4. 如图14.2 - 4，AC与BD相交于点O，OA = OD，OB = OC，不添加辅助线，判定$△ ABO ≌ △ DCO$的依据是。

4. SAS

【分析】
要判定△ABO≌△DCO，先梳理已知条件：首先题目明确给出OA=OD，OB=OC，再结合AC与BD相交于点O，可得到一组相等的对顶角。观察相等的边和角的位置关系：相等的对顶角恰好是两组相等边的夹角，符合全等三角形SAS的判定条件，由此可确定对应的判定依据。
【解析】
∵ AC与BD相交于点O，
∴ ∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
在△ABO和△DCO中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD（已知）,\\∠AOB=∠DOC（已证）,\\OB=OC（已知）,\end{array} $
∴ △ABO≌△DCO，判定依据为两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，即SAS。
【答案】
SAS
【知识点】
对顶角相等；全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题核心是挖掘出对顶角相等这一隐含条件，再结合已知的等边，匹配对应的全等判定定理即可解答。
【难度系数】
0.8

5. 如图14.2 - 5，BC = DC，∠1 = ∠2. 求证：△ABC≌△ADC.

证明：$\because ∠1=∠2$，$\therefore ∠ACB=∠ACD$。$\because AC=AC$，$BC=DC$，$\therefore △ABC≌△ADC$（SAS）

【分析】
要证明△ABC≌△ADC，首先梳理已知条件：题目已给出BC=DC，且两个三角形有公共边AC，因此只需证明两组边的夹角∠ACB=∠ACD即可。已知∠1=∠2，而∠ACB与∠1互为邻补角，∠ACD与∠2互为邻补角，根据等角的补角相等，可推出∠ACB=∠ACD，此时满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1=∠2，∠ACB+∠1=180°，∠ACD+∠2=180°，
∴ ∠ACB=∠ACD（等角的补角相等）。
在△ABC和△ADC中：
$\begin{cases} BC=DC（已知） \\ ∠ACB=∠ACD（已证） \\ AC=AC（公共边） \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADC（SAS）
【答案】
证明：$\because ∠1=∠2$，$\therefore ∠ACB=∠ACD$。$\because AC=AC$，$BC=DC$，$\therefore △ABC≌△ADC$（SAS）
【知识点】
1. 三角形全等的SAS判定
2. 等角的补角相等
3. 公共边性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题，解题的关键是结合已知条件推导全等所需的相等夹角，同时要注意挖掘题目中的隐含条件，比如邻补角关系、公共边相等，熟练运用全等判定定理即可解决。
【难度系数】
0.8

6. 如图14.2-6，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE.
（1）求证：$△ ACD ≌ △ BCE$.
（2）若$∠ A=70°$，求$∠ E$的度数.

图14.2-6

（1）证明：$\because C$是线段$AB$的中点，$\therefore AC=BC$。$\because CD$平分$∠ACE$，$\therefore ∠ACD=∠ECD$。$\because CE$平分$∠BCD$，$\therefore ∠BCE=∠ECD$。$\therefore ∠ACD=∠ECD=∠BCE=60°$。$\because CD=CE$，$\therefore △ACD≌△BCE$（SAS）
（2）由（1）知$△ACD≌△BCE$，$\therefore ∠B=∠A=70°$，$\therefore ∠E=50°$

【分析】
（1）要证明$△ ACD ≌ △ BCE$，首先梳理已知条件：已知C是AB中点，可得$AC=BC$，题目还给出$CD=CE$，因此只需证明两组边的夹角$∠ ACD=∠ BCE$即可。结合CD平分$∠ ACE$、CE平分$∠ BCD$的条件，可推出$∠ ACD=∠ ECD=∠ BCE$，从而得到夹角相等，满足SAS全等判定条件。
（2）求$∠ E$的度数，可先利用（1）中全等三角形的性质，得到对应角$∠ B=∠ A=70°$，再结合已推出的$∠ BCE=60°$，根据三角形内角和为$180°$即可计算出$∠ E$的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because$ C是线段AB的中点，
$\therefore AC=BC$。
$\because$ CD平分$∠ ACE$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ECD$。
$\because$ CE平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCE=∠ ECD$。
$\therefore ∠ ACD=∠ ECD=∠ BCE$，又$\because ∠ ACD+∠ ECD+∠ BCE=180°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCE=60°$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\CD=CE\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE$（SAS）。
（2）解：由（1）知$△ ACD≌△ BCE$，
$\therefore ∠ B=∠ A=70°$，
又$\because ∠ BCE=60°$，
在$△ BCE$中，$∠ E=180°-∠ B-∠ BCE=180°-70°-60°=50°$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{∠ E=50°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是先利用角平分线的性质推导得到相等的角，结合线段中点的性质凑齐全等三角形的判定条件，再借助全等三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理计算角度。
【难度系数】
0.7

7. 如图14.2-7，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB = AD$，$AC = AE$，$∠ 1 = ∠ 2$，$AD$，$BC$相交于点$F$.
（1）求证：$△ ABC ≌ △ ADE$.
（2）若$AB // DE$，$∠ D = 30°$，求$∠ AFB$的度数.

