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16.如图,某学校计划利用一片空地为学生建一个长方形车棚,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路(图中阴影部分),其余部分停放自行车.已知长方形车棚的宽为$x$ m,长为$(\dfrac{3}{2}x +1)$m,小路的宽为2 m,求停放自行车的面积.
答案
解：将停放自行车的区域向中间平移，可拼接得到一个新的长方形。
新长方形的长为：$(\dfrac{3}{2}x +1) - 2×2 = (\dfrac{3}{2}x -3)\ \mathrm{m}$
新长方形的宽为：$x - 2\ \mathrm{m}$
停放自行车的面积为：
$\begin{aligned}S&=(\dfrac{3}{2}x -3)(x - 2)\\&=\dfrac{3}{2}x^2 - 3x -3x +6\\&=\dfrac{3}{2}x^2 -6x +6\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：停放自行车的面积为$(\dfrac{3}{2}x^2 -6x +6)\ \mathrm{m}^2$。
新长方形的长为：$(\dfrac{3}{2}x +1) - 2×2 = (\dfrac{3}{2}x -3)\ \mathrm{m}$
新长方形的宽为：$x - 2\ \mathrm{m}$
停放自行车的面积为：
$\begin{aligned}S&=(\dfrac{3}{2}x -3)(x - 2)\\&=\dfrac{3}{2}x^2 - 3x -3x +6\\&=\dfrac{3}{2}x^2 -6x +6\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：停放自行车的面积为$(\dfrac{3}{2}x^2 -6x +6)\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要求停放自行车的空白区域面积，若直接用总面积减小路面积，需考虑小路的重叠部分，计算较繁琐。由于小路等宽，可采用平移法简化计算：将所有空白停车区域向中间平移，可拼接为一个规则的新长方形，只需计算新长方形的长和宽，再根据长方形面积公式求解即可。首先确定新长方形的长：原长方形长为$(\dfrac{3}{2}x +1)$m，纵向有2条宽2m的小路，因此新长要减去2个2m；再确定新长方形的宽：原长方形宽为$x$m，横向有1条宽2m的小路，因此新宽要减去1个2m，最后用长乘宽展开化简即可得到结果。
【解析】
将停放自行车的空白区域向中间平移，可拼接得到一个新的长方形。
新长方形的长为：$(\dfrac{3}{2}x +1) - 2×2 = (\dfrac{3}{2}x -3)\ \mathrm{m}$
新长方形的宽为：$x - 2\ \mathrm{m}$
根据长方形面积公式$S=长×宽$，停放自行车的面积为：
$\begin{aligned}S&=(\dfrac{3}{2}x -3)(x - 2)\\&=\dfrac{3}{2}x^2 - 3x -3x +6\\&=\dfrac{3}{2}x^2 -6x +6\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
停放自行车的面积为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2}x^2 -6x +6)\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
平移法求面积；多项式乘多项式；整式化简
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，利用平移将不规则区域转化为规则图形是解题的关键，能有效避免计算小路面积时重叠部分的处理失误，解题时需准确计算平移后长方形的长宽，同时掌握多项式乘法的运算规则，避免漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
要求停放自行车的空白区域面积，若直接用总面积减小路面积，需考虑小路的重叠部分，计算较繁琐。由于小路等宽，可采用平移法简化计算：将所有空白停车区域向中间平移，可拼接为一个规则的新长方形，只需计算新长方形的长和宽，再根据长方形面积公式求解即可。首先确定新长方形的长：原长方形长为$(\dfrac{3}{2}x +1)$m，纵向有2条宽2m的小路，因此新长要减去2个2m；再确定新长方形的宽：原长方形宽为$x$m，横向有1条宽2m的小路，因此新宽要减去1个2m，最后用长乘宽展开化简即可得到结果。
【解析】
将停放自行车的空白区域向中间平移，可拼接得到一个新的长方形。
新长方形的长为：$(\dfrac{3}{2}x +1) - 2×2 = (\dfrac{3}{2}x -3)\ \mathrm{m}$
新长方形的宽为：$x - 2\ \mathrm{m}$
根据长方形面积公式$S=长×宽$，停放自行车的面积为：
