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4. 如图，点 B 所表示的数为$-\sqrt{3}$，一只蚂蚁从点 B 出发沿数轴向右爬行 2 个单位长度到达点 A. 设点 A 所表示的数为 m.
(1)请直接写出 m 的值.
(2)求$|m|+\sqrt{3}(m-6)$的值.
(1)请直接写出 m 的值.
(2)求$|m|+\sqrt{3}(m-6)$的值.
答案
(1) 2 - √3
(2) -1 -5√3
(2) -1 -5√3
解析
【分析】
(1) 数轴上点向右移动时，对应的数等于原数加上移动的单位长度，已知点B表示的数是$-\sqrt{3}$，向右爬2个单位到A，直接用加法计算m的值即可。
(2) 先根据m的取值范围化简绝对值，再把m的值代入式子，按照二次根式的乘除、加减运算法则逐步计算，合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 蚂蚁从表示数$-\sqrt{3}$的点B向右爬行2个单位长度到点A，因此点A对应的数$m = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$。
(2) 将$m=2-\sqrt{3}$代入$|m|+\sqrt{3}(m-6)$：
首先，因为$2＞\sqrt{3}$，所以$m=2-\sqrt{3}＞0$，因此$|m|=2-\sqrt{3}$。
再展开计算二次根式部分：
$\sqrt{3}(m-6)=\sqrt{3}×(2-\sqrt{3}-6)=\sqrt{3}×(-4-\sqrt{3})=-4\sqrt{3}-(\sqrt{3})^2=-4\sqrt{3}-3$
两部分相加：
$|m|+\sqrt{3}(m-6)=(2-\sqrt{3})+(-4\sqrt{3}-3)=2-\sqrt{3}-4\sqrt{3}-3=-1-5\sqrt{3}$
【答案】
(1) $2-\sqrt{3}$
(2) $-1-5\sqrt{3}$
【知识点】
数轴与实数的对应、绝对值的化简、二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算题，结合数轴的性质考查实数的运算，解题关键是先正确求出m的取值，再根据绝对值的性质去绝对值符号，按照二次根式的运算规则计算即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
(1) 数轴上点向右移动时，对应的数等于原数加上移动的单位长度，已知点B表示的数是$-\sqrt{3}$，向右爬2个单位到A，直接用加法计算m的值即可。
(2) 先根据m的取值范围化简绝对值，再把m的值代入式子，按照二次根式的乘除、加减运算法则逐步计算，合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 蚂蚁从表示数$-\sqrt{3}$的点B向右爬行2个单位长度到点A，因此点A对应的数$m = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$。
(2) 将$m=2-\sqrt{3}$代入$|m|+\sqrt{3}(m-6)$：
首先，因为$2＞\sqrt{3}$，所以$m=2-\sqrt{3}＞0$，因此$|m|=2-\sqrt{3}$。
再展开计算二次根式部分：
$\sqrt{3}(m-6)=\sqrt{3}×(2-\sqrt{3}-6)=\sqrt{3}×(-4-\sqrt{3})=-4\sqrt{3}-(\sqrt{3})^2=-4\sqrt{3}-3$
两部分相加：
$|m|+\sqrt{3}(m-6)=(2-\sqrt{3})+(-4\sqrt{3}-3)=2-\sqrt{3}-4\sqrt{3}-3=-1-5\sqrt{3}$
【答案】
(1) $2-\sqrt{3}$
(2) $-1-5\sqrt{3}$
【知识点】
数轴与实数的对应、绝对值的化简、二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算题，结合数轴的性质考查实数的运算，解题关键是先正确求出m的取值，再根据绝对值的性质去绝对值符号，按照二次根式的运算规则计算即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
5. 先观察下列等式，再回答问题.
等式一：$\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \sqrt{2}-1.$
等式二：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \sqrt{3}-\sqrt{2}.$
等式三：$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})} = \sqrt{4}-\sqrt{3}.$
(1)化简：$\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}.$
(2)若有理数$a$，$b$满足$\frac{a}{\sqrt{2}+1} + \frac{b}{\sqrt{2}-1} = -1+2\sqrt{2}$，求$a$，$b$的值.
等式一：$\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \sqrt{2}-1.$
等式二：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \sqrt{3}-\sqrt{2}.$
等式三：$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})} = \sqrt{4}-\sqrt{3}.$
(1)化简：$\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}.$
(2)若有理数$a$，$b$满足$\frac{a}{\sqrt{2}+1} + \frac{b}{\sqrt{2}-1} = -1+2\sqrt{2}$，求$a$，$b$的值.
