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一、填一填。(每空2分,共计16分)
1.电子支付安全快捷,普及率越来越高。某日超市现金支付、扫码支付和出示付款码支付的总客流量是720人次,其中现金支付的人次只占$\frac{1}{9}$,现金支付的人次比扫码支付的少$\frac{9}{14}$,那么扫码支付的有()人次,出示付款码支付的有()人次。
1.电子支付安全快捷,普及率越来越高。某日超市现金支付、扫码支付和出示付款码支付的总客流量是720人次,其中现金支付的人次只占$\frac{1}{9}$,现金支付的人次比扫码支付的少$\frac{9}{14}$,那么扫码支付的有()人次,出示付款码支付的有()人次。
答案
720×$\frac{1}{9}$=80（人次）
80÷$(1-\frac{9}{14})$=224（人次）
720-80-224=416（人次）
扫码支付的有(224)人次，出示付款码支付的有(416)人次。
80÷$(1-\frac{9}{14})$=224（人次）
720-80-224=416（人次）
扫码支付的有(224)人次，出示付款码支付的有(416)人次。
解析
【分析】
解题时可分步梳理数量关系：第一步，已知总客流量和现金支付占总人次的分率，单位“1”是总客流量，求现金支付人次用乘法计算；第二步，已知现金支付人次比扫码支付少$\frac{9}{14}$，此处单位“1”是扫码支付的人次，现金支付人次对应的分率是$1-\frac{9}{14}$，已知对应量求单位“1”的量用除法计算，即可得到扫码支付人次；第三步，用总人次减去现金支付和扫码支付的人次，剩余的就是出示付款码支付的人次。
【解析】
1. 计算现金支付的人次：总客流量为720人次，现金支付占总人次的$\frac{1}{9}$，列式得：
$720×\frac{1}{9}=80$（人次）
2. 计算扫码支付的人次：现金支付比扫码支付少$\frac{9}{14}$，即现金支付人次是扫码支付的$1-\frac{9}{14}=\frac{5}{14}$，已知现金支付为80人次，求扫码支付人次列式得：
$80÷(1-\frac{9}{14})=80÷\frac{5}{14}=224$（人次）
3. 计算出示付款码支付的人次：用总人次减去前两种支付方式的人次，列式得：
$720-80-224=416$（人次）
【答案】
224；416
【知识点】
分数乘法应用；分数除法应用；单位“1”判定
【点评】
本题结合生活中的支付场景考查分数乘除法的实际应用，解题核心是准确区分不同分率对应的单位“1”，再根据“求一个数的几分之几用乘法，已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法”的规律逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时可分步梳理数量关系：第一步，已知总客流量和现金支付占总人次的分率，单位“1”是总客流量，求现金支付人次用乘法计算；第二步，已知现金支付人次比扫码支付少$\frac{9}{14}$，此处单位“1”是扫码支付的人次，现金支付人次对应的分率是$1-\frac{9}{14}$，已知对应量求单位“1”的量用除法计算，即可得到扫码支付人次；第三步，用总人次减去现金支付和扫码支付的人次，剩余的就是出示付款码支付的人次。
【解析】
1. 计算现金支付的人次：总客流量为720人次，现金支付占总人次的$\frac{1}{9}$，列式得：
$720×\frac{1}{9}=80$（人次）
2. 计算扫码支付的人次：现金支付比扫码支付少$\frac{9}{14}$，即现金支付人次是扫码支付的$1-\frac{9}{14}=\frac{5}{14}$，已知现金支付为80人次，求扫码支付人次列式得：
$80÷(1-\frac{9}{14})=80÷\frac{5}{14}=224$（人次）
3. 计算出示付款码支付的人次：用总人次减去前两种支付方式的人次，列式得：
$720-80-224=416$（人次）
【答案】
224；416
【知识点】
分数乘法应用；分数除法应用；单位“1”判定
【点评】
本题结合生活中的支付场景考查分数乘除法的实际应用，解题核心是准确区分不同分率对应的单位“1”，再根据“求一个数的几分之几用乘法，已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法”的规律逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
