9.【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图14.2-9，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD.请根据小明的方法思考：
（1）由已知条件和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（）.
A. SSS B. SAS
C. AAS D. HL
（2）AD的取值范围是（）.
A. 6＜AD＜8 B. 6≤AD≤8
C. 1＜AD＜7 D. 1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
【问题解决】
（3）如图14.2-10，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA.求证：AE=2AD.

9. （1）B
（2）C
（3）证明：延长AD到点M，使AD=DM，连接BM。
$\because AD$是$△ABC$的中线，$\therefore CD=BD$。在$△ADC$和$△MDB$中，
$\begin{cases} DC=DB, \\ ∠ADC=∠MDB, \\ DA=DM, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△MDB$（SAS），$\therefore BM=AC$，$∠BCA=∠MBD$。$\because ∠BAC=∠BCA$，$∠ACE=∠ABC+∠BAC$，$∠MBA=∠MBD+∠ABD$，$\therefore ∠ACE=∠MBA$。在$△ACE$和$△MBA$中，
$\begin{cases} AC=MB, \\ ∠ACE=∠MBA, \\ CE=BA, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△MBA$（SAS），$\therefore AE=AM=2AD$

【分析】
（1）判断全等依据：已知AD是BC中线，可得BD=CD；作图可知DE=AD；∠ADC和∠EDB是对顶角，二者相等。满足两边及其夹角对应相等，即可确定全等的判定依据。
（2）求AD的取值范围：由全等可得AC=BE=6，AE=2AD，将AB、BE、AE转化到同一个△ABE中，利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”代入计算即可得到AD的范围。
（3）证明AE=2AD：根据“中点、中线类问题可延长中线构造全等”的思路，采用倍长中线法，延长AD到M使DM=AD，先证△ADC≌△MDB得到边和角的等量关系，再结合已知条件证明△ACE≌△MBA，即可推出AE=AM=2AD。
【解析】
（1）在△ADC和△EDB中：
∵AD是BC的中线，
∴CD=BD；
∠ADC与∠EDB是对顶角，故∠ADC=∠EDB；
由作图得DE=AD，
两边及其夹角对应相等，符合SAS判定，故选B。
（2）由△ADC≌△EDB，得BE=AC=6，
AE=AD+DE=2AD，在△ABE中AB=8，
根据三角形三边关系得：$AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE$，
代入得$8-6 ＜ 2AD ＜ 8+6$，即$2 ＜ 2AD ＜14$，
化简得$1 ＜ AD ＜7$，故选C。
（3）证明：延长AD到点M，使AD=DM，连接BM。
$\because AD$是$△ABC$的中线，$\therefore CD=BD$。在$△ADC$和$△MDB$中，
$\begin{cases} DC=DB, \\ ∠ADC=∠MDB, \\ DA=DM, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△MDB$（SAS），$\therefore BM=AC$，$∠BCA=∠MBD$。
$\because ∠BAC=∠BCA$，$∠ACE=∠ABC+∠BAC$，$∠MBA=∠MBD+∠ABD$，$\therefore ∠ACE=∠MBA$。
在$△ACE$和$△MBA$中，
$\begin{cases} AC=MB, \\ ∠ACE=∠MBA, \\ CE=BA, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△MBA$（SAS），$\therefore AE=AM=2AD$。
【答案】
（1）B
（2）C
（3）证明：延长AD到点M，使AD=DM，连接BM。
$\because AD$是$△ABC$的中线，$\therefore CD=BD$。在$△ADC$和$△MDB$中，
$\begin{cases} DC=DB, \\ ∠ADC=∠MDB, \\ DA=DM, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△MDB$（SAS），$\therefore BM=AC$，$∠BCA=∠MBD$。$\because ∠BAC=∠BCA$，$∠ACE=∠ABC+∠BAC$，$∠MBA=∠MBD+∠ABD$，$\therefore ∠ACE=∠MBA$。在$△ACE$和$△MBA$中，
$\begin{cases} AC=MB, \\ ∠ACE=∠MBA, \\ CE=BA, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△MBA$（SAS），$\therefore AE=AM=2AD$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形三边关系；倍长中线构造全等
【点评】
本题围绕中线类几何问题展开，重点考察全等三角形的判定及性质的应用，倍长中线是解决含中线类几何题的常用辅助线方法，通过构造全等可实现边和角的等量转化，将分散的已知条件集中到同一个三角形中解决问题，能有效锻炼几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7

10. 如图14.2-11，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$为$△ ABC$的角平分线。以点$A$为圆心，$AD$长为半径画弧，与$AB$，$AC$分别交于点$E$，$F$，连接$DE$，$DF$。
（1）求证：$△ ADE≌△ ADF$。
（2）若$∠ BDE=20°$，求$∠ ADE$的度数。

图14.2-11

（1）证明：$\because AD$是$△ABC$的角平分线，$\therefore ∠BAD=∠CAD$。由作图过程知，$AE=AF$。在$△ADE$和$△ADF$中，
$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠BAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ADE≌△ADF$（SAS）
（2）在$△ADB$和$△ADC$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ADB≌△ADC$（SAS）。$\therefore ∠ADB=∠ADC=90°$。$\because ∠BDE=20°$，$\therefore ∠ADE=90°-20°=70°$

【分析】
（1）要证明$△ ADE≌△ ADF$，先梳理已知条件：首先$AD$是$△ ABC$的角平分线，可得到一组相等的角$∠ EAD=∠ FAD$；由作图规则可知，以$A$为圆心、$AD$为半径画弧得到的$AE$、$AF$长度相等，即$AE=AF$；两个三角形还有公共边$AD=AD$，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要求$∠ ADE$的度数，首先已知$AB=AC$，$AD$是角平分线，可先证明$△ ADB≌△ ADC$，得到$AD⊥ BC$即$∠ ADB=90°$；结合图形可知$∠ ADB=∠ BDE+∠ ADE$，已知$∠ BDE=20°$，代入计算即可求出$∠ ADE$的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because AD$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，
由作图过程可知$AE=AF$，
在$△ ADE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}AE=AF, \\∠ EAD=∠ FAD, \\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ADF$（SAS）。
（2）解：
在$△ ADB$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AC, \\∠ BAD=∠ CAD, \\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ ADC$（SAS），
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC$，
又$\because ∠ ADB+∠ ADC=180°$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
$\because ∠ BDE=20°$，且$∠ ADB=∠ BDE+∠ ADE$，
$\therefore ∠ ADE=90°-20°=70°$。
【答案】
（1）$△ ADE≌△ ADF$得证；
（2）$∠ ADE=70°$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 等腰三角形性质
3. 角平分线定义
【点评】
本题属于几何基础题，重点考查全等三角形的判定方法以及等腰三角形的相关性质，解题时要注意挖掘题目中隐含的公共边、作图得到的等边等条件，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8