答案
5. 解：(1)$\frac{1}{\sqrt{2\ 021}+\sqrt{2\ 020}}$
$=\frac{\sqrt{2\ 021}-\sqrt{2\ 020}}{(\sqrt{2\ 021}+\sqrt{2\ 020})(\sqrt{2\ 021}-\sqrt{2\ 020})}$
$=\frac{\sqrt{2\ 021}-\sqrt{2\ 020}}{2\ 021-2\ 020}$
$=\sqrt{2\ 021}-\sqrt{2\ 020}.$
(2)$\frac{a}{\sqrt{2}+1}+\frac{b}{\sqrt{2}-1}$
$=(\sqrt{2}-1)a+(\sqrt{2}+1)b$
$=-1+2\sqrt{2}.$
$\therefore\sqrt{2}(a+b)+(-a+b)=-1+2\sqrt{2}.$
$\therefore-a+b=-1,\ a+b=2.$
$\therefore a=\frac{3}{2},\ b=\frac{1}{2}.$
$=\frac{\sqrt{2\ 021}-\sqrt{2\ 020}}{(\sqrt{2\ 021}+\sqrt{2\ 020})(\sqrt{2\ 021}-\sqrt{2\ 020})}$
$=\frac{\sqrt{2\ 021}-\sqrt{2\ 020}}{2\ 021-2\ 020}$
$=\sqrt{2\ 021}-\sqrt{2\ 020}.$
(2)$\frac{a}{\sqrt{2}+1}+\frac{b}{\sqrt{2}-1}$
$=(\sqrt{2}-1)a+(\sqrt{2}+1)b$
$=-1+2\sqrt{2}.$
$\therefore\sqrt{2}(a+b)+(-a+b)=-1+2\sqrt{2}.$
$\therefore-a+b=-1,\ a+b=2.$
$\therefore a=\frac{3}{2},\ b=\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
（1）观察给出的等式规律可知，此类二次根式化简需用分母有理化的方法：给分子、分母同时乘分母的共轭二次根式，利用平方差公式消去分母中的根号即可完成化简。本题分母为$\sqrt{2021}+\sqrt{2020}$，因此同乘$\sqrt{2021}-\sqrt{2020}$即可计算。
（2）先将等式左侧的两个分式分别分母有理化，再把含$\sqrt{2}$的项和常数项分别合并，根据等式两边无理部分系数相等、有理部分也相等的性质，列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解即可得到$a$、$b$的值。
【解析】
(1) 化简$\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}$：
给分子分母同乘$\sqrt{2021}-\sqrt{2020}$，得
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}&=\frac{\sqrt{2021}-\sqrt{2020}}{(\sqrt{2021}+\sqrt{2020})(\sqrt{2021}-\sqrt{2020})}\\&=\frac{\sqrt{2021}-\sqrt{2020}}{2021-2020}\\&=\sqrt{2021}-\sqrt{2020}\end{aligned}$
(2) 先对等式左侧的式子分母有理化：
$\begin{aligned}\frac{a}{\sqrt{2}+1}+\frac{b}{\sqrt{2}-1}&=a(\sqrt{2}-1)+b(\sqrt{2}+1)\\&=\sqrt{2}a -a + \sqrt{2}b +b\\&=\sqrt{2}(a+b)+(-a+b)\end{aligned}$
已知该式等于$-1+2\sqrt{2}$，根据等式两边同类项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}a+b=2\\-a+b=-1\end{cases}$
两式相加得$2b=1$，解得$b=\frac{1}{2}$，将$b=\frac{1}{2}$代入$a+b=2$，得$a=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2021}-\sqrt{2020}$
(2) $a=\frac{3}{2}$，$b=\frac{1}{2}$
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二元一次方程组求解
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，重点考查分母有理化的操作方法，同时结合了实数的性质和方程组的应用，熟练掌握分母有理化的技巧是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的等式规律可知，此类二次根式化简需用分母有理化的方法：给分子、分母同时乘分母的共轭二次根式，利用平方差公式消去分母中的根号即可完成化简。本题分母为$\sqrt{2021}+\sqrt{2020}$，因此同乘$\sqrt{2021}-\sqrt{2020}$即可计算。
（2）先将等式左侧的两个分式分别分母有理化，再把含$\sqrt{2}$的项和常数项分别合并，根据等式两边无理部分系数相等、有理部分也相等的性质，列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解即可得到$a$、$b$的值。
【解析】
(1) 化简$\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}$：
给分子分母同乘$\sqrt{2021}-\sqrt{2020}$，得
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}&=\frac{\sqrt{2021}-\sqrt{2020}}{(\sqrt{2021}+\sqrt{2020})(\sqrt{2021}-\sqrt{2020})}\\&=\frac{\sqrt{2021}-\sqrt{2020}}{2021-2020}\\&=\sqrt{2021}-\sqrt{2020}\end{aligned}$
(2) 先对等式左侧的式子分母有理化：
$\begin{aligned}\frac{a}{\sqrt{2}+1}+\frac{b}{\sqrt{2}-1}&=a(\sqrt{2}-1)+b(\sqrt{2}+1)\\&=\sqrt{2}a -a + \sqrt{2}b +b\\&=\sqrt{2}(a+b)+(-a+b)\end{aligned}$
已知该式等于$-1+2\sqrt{2}$，根据等式两边同类项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}a+b=2\\-a+b=-1\end{cases}$
两式相加得$2b=1$，解得$b=\frac{1}{2}$，将$b=\frac{1}{2}$代入$a+b=2$，得$a=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2021}-\sqrt{2020}$
(2) $a=\frac{3}{2}$，$b=\frac{1}{2}$
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二元一次方程组求解
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，重点考查分母有理化的操作方法，同时结合了实数的性质和方程组的应用，熟练掌握分母有理化的技巧是解题的核心。
【难度系数】
0.7
