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7.若$(x+a)(x-5)=x^2+bx-10$，则$(2a+b)(2a-b)$的值是（）.
A.$-7$
B.$7$
C.$-1$
D.$5$
A.$-7$
B.$7$
C.$-1$
D.$5$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用多项式乘多项式法则将等式左边的式子展开；第二步，根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值；第三步，将a、b的值代入待求的代数式，可利用平方差公式简化计算，最终求出结果。
【解析】
1. 展开等式左侧的多项式：
$(x+a)(x-5) = x^2 -5x +ax -5a = x^2 + (a-5)x -5a$
2. 根据等式左右两边多项式相等，对应项系数相等：
常数项对应相等：$-5a = -10$，解得$a=2$
一次项系数对应相等：$a-5 = b$，将$a=2$代入得$b=2-5=-3$
3. 计算$(2a+b)(2a-b)$，利用平方差公式化简得：
$(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$
将$a=2$，$b=-3$代入：
$4× 2^2 - (-3)^2 = 4×4 -9 = 16-9=7$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的条件；平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，解题核心是熟练掌握多项式乘法法则和多项式相等的性质，结合乘法公式可有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先利用多项式乘多项式法则将等式左边的式子展开；第二步，根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值；第三步，将a、b的值代入待求的代数式，可利用平方差公式简化计算，最终求出结果。
【解析】
1. 展开等式左侧的多项式：
$(x+a)(x-5) = x^2 -5x +ax -5a = x^2 + (a-5)x -5a$
2. 根据等式左右两边多项式相等，对应项系数相等：
常数项对应相等：$-5a = -10$，解得$a=2$
一次项系数对应相等：$a-5 = b$，将$a=2$代入得$b=2-5=-3$
3. 计算$(2a+b)(2a-b)$，利用平方差公式化简得：
$(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$
将$a=2$，$b=-3$代入：
$4× 2^2 - (-3)^2 = 4×4 -9 = 16-9=7$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的条件；平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，解题核心是熟练掌握多项式乘法法则和多项式相等的性质，结合乘法公式可有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
8. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式$(a+b)^n$的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”. 根据“杨辉三角”计算，$(a+b)^{10}$的展开式中第三项的系数为().
A.45
B.55
C.2 017
D.2 018
A.45
B.55
C.2 017
D.2 018
答案
A
解析
【分析】
首先观察杨辉三角中$(a+b)^n$展开式的系数特征，先列举低次幂展开式第三项的系数，寻找规律：
$(a+b)^2$第三项系数为1，$(a+b)^3$第三项系数为3，$(a+b)^4$第三项系数为6，$(a+b)^5$第三项系数为10，可归纳得出$(a+b)^n$的第三项系数的通用计算方法，再代入$n=10$计算即可。
【解析】
观察已知杨辉三角的系数规律：
当$n=2$时，$(a+b)^2$第三项系数为$1=\frac{2×1}{2}$
当$n=3$时，$(a+b)^3$第三项系数为$3=\frac{3×2}{2}$
当$n=4$时，$(a+b)^4$第三项系数为$6=\frac{4×3}{2}$
当$n=5$时，$(a+b)^5$第三项系数为$10=\frac{5×4}{2}$
可总结规律：$(a+b)^n$的展开式中第三项的系数为$\frac{n(n-1)}{2}$
将$n=10$代入得：$\frac{10×9}{2}=45$
【答案】
A
【知识点】
杨辉三角规律，数字规律探究，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察低次幂的系数特征归纳通用规律，考查学生的归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察杨辉三角中$(a+b)^n$展开式的系数特征，先列举低次幂展开式第三项的系数，寻找规律：
$(a+b)^2$第三项系数为1，$(a+b)^3$第三项系数为3，$(a+b)^4$第三项系数为6，$(a+b)^5$第三项系数为10，可归纳得出$(a+b)^n$的第三项系数的通用计算方法，再代入$n=10$计算即可。
【解析】
观察已知杨辉三角的系数规律：
当$n=2$时，$(a+b)^2$第三项系数为$1=\frac{2×1}{2}$
当$n=3$时，$(a+b)^3$第三项系数为$3=\frac{3×2}{2}$
