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1. 利用“边角边”判定两个三角形全等的方法：
两
边和它们的夹角
分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边
”或“SAS
”。答案
1. 两 夹角 边角边 SAS
解析
【分析】
本题考查三角形全等“边角边”判定定理的基础概念，解题时直接回忆该判定定理的内容即可：“边角边”对应的是两条边，且这两条边必须是夹着同一个角的边，即两边和它们的夹角相等即可判定全等；中文简称直接取“边、角、边”三字，英文缩写是取边（Side）、角（Angle）、边（Side）的首字母组合。
【解析】
根据“边角边”判定两个三角形全等的定义：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，中文简写成“边角边”，英文缩写为“SAS”，因此四个空依次填入对应内容即可。
【答案】
两 夹角 边角边 SAS
【知识点】
1. 全等三角形判定
2. SAS判定定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对全等三角形“边角边”判定定理内容的掌握，是学习全等三角形证明的必备基础，平时要注重对基础定理内容的准确记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形全等“边角边”判定定理的基础概念，解题时直接回忆该判定定理的内容即可：“边角边”对应的是两条边，且这两条边必须是夹着同一个角的边，即两边和它们的夹角相等即可判定全等；中文简称直接取“边、角、边”三字，英文缩写是取边（Side）、角（Angle）、边（Side）的首字母组合。
【解析】
根据“边角边”判定两个三角形全等的定义：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，中文简写成“边角边”，英文缩写为“SAS”，因此四个空依次填入对应内容即可。
【答案】
两 夹角 边角边 SAS
【知识点】
1. 全等三角形判定
2. SAS判定定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对全等三角形“边角边”判定定理内容的掌握，是学习全等三角形证明的必备基础，平时要注重对基础定理内容的准确记忆。
【难度系数】
0.9
2. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形
不一定全等
.答案
2. 不一定全等
解析
【分析】
首先回忆三角形全等的判定定理，涉及两边的判定定理只有“SAS（两边及其夹角对应相等）”，本题给出的条件是“两边和其中一边的对角分别相等”，即“SSA”，不属于通用的全等判定条件。接下来可以通过构造反例验证：固定一个角、一条邻边，再以邻边的另一个端点为圆心、固定长度为半径画弧，会与角的另一边交于两个不同的点，得到的两个三角形满足题设条件但不全等；同时要注意直角三角形的HL是特殊的SSA，此时两个三角形全等，综上可得出结论。
【解析】
三角形全等的通用判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有特殊判定HL，不存在“SSA（两边及其中一边的对角相等）”的通用判定定理。
我们可以通过构造反例验证：画固定大小的∠A，在∠A的一条边上取定点B，使AB长度固定，再以点B为圆心、固定长度为半径画弧，该弧会与∠A的另一条边交于两个不同的点C、C'，此时△ABC和△ABC'中，AB=AB，BC=BC'，∠A=∠A，完全符合题设的“两边和其中一边的对角分别相等”，但两个三角形形状不同，显然不全等；而当两个三角形都是直角三角形时，符合HL判定的“SSA”情况（斜边和一条直角边对应相等），此时两个三角形全等。
因此有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
【答案】
不一定全等
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 反例法验证命题
【点评】
本题属于易错题，核心考查对三角形全等判定条件的辨析，解题时要注意区分“两边及夹角相等”和“两边及其中一边的对角相等”的差异，牢记SSA不能作为通用的全等判定依据，学会通过举反例的方式验证相关命题的真假。
【难度系数】
0.7
首先回忆三角形全等的判定定理，涉及两边的判定定理只有“SAS（两边及其夹角对应相等）”，本题给出的条件是“两边和其中一边的对角分别相等”，即“SSA”，不属于通用的全等判定条件。接下来可以通过构造反例验证：固定一个角、一条邻边，再以邻边的另一个端点为圆心、固定长度为半径画弧，会与角的另一边交于两个不同的点，得到的两个三角形满足题设条件但不全等；同时要注意直角三角形的HL是特殊的SSA，此时两个三角形全等，综上可得出结论。
【解析】
三角形全等的通用判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有特殊判定HL，不存在“SSA（两边及其中一边的对角相等）”的通用判定定理。