$\begin{aligned}S&=(\dfrac{3}{2}x -3)(x - 2)\\&=\dfrac{3}{2}x^2 - 3x -3x +6\\&=\dfrac{3}{2}x^2 -6x +6\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
停放自行车的面积为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2}x^2 -6x +6)\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
平移法求面积；多项式乘多项式；整式化简
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，利用平移将不规则区域转化为规则图形是解题的关键，能有效避免计算小路面积时重叠部分的处理失误，解题时需准确计算平移后长方形的长宽，同时掌握多项式乘法的运算规则，避免漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
17. 先化简，再求值：
(1) $(a+3)^2 - (a+1)(a-1) - 2(2a+4)$，其中 $a=\frac{1}{2}$；
(2) $[(x+2y)^2 - (x+y)(3x - y) - 5y^2] ÷ (2x)$，其中 $x=-2$，$y=\frac{1}{2}$。
(1) $(a+3)^2 - (a+1)(a-1) - 2(2a+4)$，其中 $a=\frac{1}{2}$；
(2) $[(x+2y)^2 - (x+y)(3x - y) - 5y^2] ÷ (2x)$，其中 $x=-2$，$y=\frac{1}{2}$。
答案
解：
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=a^2 + 6a + 9 - (a^2 - 1) - 4a - 8\\&=a^2 + 6a + 9 - a^2 + 1 - 4a - 8\\&=2a + 2\end{aligned}$
当$a=\frac{1}{2}$时，代入得：
$2×\frac{1}{2} + 2 = 3$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=[x^2 + 4xy + 4y^2 - (3x^2 + 2xy - y^2) - 5y^2] ÷ 2x\\&=(x^2 + 4xy + 4y^2 - 3x^2 - 2xy + y^2 - 5y^2) ÷ 2x\\&=(-2x^2 + 2xy) ÷ 2x\\&=-x + y\end{aligned}$
当$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$时，代入得：
$-(-2) + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
综上，(1)式的值为$3$，(2)式的值为$\frac{5}{2}$。
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=a^2 + 6a + 9 - (a^2 - 1) - 4a - 8\\&=a^2 + 6a + 9 - a^2 + 1 - 4a - 8\\&=2a + 2\end{aligned}$
当$a=\frac{1}{2}$时，代入得：
$2×\frac{1}{2} + 2 = 3$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=[x^2 + 4xy + 4y^2 - (3x^2 + 2xy - y^2) - 5y^2] ÷ 2x\\&=(x^2 + 4xy + 4y^2 - 3x^2 - 2xy + y^2 - 5y^2) ÷ 2x\\&=(-2x^2 + 2xy) ÷ 2x\\&=-x + y\end{aligned}$
当$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$时，代入得：
$-(-2) + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
综上，(1)式的值为$3$，(2)式的值为$\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
这两道是整式化简求值类题目，解题分为两步：第一步先化简整式，利用乘法公式、整式乘除法则展开原式，去括号时注意符号变化，再合并同类项将原式化为最简形式；第二步将给定的字母取值代入最简式计算即可得到结果。其中第(1)题用到完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则，第(2)题先计算中括号内的整式运算，再进行多项式除以单项式的运算。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=a^2 + 6a + 9 - (a^2 - 1) - 4a - 8\\&=a^2 + 6a + 9 - a^2 + 1 - 4a - 8\\&=2a + 2\end{aligned}$
当$a=\frac{1}{2}$时，代入得：