当$n=4$时，$(a+b)^4$第三项系数为$6=\frac{4×3}{2}$
当$n=5$时，$(a+b)^5$第三项系数为$10=\frac{5×4}{2}$
可总结规律：$(a+b)^n$的展开式中第三项的系数为$\frac{n(n-1)}{2}$
将$n=10$代入得：$\frac{10×9}{2}=45$
【答案】
A
【知识点】
杨辉三角规律，数字规律探究，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察低次幂的系数特征归纳通用规律，考查学生的归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
9. 若 $10^{x}=a,10^{y}=b$，则 $10^{x+y+2}=$ 。
9. 若 $10^{x}=a,10^{y}=b$，则 $10^{x+y+2}=$ 。
答案
$\boldsymbol{100ab}$
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的指数是和的形式，联想到同底数幂乘法法则的逆用：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，反过来，指数相加的同底数幂可以拆分为多个同底数幂的乘积。我们可以把$10^{x+y+2}$拆分为$10^x$、$10^y$、$10^2$三个幂的乘积，再代入已知条件计算即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$，逆用该法则可得：
$10^{x+y+2}=10^x · 10^y · 10^2$
已知$10^x=a$，$10^y=b$，且$10^2=100$，代入上式得：
$10^{x+y+2}=a · b · 100 = 100ab$
【答案】
$100ab$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题关键是能将指数为和的形式的幂正确拆分为多个同底数幂的乘积，再代入已知条件计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求式子的指数是和的形式，联想到同底数幂乘法法则的逆用：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，反过来，指数相加的同底数幂可以拆分为多个同底数幂的乘积。我们可以把$10^{x+y+2}$拆分为$10^x$、$10^y$、$10^2$三个幂的乘积，再代入已知条件计算即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$，逆用该法则可得：
$10^{x+y+2}=10^x · 10^y · 10^2$
已知$10^x=a$，$10^y=b$，且$10^2=100$，代入上式得：
$10^{x+y+2}=a · b · 100 = 100ab$
【答案】
$100ab$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题关键是能将指数为和的形式的幂正确拆分为多个同底数幂的乘积，再代入已知条件计算即可。
【难度系数】
0.9
10.已知$a+b=4$，$ab=-5$，那么$a^2+b^2$的值为
答案
$\boldsymbol{26}$
解析
【分析】
要求$a^2+b^2$的值，观察已知条件给出的是$a+b$与$ab$的数值，可联想到完全平方公式的变形：将完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$进行移项变形，即可得到$a^2+b^2$与$(a+b)^2$、$ab$的关系，再代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
把$a+b=4$，$ab=-5$代入上式计算：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 &= 4^2 - 2×(-5) \\&= 16 + 10 \\&= 26\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{26}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的常见变形，代入计算时注意符号的处理，是整式运算中的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
要求$a^2+b^2$的值，观察已知条件给出的是$a+b$与$ab$的数值，可联想到完全平方公式的变形：将完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$进行移项变形，即可得到$a^2+b^2$与$(a+b)^2$、$ab$的关系，再代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
把$a+b=4$，$ab=-5$代入上式计算：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 &= 4^2 - 2×(-5) \\&= 16 + 10 \\&= 26\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{26}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的常见变形，代入计算时注意符号的处理，是整式运算中的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