我们可以通过构造反例验证：画固定大小的∠A，在∠A的一条边上取定点B，使AB长度固定，再以点B为圆心、固定长度为半径画弧，该弧会与∠A的另一条边交于两个不同的点C、C'，此时△ABC和△ABC'中，AB=AB，BC=BC'，∠A=∠A，完全符合题设的“两边和其中一边的对角分别相等”，但两个三角形形状不同，显然不全等；而当两个三角形都是直角三角形时，符合HL判定的“SSA”情况（斜边和一条直角边对应相等），此时两个三角形全等。
因此有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
【答案】
不一定全等
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 反例法验证命题
【点评】
本题属于易错题，核心考查对三角形全等判定条件的辨析，解题时要注意区分“两边及夹角相等”和“两边及其中一边的对角相等”的差异，牢记SSA不能作为通用的全等判定依据，学会通过举反例的方式验证相关命题的真假。
【难度系数】
0.7
例 如图14.2-1，在$△ ABC$中，D是BC延长线上一点，满足$CD=BA$，过点C作$CE // AB$，且$CE=BC$，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G。
图14.2-1
(1) 求证：$△ ABC≌△ DCE$。
(2) 若$BD=12$，$AB=8$，求BC的长度。
解 (1) $\because CE // AB$，
$\therefore ∠ B=∠ DCE$。
在$△ ABC$与$△ DCE$中，
$\{\begin{array}{l}BA=CD,\\∠ B=∠ DCE,\\BC=CE,\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ DCE$ (SAS)。
(2) 由(1)知$△ ABC≌△ DCE$，
$\therefore BA=CD=8$。
$\therefore BC=BD-CD=12-8=4$。
方法感悟 使用“边角边”证明三角形全等时，需注意相等的角必须是对应边的夹角。
图14.2-1
(1) 求证：$△ ABC≌△ DCE$。
(2) 若$BD=12$，$AB=8$，求BC的长度。
解 (1) $\because CE // AB$，
$\therefore ∠ B=∠ DCE$。
在$△ ABC$与$△ DCE$中，
$\{\begin{array}{l}BA=CD,\\∠ B=∠ DCE,\\BC=CE,\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ DCE$ (SAS)。
(2) 由(1)知$△ ABC≌△ DCE$，
$\therefore BA=CD=8$。
$\therefore BC=BD-CD=12-8=4$。
方法感悟 使用“边角边”证明三角形全等时，需注意相等的角必须是对应边的夹角。
答案
证明：(1)
∵ $CE// AB$，
∴ $∠ B = ∠ DCE$。
在$△ ABC$与$△ DCE$中，
$\begin{cases}BA = CD, \\∠ B = ∠ DCE, \\BC = CE,\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ DCE$（SAS）。
(2) 解：
由$△ ABC≌△ DCE$，可得$CD = AB = 8$。
∵ $BD = BC + CD$，$BD=12$，
∴ $BC = BD - CD = 12 - 8 = 4$。
答：BC的长度为4。
∵ $CE// AB$，
∴ $∠ B = ∠ DCE$。
在$△ ABC$与$△ DCE$中，
$\begin{cases}BA = CD, \\∠ B = ∠ DCE, \\BC = CE,\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ DCE$（SAS）。
(2) 解：
由$△ ABC≌△ DCE$，可得$CD = AB = 8$。
∵ $BD = BC + CD$，$BD=12$，
∴ $BC = BD - CD = 12 - 8 = 4$。
答：BC的长度为4。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DCE，先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等，即$CD=BA$、$CE=BC$，只需再证明这两组边的夹角相等即可完成全等判定。由$CE// AB$，根据平行线的同位角相等性质，可得到$∠B=∠DCE$，刚好是两组已知等边的夹角，满足SAS全等判定条件，即可证明全等。
(2) 求BC的长度时，可先利用(1)的全等结论，根据全等三角形对应边相等得到$CD=AB$，结合已知AB的长度即可求出CD的长；再根据点D在BC延长线上，可得$BD=BC+CD$，代入BD和CD的数值，通过线段和差运算就能求出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠B = ∠DCE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$与$△ DCE$中：
$\begin{cases}BA = CD（已知）, \\∠B = ∠DCE（已证）, \\BC = CE（已知）,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DCE\mathrm{（}\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{）}$。
