章末总结复习
思维导图·发展创新意识
整式的乘法
幂的运算
同底数幂的乘法：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m,n$都是正整数）
幂的乘方：$(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$（$m,n$都是正整数）
积的乘方：$(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$（$n$是正整数）
零指数幂：$a^0 = \_\_\_\_\_\_$（$a≠0$）
同底数幂相除：$a^m ÷ a^n = \_\_\_\_\_\_$（$a≠0,m,n$都是正整数，$m＞n$）
整式的乘法
单项式乘单项式：把系数和同底数幂分别相乘
单项式乘多项式：$p(a+b+c) = \_\_\_\_\_\_$
多项式乘多项式：$(a+b)(c+d) = \_\_\_\_\_\_$
整式的除法
单项式除以单项式
多项式除以单项式
乘法公式
平方差公式：$(a+b)(a-b) = \_\_\_\_\_\_$
完全平方公式：$(a±b)^2 = \_\_\_\_\_\_$

解：
幂的乘方：$(a^m)^n = \boldsymbol{a^{mn}}$
积的乘方：$(ab)^n = \boldsymbol{a^nb^n}$
零指数幂：$a^0 = \boldsymbol{1}\ (a≠0)$
同底数幂相除：$a^m ÷ a^n = \boldsymbol{a^{m-n}}\ (a≠0,m,n都是正整数,m＞n)$
单项式乘多项式：$p(a+b+c) = \boldsymbol{pa+pb+pc}$
多项式乘多项式：$(a+b)(c+d) = \boldsymbol{ac+ad+bc+bd}$
平方差公式：$(a+b)(a-b) = \boldsymbol{a^2-b^2}$
完全平方公式：$(a\pm b)^2 = \boldsymbol{a^2\pm2ab+b^2}$

【分析】
本题考查整式乘除相关的基础运算法则与公式识记，所有填空均为该章节要求熟练掌握的核心基础结论，解题时只需逐一对应每个运算的规则内容，回忆对应的公式直接填写即可，属于基础识记类题目。
【解析】
1. 幂的乘方：运算规则为底数不变，指数相乘，因此$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$都是正整数）；
2. 积的乘方：运算规则为把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(ab)^n=a^nb^n$（$n$是正整数）；
3. 零指数幂：规则为任何不等于0的数的0次幂都等于1，因此$a^0=1\ (a≠0)$；
4. 同底数幂相除：运算规则为底数不变，指数相减，因此$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0,m,n$都是正整数，$m＞n$）；
5. 单项式乘多项式：运算规则为用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，因此$p(a+b+c)=pa+pb+pc$；
6. 多项式乘多项式：运算规则为先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，因此$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$；
7. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，因此$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；
8. 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们积的2倍，因此$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
【答案】
幂的乘方：$\boldsymbol{a^{mn}}$；
积的乘方：$\boldsymbol{a^nb^n}$；
零指数幂：$\boldsymbol{1}$；
同底数幂相除：$\boldsymbol{a^{m-n}}$；
单项式乘多项式：$\boldsymbol{pa+pb+pc}$；
多项式乘多项式：$\boldsymbol{ac+ad+bc+bd}$；
平方差公式：$\boldsymbol{a^2-b^2}$；
完全平方公式：$\boldsymbol{a^2\pm2ab+b^2}$
【知识点】
幂的运算；整式乘除；乘法公式
【点评】
本题是整式乘除模块核心基础公式的汇总考查，这些公式是进行整式运算、化简求值、因式分解等内容的基础，需要熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.9

1. 下列运算中,正确的是().

A.$a^2 + a^4 = a^6$
B.$a^9 ÷ a^3 = a^6$
C.$a^2 · a^2 = 2a^2$
D.$(-a^2)^3 = a^6$

B

【分析】
本题考查整式中幂的相关运算，解题思路为：首先回忆合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，再逐一验证每个选项的运算是否符合法则，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2$和$a^4$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能直接合并相加，故A错误；
B选项：根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^9 ÷ a^3 = a^{9-3}=a^6$，故B正确；
C选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2 · a^2 = a^{2+2}=a^4$，运算结果不是$2a^2$，故C错误；
D选项：根据积的乘方和幂的乘方法则，积的乘方要把每个因式分别乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，可得$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3=-a^6$，运算结果不是$a^6$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是考查幂运算的基本法则，做题时要注意区分各类幂运算的指数变化规律，同时注意负数乘方的符号问题，避免因记混法则出错。
【难度系数】
0.8

2. 计算 $3x^3y^2z ÷ ( \frac{3}{2}x^2y^2 )$，结果正确的是().

A.0
B.$\frac{9}{2}xyz$
C.$2x$
D.$2xz$

D

【分析】
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路是依据单项式除以单项式的运算法则分三步计算：第一步将系数分别相除，得到商的系数；第二步将相同字母的幂按同底数幂的除法法则计算；第三步将只在被除式中出现的字母连同它的指数一起作为商的因式，最后将几部分结果相乘即可得到最终结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
1. 系数相除：$3 ÷ \frac{3}{2} = 3 × \frac{2}{3} = 2$
2. 同底数幂相除：
$x^3 ÷ x^2 = x^{3-2} = x$
$y^2 ÷ y^2 = y^{2-2} = y^0 = 1$（非零数的0次幂等于1）
3. 被除式中含有的字母$z$在除式中没有，直接作为商的因式。
将以上结果相乘得：$2 × x × 1 × z = 2xz$
【答案】
D
【知识点】
单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心是熟练掌握单项式除以单项式的运算法则，运算时需注意不要遗漏仅在被除式中出现的字母，同时准确计算同底数幂的指数差即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

3. 下列各式与多项式 $a - b - c$ 不相等的是().