$2×\frac{1}{2} + 2 = 3$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=[x^2 + 4xy + 4y^2 - (3x^2 + 2xy - y^2) - 5y^2] ÷ 2x\\&=(x^2 + 4xy + 4y^2 - 3x^2 - 2xy + y^2 - 5y^2) ÷ 2x\\&=(-2x^2 + 2xy) ÷ 2x\\&=-x + y\end{aligned}$
当$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$时，代入得：
$-(-2) + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
整式的混合运算、乘法公式、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题型，重点考查对完全平方公式、平方差公式的熟练应用，以及去括号、合并同类项、整式除法的运算能力，解题时需注意去括号的符号变化，代值计算时避免符号错误。
【难度系数】
0.8
这两道是整式化简求值类题目，解题分为两步：第一步先化简整式，利用乘法公式、整式乘除法则展开原式，去括号时注意符号变化，再合并同类项将原式化为最简形式；第二步将给定的字母取值代入最简式计算即可得到结果。其中第(1)题用到完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则，第(2)题先计算中括号内的整式运算，再进行多项式除以单项式的运算。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=a^2 + 6a + 9 - (a^2 - 1) - 4a - 8\\&=a^2 + 6a + 9 - a^2 + 1 - 4a - 8\\&=2a + 2\end{aligned}$
当$a=\frac{1}{2}$时，代入得：
$2×\frac{1}{2} + 2 = 3$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=[x^2 + 4xy + 4y^2 - (3x^2 + 2xy - y^2) - 5y^2] ÷ 2x\\&=(x^2 + 4xy + 4y^2 - 3x^2 - 2xy + y^2 - 5y^2) ÷ 2x\\&=(-2x^2 + 2xy) ÷ 2x\\&=-x + y\end{aligned}$
当$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$时，代入得：
$-(-2) + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
整式的混合运算、乘法公式、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题型，重点考查对完全平方公式、平方差公式的熟练应用，以及去括号、合并同类项、整式除法的运算能力，解题时需注意去括号的符号变化，代值计算时避免符号错误。
【难度系数】
0.8
18. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法：$(3x + a)(2x - b)$，甲把第二个多项式中$b$前面的减号抄成了加号，得到的结果为$6x^2 +16x +8$；乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数2，得到的结果为$3x^2 -10x -8$。
(1)计算出$a,b$的值；
(2)在(1)的条件下，求出整式$(3x + a)(2x - b)$的正确结果。
(1)计算出$a,b$的值；
(2)在(1)的条件下，求出整式$(3x + a)(2x - b)$的正确结果。
答案
解：
(1) 甲抄错符号后计算的式子为$(3x+a)(2x+b)$，
展开得：$(3x+a)(2x+b)=6x^2 + (2a+3b)x + ab$，
由甲的计算结果可得：$2a + 3b = 16$ ①
乙漏抄第二个多项式中x的系数2后计算的式子为$(3x+a)(x-b)$，
展开得：$(3x+a)(x-b)=3x^2 + (a-3b)x - ab$，
由乙的计算结果可得：$a - 3b = -10$ ②
联立①②，将两式相加：
$3a = 6$
解得$a=2$，
把$a=2$代入①，得$4 + 3b =16$，
解得$b=4$。
(2) 将$a=2$，$b=4$代入原式：
$(3x+a)(2x-b)=(3x+2)(2x-4)$
$=6x^2 -12x +4x -8$
$=6x^2 -8x -8$
综上，(1) $\boldsymbol{a=2,\ b=4}$；(2) 正确结果为$\boldsymbol{6x^2 -8x -8}$。
(1) 甲抄错符号后计算的式子为$(3x+a)(2x+b)$，
展开得：$(3x+a)(2x+b)=6x^2 + (2a+3b)x + ab$，
由甲的计算结果可得：$2a + 3b = 16$ ①
乙漏抄第二个多项式中x的系数2后计算的式子为$(3x+a)(x-b)$，
展开得：$(3x+a)(x-b)=3x^2 + (a-3b)x - ab$，