(2) 解：
由(1)中$△ ABC≌△ DCE$，根据全等三角形对应边相等，可得$CD = AB = 8$。
$\because$ D是BC延长线上的点，$\therefore BD = BC + CD$，
已知$BD=12$，
$\therefore BC = BD - CD = 12 - 8 = 4$。
【答案】
(1) $△ ABC≌△ DCE$，证明成立；
(2) BC的长度为4。
【知识点】
平行线的性质；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题核心是先通过平行线性质得到全等所需的等角条件，结合已知边的条件用SAS判定全等，再利用全等的性质结合线段和差计算边长，需注意使用SAS判定全等时，相等的角必须是两组对应边的夹角，避免出现边边角的判定错误。
【难度系数】
0.85
(1) 要证明△ABC≌△DCE，先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等，即$CD=BA$、$CE=BC$，只需再证明这两组边的夹角相等即可完成全等判定。由$CE// AB$，根据平行线的同位角相等性质，可得到$∠B=∠DCE$，刚好是两组已知等边的夹角，满足SAS全等判定条件，即可证明全等。
(2) 求BC的长度时，可先利用(1)的全等结论，根据全等三角形对应边相等得到$CD=AB$，结合已知AB的长度即可求出CD的长；再根据点D在BC延长线上，可得$BD=BC+CD$，代入BD和CD的数值，通过线段和差运算就能求出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠B = ∠DCE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$与$△ DCE$中：
$\begin{cases}BA = CD（已知）, \\∠B = ∠DCE（已证）, \\BC = CE（已知）,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DCE\mathrm{（}\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{）}$。
(2) 解：
由(1)中$△ ABC≌△ DCE$，根据全等三角形对应边相等，可得$CD = AB = 8$。
$\because$ D是BC延长线上的点，$\therefore BD = BC + CD$，
已知$BD=12$，
$\therefore BC = BD - CD = 12 - 8 = 4$。
【答案】
(1) $△ ABC≌△ DCE$，证明成立；
(2) BC的长度为4。
【知识点】
平行线的性质；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题核心是先通过平行线性质得到全等所需的等角条件，结合已知边的条件用SAS判定全等，再利用全等的性质结合线段和差计算边长，需注意使用SAS判定全等时，相等的角必须是两组对应边的夹角，避免出现边边角的判定错误。
【难度系数】
0.85
1. 如图14.2-2，已知$∠ 1=∠ 2$，若用“SAS”证明$△ BDA ≌ △ ACB$，还需加上条件（
A.$AD=BC$
B.$∠ D=∠ C$
C.$BD=AC$
D.$OA=OB$
C
）。A.$AD=BC$
B.$∠ D=∠ C$
C.$BD=AC$
D.$OA=OB$
答案
1. C
解析
【分析】
解题首先要明确“SAS”判定三角形全等的要求：两个三角形的两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等。先梳理已知条件：已知∠1=∠2，即∠CAB=∠DBA，同时AB是△BDA和△ACB的公共边，可得AB=BA。此时已有一组角相等、一组边相等，要满足SAS判定，需要让这组相等角的另一组邻边对应相等，也就是∠CAB的邻边AC和∠DBA的邻边BD相等，即可满足判定条件，再逐一分析选项排除不符合要求的即可。
【解析】
要使用“SAS”证明△BDA ≌ △ACB，需满足两边及两边的夹角对应相等：
已知条件：
1. ∠1=∠2，即∠DBA=∠CAB；
2. AB是两个三角形的公共边，因此AB=BA。
∠DBA的两条夹边是BD、AB，∠CAB的两条夹边是AC、BA，已有AB=BA，因此只需添加BD=AC，就可得到：
$\{\begin{array}{l}BD=AC\\ ∠ DBA=∠ CAB\\ AB=BA\end{array} $
符合SAS全等判定条件。
对其他选项分析：
A选项AD=BC，此时为两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等；
B选项∠D=∠C，结合已知条件属于AAS判定，不符合SAS的要求；
D选项OA=OB，仅能推出∠1=∠2，为已知条件，无法证明全等。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的SAS判定，公共边的性质
【点评】