11. 将4个数$a,b,c,d$排成2行2列，两边各加一条竖直线，记成$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$。若$\begin{vmatrix} -5&-3x^2+5 \\ 2&x^2-3 \end{vmatrix}=6$，则$11x^2 -5=$ ______
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题思路分为三步：首先要准确理解题目给出的二阶行列式的运算规则，把行列式形式转化为普通的整式运算等式；其次对得到的等式进行去括号、合并同类项等化简操作，求出$x^2$的值；最后将$x^2$的值代入要求的代数式计算即可，不需要单独求解$x$，计算更简便。
【解析】
根据题中定义的$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} -5&-3x^2+5 \\ 2&x^2-3 \end{vmatrix}=(-5)×(x^2 - 3) - 2×(-3x^2 + 5) = 6$
对左边进行化简：
去括号得：$-5x^2 + 15 + 6x^2 - 10 = 6$
合并同类项得：$x^2 + 5 = 6$
解得：$x^2 = 1$
将$x^2=1$代入$11x^2 -5$得：
$11×1 -5 = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、代数式求值
【点评】
本题是典型的新定义运算题，核心考查对新规则的理解应用能力和整式运算的熟练度，解题的关键是正确将新定义运算转化为常规的整式运算，注意去括号时不要弄错符号，整体代入求值的思路可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算题型，解题思路分为三步：首先要准确理解题目给出的二阶行列式的运算规则，把行列式形式转化为普通的整式运算等式；其次对得到的等式进行去括号、合并同类项等化简操作，求出$x^2$的值；最后将$x^2$的值代入要求的代数式计算即可，不需要单独求解$x$，计算更简便。
【解析】
根据题中定义的$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} -5&-3x^2+5 \\ 2&x^2-3 \end{vmatrix}=(-5)×(x^2 - 3) - 2×(-3x^2 + 5) = 6$
对左边进行化简：
去括号得：$-5x^2 + 15 + 6x^2 - 10 = 6$
合并同类项得：$x^2 + 5 = 6$
解得：$x^2 = 1$
将$x^2=1$代入$11x^2 -5$得：
$11×1 -5 = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
新定义运算、整式化简、代数式求值
【点评】
本题是典型的新定义运算题，核心考查对新规则的理解应用能力和整式运算的熟练度，解题的关键是正确将新定义运算转化为常规的整式运算，注意去括号时不要弄错符号，整体代入求值的思路可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7
12.如果$3a^2 +4a -1=0$,那么$(2a+1)^2 - (a-2)(a+2)$的结果是.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
本题属于已知方程求代数式值的题型，解题时无需直接求解a的数值，首先利用整式乘法公式将待求代数式展开、合并同类项化简，再观察化简后的式子与已知方程的关系，采用整体代入的方法计算即可，能简化计算过程，避免出错。解题时先回忆完全平方公式、平方差公式的展开规则，先展开待求式整理后，结合已知条件给出的$3a^2+4a$的数值代入计算。
【解析】
首先化简待求代数式：
1. 利用完全平方公式展开$(2a+1)^2$：
$(2a+1)^2 = (2a)^2 + 2×2a×1 + 1^2 = 4a^2 + 4a + 1$
2. 利用平方差公式计算$(a-2)(a+2)$：
$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$
3. 代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}(2a+1)^2 - (a-2)(a+2) &= 4a^2 + 4a + 1 - (a^2 - 4) \\&= 4a^2 + 4a + 1 - a^2 + 4 \\&= 3a^2 + 4a + 5\end{aligned}$
已知$3a^2 +4a -1=0$，移项可得$3a^2 +4a = 1$，将其整体代入上式：
$3a^2 +4a +5 = 1 + 5 = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
整式化简求值、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的展开规则是解题前提，通过整体代入的方法可避免求解未知数的复杂运算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
本题属于已知方程求代数式值的题型，解题时无需直接求解a的数值，首先利用整式乘法公式将待求代数式展开、合并同类项化简，再观察化简后的式子与已知方程的关系，采用整体代入的方法计算即可，能简化计算过程，避免出错。解题时先回忆完全平方公式、平方差公式的展开规则，先展开待求式整理后，结合已知条件给出的$3a^2+4a$的数值代入计算。
【解析】
首先化简待求代数式：
1. 利用完全平方公式展开$(2a+1)^2$：
$(2a+1)^2 = (2a)^2 + 2×2a×1 + 1^2 = 4a^2 + 4a + 1$
2. 利用平方差公式计算$(a-2)(a+2)$：
