC的距离也为50cm，因此A'到A点的竖直距离为$50×2=100\ \mathrm{cm}$；
2. 已知水深AE=40cm，因此G点距离A点的竖直高度为40cm，可得A'与G的竖直高度差为$100-40=60\ \mathrm{cm}$；
3. 已知AD=80cm，EF与AD长度相等，G在EF上且FG=30cm，因此G到AB边的水平距离为$80-30=50\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理，可得：
$A'G=\sqrt{50^2+60^2}=\sqrt{2500+3600}=\sqrt{6100}=10\sqrt{61}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$10\sqrt{61}$
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，对称变换
【点评】
本题是典型的立体图形表面最短路径问题，解题核心是通过对称将立体表面的折线路径转化为平面内的线段，再结合勾股定理计算，很好地体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
要找到蚂蚁爬行的最短路线，需利用“两点之间线段最短”的原理：蚂蚁需要从鱼缸外跨越缸沿爬到缸内的G点，我们可以通过作对称点的方法，将折线爬行路径转化为两点之间的线段。首先作点A关于鱼缸上沿BC所在直线的对称点A'，连接A'G，该线段的长度就是最短爬行路线，再构造直角三角形用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
作点A关于鱼缸上沿BC的对称点A'，连接A'G，A'G即为最短爬行路径：
1. 由AB=50cm，可知A到BC的距离为50cm，对称后A'到BC的距离也为50cm，因此A'到A点的竖直距离为$50×2=100\ \mathrm{cm}$；
2. 已知水深AE=40cm，因此G点距离A点的竖直高度为40cm，可得A'与G的竖直高度差为$100-40=60\ \mathrm{cm}$；
3. 已知AD=80cm，EF与AD长度相等，G在EF上且FG=30cm，因此G到AB边的水平距离为$80-30=50\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理，可得：
$A'G=\sqrt{50^2+60^2}=\sqrt{2500+3600}=\sqrt{6100}=10\sqrt{61}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$10\sqrt{61}$
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，对称变换
【点评】
本题是典型的立体图形表面最短路径问题，解题核心是通过对称将立体表面的折线路径转化为平面内的线段，再结合勾股定理计算，很好地体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