本题重点考查三角形全等SAS判定的应用，解题的关键是明确SAS中“相等的角必须是两组对应边的夹角”，避免混淆SSA的错误判定，同时要准确找到两个三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确“SAS”判定三角形全等的要求：两个三角形的两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等。先梳理已知条件：已知∠1=∠2，即∠CAB=∠DBA，同时AB是△BDA和△ACB的公共边，可得AB=BA。此时已有一组角相等、一组边相等，要满足SAS判定，需要让这组相等角的另一组邻边对应相等，也就是∠CAB的邻边AC和∠DBA的邻边BD相等，即可满足判定条件，再逐一分析选项排除不符合要求的即可。
【解析】
要使用“SAS”证明△BDA ≌ △ACB，需满足两边及两边的夹角对应相等：
已知条件：
1. ∠1=∠2，即∠DBA=∠CAB；
2. AB是两个三角形的公共边，因此AB=BA。
∠DBA的两条夹边是BD、AB，∠CAB的两条夹边是AC、BA，已有AB=BA，因此只需添加BD=AC，就可得到：
$\{\begin{array}{l}BD=AC\\ ∠ DBA=∠ CAB\\ AB=BA\end{array} $
符合SAS全等判定条件。
对其他选项分析：
A选项AD=BC，此时为两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等；
B选项∠D=∠C，结合已知条件属于AAS判定，不符合SAS的要求；
D选项OA=OB，仅能推出∠1=∠2，为已知条件，无法证明全等。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的SAS判定，公共边的性质
【点评】
本题重点考查三角形全等SAS判定的应用，解题的关键是明确SAS中“相等的角必须是两组对应边的夹角”，避免混淆SSA的错误判定，同时要准确找到两个三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.7
2. 下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（
A.$∠ A=∠ B=∠ C=60°$
B.$AB=1\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$
C.$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ C=30°$
D.$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$∠ C=60°$
D
）.A.$∠ A=∠ B=∠ C=60°$
B.$AB=1\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$
C.$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ C=30°$
D.$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$∠ C=60°$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断能否作出唯一三角形，本质是判断所给条件是否满足三角形全等的判定定理，同时需先验证条件是否能构成三角形。首先回忆相关规则：1. 三角形需满足三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；2. 全等三角形判定定理为SSS、SAS、ASA、AAS，AAA只能确定形状不能确定大小，SSA不能判定三角形全等，这两类条件都无法得到唯一三角形。接下来逐个验证选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 给出$∠A=∠B=∠C=60°$，属于AAA条件，仅能确定三角形是等边三角形，无法确定边长，可作出无数个大小不同的等边三角形，不唯一，排除；
B. 给出三边长$1\ \mathrm{cm}$、$4\ \mathrm{cm}$、$5\ \mathrm{cm}$，由于$1+4=5$，不符合三角形“两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形，排除；
C. 给出$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$∠C=30°$，属于“两边及其中一边的对角（SSA）”的条件，SSA不能判定三角形全等，此时可画出两种不同的三角形，不唯一，排除；
D. 给出$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$∠C=60°$，$∠C$是边$BC$和$AC$的夹角，属于“两边及其夹角（SAS）”的条件，符合全等三角形的SAS判定定理，作出的三角形唯一，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等判定；三角形三边关系；三角形作图
【点评】