$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$
3. 代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}(2a+1)^2 - (a-2)(a+2) &= 4a^2 + 4a + 1 - (a^2 - 4) \\&= 4a^2 + 4a + 1 - a^2 + 4 \\&= 3a^2 + 4a + 5\end{aligned}$
已知$3a^2 +4a -1=0$，移项可得$3a^2 +4a = 1$，将其整体代入上式：
$3a^2 +4a +5 = 1 + 5 = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
整式化简求值、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的展开规则是解题前提，通过整体代入的方法可避免求解未知数的复杂运算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
三、解答题
13. 计算：
(1) $-1^{2027} × 4 + (-3)^2 + (π -5)^0$；
(2) $a^3 · a^5 + (a^2)^4 + (-3a^4)^2$。
13. 计算：
(1) $-1^{2027} × 4 + (-3)^2 + (π -5)^0$；
(2) $a^3 · a^5 + (a^2)^4 + (-3a^4)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=-1×4 + 9 + 1$
$=-4 + 9 + 1$
$=6$
(2) 原式$=a^{3+5} + a^{2×4} + (-3)^2·(a^4)^2$
$=a^8 + a^8 + 9a^8$
$=11a^8$
(1) 原式$=-1×4 + 9 + 1$
$=-4 + 9 + 1$
$=6$
(2) 原式$=a^{3+5} + a^{2×4} + (-3)^2·(a^4)^2$
$=a^8 + a^8 + 9a^8$
$=11a^8$
解析
【分析】
(1) 本题考查有理数混合运算，解题思路为：先算乘方和零指数幂：①-1的奇数次幂为-1，可得$-1^{2027}=-1$；②平方运算得$(-3)^2=9$；③非零数的零次幂等于1，$π-5≠0$，故$(π-5)^0=1$；再算乘法运算，最后按从左到右的顺序计算加减即可。
(2) 本题考查整式幂运算与合并同类项，解题思路为：分别根据幂的运算法则计算每一项：①同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算$a^3·a^5$；②幂的乘方，底数不变指数相乘，计算$(a^2)^4$；③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算$(-3a^4)^2$；最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 原式$=-1×4 + 9 + 1$
$=-4 + 9 + 1$
$=6$
(2) 原式$=a^{3+5} + a^{2×4} + (-3)^2·(a^4)^2$
$=a^8 + a^8 + 9a^8$
$=11a^8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{11a^8}$
【知识点】
1. 有理数混合运算 2. 幂的运算性质 3. 合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题型，侧重考查对相关运算法则的熟练掌握程度，计算时需要注意符号处理以及幂运算中指数的变化规律，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.85
(1) 本题考查有理数混合运算，解题思路为：先算乘方和零指数幂：①-1的奇数次幂为-1，可得$-1^{2027}=-1$；②平方运算得$(-3)^2=9$；③非零数的零次幂等于1，$π-5≠0$，故$(π-5)^0=1$；再算乘法运算，最后按从左到右的顺序计算加减即可。
(2) 本题考查整式幂运算与合并同类项，解题思路为：分别根据幂的运算法则计算每一项：①同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算$a^3·a^5$；②幂的乘方，底数不变指数相乘，计算$(a^2)^4$；③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算$(-3a^4)^2$；最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 原式$=-1×4 + 9 + 1$
$=-4 + 9 + 1$
$=6$
(2) 原式$=a^{3+5} + a^{2×4} + (-3)^2·(a^4)^2$
$=a^8 + a^8 + 9a^8$
$=11a^8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{11a^8}$
【知识点】
1. 有理数混合运算 2. 幂的运算性质 3. 合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题型，侧重考查对相关运算法则的熟练掌握程度，计算时需要注意符号处理以及幂运算中指数的变化规律，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.85
14. (1)若$10^x = 3, 10^y = 2$,求代数式$10^{2x+3y}$的值；
(2)已知$3m+2n-6=0$,求$8^m · 4^n$的值.