图14.2-7

（1）证明：$\because ∠1=∠2$，$\therefore ∠CAB=∠EAD$。在$△ABC$和$△ADE$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠CAB=∠EAD, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△ADE$（SAS）
（2）$\because AB// DE$，$\therefore ∠1=∠D=30°$。由（1）可知$∠B=∠D=30°$，$\therefore ∠AFB=180°-∠1-∠B=120°$

【分析】
（1）要证明△ABC≌△ADE，已知两组对应边相等AB=AD、AC=AE，只需证明两组边的夹角相等即可。由∠1=∠2，两边同时加上公共角∠CAD，可推出∠CAB=∠EAD，刚好满足SAS全等判定的条件。
（2）求∠AFB的度数时，首先利用平行线的性质，由AB//DE可得内错角∠1=∠D=30°；再结合（1）中全等三角形对应角相等的性质，得到∠B=∠D=30°；最后在△AFB中利用三角形内角和为180°，即可计算出∠AFB的度数。
【解析】
（1）证明：$\because ∠1=∠2$，$\therefore ∠1+∠CAD=∠2+∠CAD$，即$∠CAB=∠EAD$。
在$△ABC$和$△ADE$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠CAB=∠EAD, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△ADE$（SAS）。
（2）解：$\because AB// DE$，$\therefore ∠1=∠D=30°$。
由（1）可知△ABC≌△ADE，$\therefore ∠B=∠D=30°$。
在△AFB中，$∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-30°-30°=120°$。
【答案】
（1）△ABC≌△ADE得证；
（2）$\boxed{120°}$
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，综合考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形内角和的应用，解题的关键是熟练掌握相关基础定理，通过角的等量转换推导得出所需的角的关系。
【难度系数】
0.8

8. 如图14.2-8，在$△ ABC$中，$BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，垂足分别为$E$，$F$，点$P$在$CF$的延长线上，点$D$在线段$BE$上，且$PC=AB$，$BD=CA$，连接$AP$，$AD$.
（1）求证：$△ ABD ≌ △ PCA$.
（2）求$∠ PAD$的度数.

（1）证明：$\because BE⊥AC$，$CF⊥AB$，$\therefore ∠BEA=∠CFA=90°$。$\therefore ∠EAF+∠ABD=90°$，$∠EAF+∠PCA=90°$，$\therefore ∠ABD=∠PCA$。在$△ABD$和$△PCA$中，
$\begin{cases} AB=PC, \\ ∠ABD=∠PCA, \\ BD=CA, \end{cases}$
$\therefore △ABD≌△PCA$（SAS）
（2）由（1）得$△ABD≌△PCA$，$\therefore ∠BAD=∠P$。$\because CF⊥AB$，$\therefore ∠PFA=90°$。$\therefore ∠P+∠PAF=90°$，$\therefore ∠BAD+∠PAF=90°$，$\therefore ∠PAD=90°$

【分析】
（1）要证明$△ ABD ≌ △ PCA$，已知给出两组边相等：$PC=AB$、$BD=CA$，因此只需证明两组边的夹角$∠ ABD$和$∠ PCA$相等即可。结合$BE⊥ AC$、$CF⊥ AB$的高线性质，根据同角的余角相等可推出两个角相等，即可用SAS判定全等。
（2）求$∠ PAD$的度数，可利用第一问全等的性质得到对应角$∠ BAD=∠ P$，再结合$CF⊥ AB$得到的直角三角形两锐角互余，通过等量代换即可推出$∠ PAD$的度数。
【解析】
（1）证明：$\because BE⊥AC$，$CF⊥AB$，$\therefore ∠BEA=∠CFA=90°$。
$\therefore ∠EAF+∠ABD=90°$，$∠EAF+∠PCA=90°$，
$\therefore ∠ABD=∠PCA$。
在$△ABD$和$△PCA$中，
$\begin{cases} AB=PC, \\ ∠ABD=∠PCA, \\ BD=CA, \end{cases}$
$\therefore △ABD≌△PCA$（SAS）。
（2）解：由（1）得$△ABD≌△PCA$，$\therefore ∠BAD=∠P$。
$\because CF⊥AB$，$\therefore ∠PFA=90°$。
$\therefore ∠P+∠PAF=90°$，
$\therefore ∠BAD+∠PAF=90°$，即$∠PAD=90°$。
【答案】
（1）$△ ABD ≌ △ PCA$得证；（2）$\boldsymbol{∠PAD=90°}$
【知识点】
全等三角形SAS判定，全等三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题综合考查了三角形高线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是先利用余角的性质得到全等所需的等角条件，再通过全等的对应角相等推导角度关系，能够很好地巩固全等的判定及应用思路。
【难度系数】
0.7