本题围绕三角形唯一的判定条件设置考点，既考查了学生对全等三角形判定定理的掌握程度，也设置了无法构成三角形、SSA不能判定全等的易错点，属于基础概念的综合应用题，熟练掌握全等判定的相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断能否作出唯一三角形，本质是判断所给条件是否满足三角形全等的判定定理，同时需先验证条件是否能构成三角形。首先回忆相关规则：1. 三角形需满足三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；2. 全等三角形判定定理为SSS、SAS、ASA、AAS，AAA只能确定形状不能确定大小，SSA不能判定三角形全等，这两类条件都无法得到唯一三角形。接下来逐个验证选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 给出$∠A=∠B=∠C=60°$，属于AAA条件，仅能确定三角形是等边三角形，无法确定边长，可作出无数个大小不同的等边三角形，不唯一，排除；
B. 给出三边长$1\ \mathrm{cm}$、$4\ \mathrm{cm}$、$5\ \mathrm{cm}$，由于$1+4=5$，不符合三角形“两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形，排除；
C. 给出$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$∠C=30°$，属于“两边及其中一边的对角（SSA）”的条件，SSA不能判定三角形全等，此时可画出两种不同的三角形，不唯一，排除；
D. 给出$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$∠C=60°$，$∠C$是边$BC$和$AC$的夹角，属于“两边及其夹角（SAS）”的条件，符合全等三角形的SAS判定定理，作出的三角形唯一，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等判定；三角形三边关系；三角形作图
【点评】
本题围绕三角形唯一的判定条件设置考点，既考查了学生对全等三角形判定定理的掌握程度，也设置了无法构成三角形、SSA不能判定全等的易错点，属于基础概念的综合应用题，熟练掌握全等判定的相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图14.2-3，已知方格纸中是4个相同的正方形，则$∠1+∠2=$(
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
图14.2-3
B
).A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
图14.2-3
答案
3. B
解析
【分析】
要计算∠1+∠2的度数，我们可以借助方格中边长相等的特点，找到包含∠1、∠2的两个直角三角形，通过证明它们全等得到角的等量关系，再结合直角三角形两锐角互余的性质完成角度求和。第一步先观察两个三角形的边长关系，第二步用SAS判定全等，第三步转化角进行计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 观察图形可得：包含∠1的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，包含∠2的直角三角形的两条直角边长也为1、2，两个三角形的夹角均为直角，相等。
2. 根据三角形全等的SAS判定定理，可知这两个直角三角形全等。
3. 由全等三角形对应角相等可得：∠1等于和∠2在同一个直角三角形中的另一个锐角，记该锐角为∠3，即∠1=∠3。
4. 因为直角三角形两锐角互余，所以∠2+∠3=90°，代入∠1=∠3可得∠1+∠2=90°。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合方格纸考查角度计算，解题关键是观察图形找到全等的三角形，将所求角进行等量转化，是全等三角形应用的典型题型，熟练掌握全等判定定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要计算∠1+∠2的度数，我们可以借助方格中边长相等的特点，找到包含∠1、∠2的两个直角三角形，通过证明它们全等得到角的等量关系，再结合直角三角形两锐角互余的性质完成角度求和。第一步先观察两个三角形的边长关系，第二步用SAS判定全等，第三步转化角进行计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 观察图形可得：包含∠1的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，包含∠2的直角三角形的两条直角边长也为1、2，两个三角形的夹角均为直角，相等。
2. 根据三角形全等的SAS判定定理，可知这两个直角三角形全等。
3. 由全等三角形对应角相等可得：∠1等于和∠2在同一个直角三角形中的另一个锐角，记该锐角为∠3，即∠1=∠3。
4. 因为直角三角形两锐角互余，所以∠2+∠3=90°，代入∠1=∠3可得∠1+∠2=90°。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合方格纸考查角度计算，解题关键是观察图形找到全等的三角形，将所求角进行等量转化，是全等三角形应用的典型题型，熟练掌握全等判定定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