(2)已知$3m+2n-6=0$,求$8^m · 4^n$的值.
答案
解：(1)
由幂的运算法则可得：
$10^{2x+3y}=10^{2x} · 10^{3y}=(10^x)^2 · (10^y)^3$
把$10^x=3$，$10^y=2$代入上式：
原式$=3^2 × 2^3=9 × 8=72$
(2)
对所求代数式变形：
$8^m · 4^n=(2^3)^m · (2^2)^n=2^{3m} · 2^{2n}=2^{3m+2n}$
由$3m+2n-6=0$，得$3m+2n=6$
把$3m+2n=6$代入上式：
原式$=2^6=64$
由幂的运算法则可得：
$10^{2x+3y}=10^{2x} · 10^{3y}=(10^x)^2 · (10^y)^3$
把$10^x=3$，$10^y=2$代入上式：
原式$=3^2 × 2^3=9 × 8=72$
(2)
对所求代数式变形：
$8^m · 4^n=(2^3)^m · (2^2)^n=2^{3m} · 2^{2n}=2^{3m+2n}$
由$3m+2n-6=0$，得$3m+2n=6$
把$3m+2n=6$代入上式：
原式$=2^6=64$
解析
【分析】
(1) 所求代数式的指数是和的形式，首先逆用同底数幂的乘法法则，将$10^{2x+3y}$拆分为$10^{2x} · 10^{3y}$；再逆用幂的乘方法则，将两个式子分别转化为$(10^x)^2$和$(10^y)^3$，最后把已知的$10^x=3$、$10^y=2$整体代入计算即可。
(2) 先将所求代数式的底数8、4统一转化为以2为底的幂，再利用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则，将$8^m · 4^n$整理为$2^{3m+2n}$；然后根据已知方程求出$3m+2n$的值，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由幂的运算法则可得：
$10^{2x+3y}=10^{2x} · 10^{3y}=(10^x)^2 · (10^y)^3$
把$10^x=3$，$10^y=2$代入上式：
原式$=3^2 × 2^3=9 × 8=72$
(2) 对所求代数式变形：
$8^m · 4^n=(2^3)^m · (2^2)^n=2^{3m} · 2^{2n}=2^{3m+2n}$
由$3m+2n-6=0$，得$3m+2n=6$
把$3m+2n=6$代入上式：
原式$=2^6=64$
【答案】
(1) $\boxed{72}$；(2) $\boxed{64}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、整体代入求值
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的逆用，解题关键是将所求代数式通过幂的运算法则转化为含有已知条件的形式，结合整体代入思想计算，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 所求代数式的指数是和的形式，首先逆用同底数幂的乘法法则，将$10^{2x+3y}$拆分为$10^{2x} · 10^{3y}$；再逆用幂的乘方法则，将两个式子分别转化为$(10^x)^2$和$(10^y)^3$，最后把已知的$10^x=3$、$10^y=2$整体代入计算即可。
(2) 先将所求代数式的底数8、4统一转化为以2为底的幂，再利用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则，将$8^m · 4^n$整理为$2^{3m+2n}$；然后根据已知方程求出$3m+2n$的值，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由幂的运算法则可得：
$10^{2x+3y}=10^{2x} · 10^{3y}=(10^x)^2 · (10^y)^3$
把$10^x=3$，$10^y=2$代入上式：
原式$=3^2 × 2^3=9 × 8=72$
(2) 对所求代数式变形：
$8^m · 4^n=(2^3)^m · (2^2)^n=2^{3m} · 2^{2n}=2^{3m+2n}$
由$3m+2n-6=0$，得$3m+2n=6$
把$3m+2n=6$代入上式：
原式$=2^6=64$
【答案】
(1) $\boxed{72}$；(2) $\boxed{64}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、整体代入求值
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的逆用，解题关键是将所求代数式通过幂的运算法则转化为含有已知条件的形式，结合整体代入思想计算，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