由乙的计算结果可得：$a - 3b = -10$ ②
联立①②，将两式相加：
$3a = 6$
解得$a=2$，
把$a=2$代入①，得$4 + 3b =16$，
解得$b=4$。
(2) 将$a=2$，$b=4$代入原式：
$(3x+a)(2x-b)=(3x+2)(2x-4)$
$=6x^2 -12x +4x -8$
$=6x^2 -8x -8$
综上，(1) $\boldsymbol{a=2,\ b=4}$；(2) 正确结果为$\boldsymbol{6x^2 -8x -8}$。
解析
【分析】
本题需结合甲、乙两人抄错题目的条件，先分别写出两人实际计算的整式乘法算式，再利用多项式乘多项式的法则展开算式，根据展开后对应项系数相等建立关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值；第二问将求得的a、b代入原式，按整式乘法法则计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 甲把第二个多项式中b前面的减号抄成加号，因此他计算的式子为$\boldsymbol{(3x+a)(2x+b)}$，
根据多项式乘多项式法则展开得：
$(3x+a)(2x+b)=6x^2 + 3bx + 2ax + ab = 6x^2 + (2a+3b)x + ab$，
已知甲得到的结果为$6x^2 +16x +8$，对应一次项系数相等可得：$2a + 3b = 16$ ①；
乙漏抄了第二个多项式中x的系数2，因此他计算的式子为$\boldsymbol{(3x+a)(x - b)}$，
展开得：
$(3x+a)(x - b)=3x^2 - 3bx + ax - ab = 3x^2 + (a - 3b)x - ab$，
已知乙得到的结果为$3x^2 -10x -8$，对应一次项系数相等可得：$a - 3b = -10$ ②；
联立①②组成二元一次方程组，将两式相加消去b：
$①+②$得：$3a = 6$，解得$a=2$，
把$a=2$代入①得：$2×2 + 3b = 16$，即$4 + 3b =16$，解得$b=4$。
(2) 将$a=2$，$b=4$代入原式$(3x + a)(2x - b)$得：
$(3x+2)(2x-4)$
$=3x·2x + 3x·(-4) + 2·2x + 2·(-4)$
$=6x^2 -12x +4x -8$
$=6x^2 -8x -8$
【答案】
(1) $a=2$，$b=4$；(2) $6x^2 -8x -8$
【知识点】
多项式乘多项式，二元一次方程组的解法，整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法与二元一次方程组的综合应用题，解题的核心是根据错算的情况准确列出对应等式，利用多项式相等时对应项系数相等的性质建立方程求解，计算时要注意多项式展开的符号问题，避免漏乘错算。
【难度系数】
0.7
本题需结合甲、乙两人抄错题目的条件，先分别写出两人实际计算的整式乘法算式，再利用多项式乘多项式的法则展开算式，根据展开后对应项系数相等建立关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值；第二问将求得的a、b代入原式，按整式乘法法则计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 甲把第二个多项式中b前面的减号抄成加号，因此他计算的式子为$\boldsymbol{(3x+a)(2x+b)}$，
根据多项式乘多项式法则展开得：
$(3x+a)(2x+b)=6x^2 + 3bx + 2ax + ab = 6x^2 + (2a+3b)x + ab$，
已知甲得到的结果为$6x^2 +16x +8$，对应一次项系数相等可得：$2a + 3b = 16$ ①；
乙漏抄了第二个多项式中x的系数2，因此他计算的式子为$\boldsymbol{(3x+a)(x - b)}$，
展开得：
$(3x+a)(x - b)=3x^2 - 3bx + ax - ab = 3x^2 + (a - 3b)x - ab$，
已知乙得到的结果为$3x^2 -10x -8$，对应一次项系数相等可得：$a - 3b = -10$ ②；
联立①②组成二元一次方程组，将两式相加消去b：
$①+②$得：$3a = 6$，解得$a=2$，
把$a=2$代入①得：$2×2 + 3b = 16$，即$4 + 3b =16$，解得$b=4$。
(2) 将$a=2$，$b=4$代入原式$(3x + a)(2x - b)$得：
$(3x+2)(2x-4)$
$=3x·2x + 3x·(-4) + 2·2x + 2·(-4)$
$=6x^2 -12x +4x -8$
$=6x^2 -8x -8$
【答案】
(1) $a=2$，$b=4$；(2) $6x^2 -8x -8$
【知识点】
多项式乘多项式，二元一次方程组的解法，整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法与二元一次方程组的综合应用题，解题的核心是根据错算的情况准确列出对应等式，利用多项式相等时对应项系数相等的性质建立方程求解，计算时要注意多项式展开的符号问题，避免漏乘错算。
【难度系数】
0.7