A.$(a - b) - c$
B.$a - (b + c)$
C.$-(b + c - a)$
D.$a - (b - c)$

D

【分析】
本题可通过去括号法则将各选项的式子化简，再与原式$a - b - c$对比判断是否相等。解题时需牢记去括号的符号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项都要改变符号，逐个验证选项即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一去括号化简：
选项A：$(a - b) - c$，括号前为正号，去括号后得$a - b - c$，与原式相等，不符合题意；
选项B：$a - (b + c)$，括号前为负号，去括号后得$a - b - c$，与原式相等，不符合题意；
选项C：$-(b + c - a)$，括号前为负号，去括号后得$-b - c + a = a - b - c$，与原式相等，不符合题意；
选项D：$a - (b - c)$，括号前为负号，去括号后得$a - b + c$，与原式$a - b - c$不相等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则；整式化简
【点评】
本题属于基础题，重点考查去括号时的符号变化规律，解题的易错点是括号前为负号时，容易漏改变括号内部分项的符号，熟练掌握相关法则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

4. 下列计算中,正确的是().

A.$2x^2y · (-2x)^3 = -12x^5y$
B.$2a(ab^2 + a - 1) = 2a^2b^2 + 2a^2 - 1$
C.$5x^2 - (5x + 1)(x - 2) = -9x - 2$
D.$(4a^2b^2 - 2ab) ÷ (2ab) = 2ab - 1$

D

【分析】
本题考查整式的各类运算规则，解题思路为逐一计算每个选项的正确结果，再与选项给出的结果比对判断对错。计算时需严格遵循积的乘方、单项式乘除、多项式乘除、去括号、合并同类项的法则，尤其注意符号问题，不要出现漏乘（除）项的错误。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：先计算积的乘方$(-2x)^3=(-2)^3x^3=-8x^3$，再计算单项式乘法：$2x^2y·(-8x^3)=-16x^5y$，与选项给出的$-12x^5y$不符，故A错误。
选项B：根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项：$2a(ab^2+a-1)=2a·ab^2 + 2a·a + 2a·(-1)=2a^2b^2+2a^2-2a$，与选项给出的$2a^2b^2+2a^2-1$不符，故B错误。
选项C：先计算多项式乘多项式：$(5x+1)(x-2)=5x·x +5x·(-2)+1·x +1·(-2)=5x^2-10x+x-2=5x^2-9x-2$，再代入原式计算：$5x^2-(5x^2-9x-2)=5x^2-5x^2+9x+2=9x+2$，与选项给出的$-9x-2$不符，故C错误。
选项D：根据多项式除以单项式法则，每一项分别除以单项式：$(4a^2b^2-2ab)÷(2ab)=4a^2b^2÷2ab - 2ab÷2ab=2ab-1$，与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
整式乘除运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式
【点评】
本题侧重考查整式运算的基础规则，易错点为计算时漏乘项、符号处理错误，熟练掌握各类运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5. 如图,把一个边长为$a$的正方形相邻两边增加$b$得到一个新的大正方形,将新的大正方形的面积表示出来可以得到等式().


A.$2(a+b)=2a+2b$
B.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
C.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
D.$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

B

【分析】
解题时采用“两种方法计算同一图形面积，结果相等”的思路推导等式。第一步先确定新大正方形的边长，直接用正方形面积公式算出大正方形的总面积；第二步把大正方形分割为4个小图形，分别计算每个小图形的面积再求和，两种方法得到的面积相等，整理后得到对应等式，匹配选项即可。
【解析】
1. 计算大正方形的面积：
由题意可知，新的大正方形边长为$a+b$，根据正方形面积公式，其面积为$(a+b)^2$。
2. 计算分割后各小图形的面积和：
大正方形被分割为3类图形：
① 边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；
② 2个长为$a$、宽为$b$的长方形，每个面积为$ab$，总面积为$2ab$；
③ 边长为$b$的正方形，面积为$b^2$。
因此各小图形面积之和为$a^2 + 2ab + b^2$。
3. 列等式：
两种方法计算的是同一个大正方形的面积，结果相等，可得等式：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方和公式；正方形面积计算；数形结合思想
【点评】
本题借助几何图形的面积推导代数公式，直观展现了完全平方和公式的几何意义，是数形结合思想的典型应用，能帮助我们更深刻地理解整式乘法公式的来源，属于基础类习题。
【难度系数】
0.8

6.若$(mx+8)(2-3x)$展开后不含$x$的一次项，
则$m$的值为（）.

A.3
B.0
C.12
D.24

C

【分析】
要解决这个问题，首先要明确：多项式展开后不含x的一次项，就是指x的一次项的系数等于0。解题思路为：先按照多项式乘多项式的法则把原式展开，合并同类项后找到x的一次项的系数，令系数等于0，列方程求解即可得到m的值。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(mx+8)(2-3x)&=mx·2 + mx·(-3x) + 8·2 + 8·(-3x)\\&=2mx - 3mx^2 + 16 - 24x\\&=-3mx^2 + (2m - 24)x + 16\end{aligned}$
因为展开后不含x的一次项，所以x的一次项系数为0，可得方程：
$2m - 24 = 0$
解方程得：
$2m=24$
$m=12$
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，一元一次方程求解
【点评】
本题是整式乘法的典型基础题型，解题核心是正确理解“不含某一项”的含义为该项的系数为0，熟练掌握多项式乘法运算和合并同类项的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.7