15. 计算：
(1) $(12x^4 + 6x^2) ÷ (3x) - (-2x)^2 (x + 1)$；
(2) $\frac{1}{2} x (3xy + 2y^2) + (4x^3 y^3 - 3x^4 y^2) ÷ (2x^2 y)$。
(1) $(12x^4 + 6x^2) ÷ (3x) - (-2x)^2 (x + 1)$；
(2) $\frac{1}{2} x (3xy + 2y^2) + (4x^3 y^3 - 3x^4 y^2) ÷ (2x^2 y)$。
答案
解：
(1) 原式 = $12x^4÷ 3x + 6x^2÷ 3x - 4x^2(x+1)$
$= 4x^3 + 2x - 4x^3 - 4x^2$
$= -4x^2 + 2x$
(2) 原式 = $\frac{1}{2}x· 3xy + \frac{1}{2}x· 2y^2 + 4x^3y^3÷ 2x^2y - 3x^4y^2÷ 2x^2y$
$= \frac{3}{2}x^2y + xy^2 + 2xy^2 - \frac{3}{2}x^2y$
$= 3xy^2$
(1) 原式 = $12x^4÷ 3x + 6x^2÷ 3x - 4x^2(x+1)$
$= 4x^3 + 2x - 4x^3 - 4x^2$
$= -4x^2 + 2x$
(2) 原式 = $\frac{1}{2}x· 3xy + \frac{1}{2}x· 2y^2 + 4x^3y^3÷ 2x^2y - 3x^4y^2÷ 2x^2y$
$= \frac{3}{2}x^2y + xy^2 + 2xy^2 - \frac{3}{2}x^2y$
$= 3xy^2$
解析
【分析】
这两道题属于整式的混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序。对于（1），先分别计算多项式除以单项式、积的乘方，再计算单项式乘多项式，最后合并同类项即可；对于（2），先分别计算单项式乘多项式、多项式除以单项式，再合并同类项，运算过程中注意系数运算和同底数幂的运算法则，避免符号错误。
【解析】
(1) 原式 = $12x^4÷ 3x + 6x^2÷ 3x - 4x^2(x+1)$
$= 4x^3 + 2x - 4x^3 - 4x^2$
$= -4x^2 + 2x$
(2) 原式 = $\frac{1}{2}x· 3xy + \frac{1}{2}x· 2y^2 + 4x^3y^3÷ 2x^2y - 3x^4y^2÷ 2x^2y$
$= \frac{3}{2}x^2y + xy^2 + 2xy^2 - \frac{3}{2}x^2y$
$= 3xy^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4x^2 + 2x}$；(2) $\boldsymbol{3xy^2}$
【知识点】
整式混合运算，多项式除以单项式，单项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的常规基础题型，重点考查整式运算的顺序及相关运算法则的掌握情况，解题时需注意运算优先级，同时仔细核对系数、指数及符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式的混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序。对于（1），先分别计算多项式除以单项式、积的乘方，再计算单项式乘多项式，最后合并同类项即可；对于（2），先分别计算单项式乘多项式、多项式除以单项式，再合并同类项，运算过程中注意系数运算和同底数幂的运算法则，避免符号错误。
【解析】
(1) 原式 = $12x^4÷ 3x + 6x^2÷ 3x - 4x^2(x+1)$
$= 4x^3 + 2x - 4x^3 - 4x^2$
$= -4x^2 + 2x$
(2) 原式 = $\frac{1}{2}x· 3xy + \frac{1}{2}x· 2y^2 + 4x^3y^3÷ 2x^2y - 3x^4y^2÷ 2x^2y$
$= \frac{3}{2}x^2y + xy^2 + 2xy^2 - \frac{3}{2}x^2y$
$= 3xy^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4x^2 + 2x}$；(2) $\boldsymbol{3xy^2}$
【知识点】
整式混合运算，多项式除以单项式，单项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的常规基础题型，重点考查整式运算的顺序及相关运算法则的掌握情况，解题时需注意运算优先级，同时仔细核对系数、指数及符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