2.根据《九章算术》中的题目改编题:今有人持百斗米出三关,内关四而取一,中关五而取一,外关十而取一,余米几斗?意思是:有个人带了100斗米出三道关,内关按总货物的$\frac{1}{4}$收税,中关按余下货物的$\frac{1}{5}$收税,外关再按余下的$\frac{1}{10}$收税,最后还剩()斗米。
答案
100×(1 - 1/4)×(1 - 1/5)×(1 - 1/10)
= 100×3/4×4/5×9/10
= 54（斗）
答：最后还剩54斗米。
= 100×3/4×4/5×9/10
= 54（斗）
答：最后还剩54斗米。
解析
【分析】
这是一道连续征税求剩余量的分数应用题，解题时需明确每次征税对应的单位“1”：①过内关时，单位“1”是原有的100斗米，收$\frac{1}{4}$的税，剩余量为原有量的$1-\frac{1}{4}$；②过中关时，单位“1”是过完内关剩余的米量，收$\frac{1}{5}$的税，剩余量为内关剩余量的$1-\frac{1}{5}$；③过外关时，单位“1”是过完中关剩余的米量，收$\frac{1}{10}$的税，剩余量为中关剩余量的$1-\frac{1}{10}$。用原有米量连续乘每次剩余对应的分率，即可算出最终剩余的米量。
【解析】
解：根据题意列式计算：
$100×(1 - \frac{1}{4})×(1 - \frac{1}{5})×(1 - \frac{1}{10})$
$= 100×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×\frac{9}{10}$
$= 54$（斗）
【答案】
54
【知识点】
分数乘法应用、单位“1”判定、连续求剩余量
【点评】
本题结合古代数学典籍内容命题，既考察了分数乘法的实际应用能力，也能让学生感受传统数学文化的魅力；解题的核心是准确找到每一步计算对应的单位“1”，计算时灵活运用约分可以大幅提升运算效率、降低出错率。
【难度系数】
0.7
这是一道连续征税求剩余量的分数应用题，解题时需明确每次征税对应的单位“1”：①过内关时，单位“1”是原有的100斗米，收$\frac{1}{4}$的税，剩余量为原有量的$1-\frac{1}{4}$；②过中关时，单位“1”是过完内关剩余的米量，收$\frac{1}{5}$的税，剩余量为内关剩余量的$1-\frac{1}{5}$；③过外关时，单位“1”是过完中关剩余的米量，收$\frac{1}{10}$的税，剩余量为中关剩余量的$1-\frac{1}{10}$。用原有米量连续乘每次剩余对应的分率，即可算出最终剩余的米量。
【解析】
解：根据题意列式计算：
$100×(1 - \frac{1}{4})×(1 - \frac{1}{5})×(1 - \frac{1}{10})$
$= 100×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×\frac{9}{10}$
$= 54$（斗）
【答案】
54
【知识点】
分数乘法应用、单位“1”判定、连续求剩余量
【点评】
本题结合古代数学典籍内容命题，既考察了分数乘法的实际应用能力，也能让学生感受传统数学文化的魅力；解题的核心是准确找到每一步计算对应的单位“1”，计算时灵活运用约分可以大幅提升运算效率、降低出错率。
【难度系数】
0.7
3.学校举办航天绘画展，共有180幅作品参展，其中六年级参展作品的数量占参展作品总数量的$\frac{1}{4}$，五年级参展作品的数量比六年级少$\frac{2}{15}$。那么$\frac{1}{4}×(1-\frac{2}{15})$表示：。
答案
五年级参展作品的数量占参展作品总数量的几分之几。
解析
【分析】
要判断这个算式的含义，我们可以分步拆解：第一步先明确$\frac{1}{4}$的意义，它的单位“1”是参展作品总数量，代表六年级作品占总数量的分率；第二步明确$(1-\frac{2}{15})$的意义，题目中“五年级比六年级少$\frac{2}{15}$”的单位“1”是六年级的作品数量，所以$(1-\frac{2}{15})$代表五年级作品数量是六年级的几分之几；第三步结合分数乘法的意义，两个分率相乘，就是用六年级占总数量的分率乘五年级占六年级的分率，最终得到的就是五年级作品数量占总数量的分率。
【解析】
1. 把参展作品总数量看作单位“1”，$\frac{1}{4}$表示六年级参展作品数量占总数量的分率；
2. “五年级参展作品的数量比六年级少$\frac{2}{15}$”是把六年级参展作品数量看作单位“1”，则$1-\frac{2}{15}$表示五年级参展作品数量占六年级参展作品数量的几分之几；
3. 根据分数乘法的意义，$\frac{1}{4}×(1-\frac{2}{15})$表示的就是五年级参展作品的数量占参展作品总数量的几分之几。
【答案】
五年级参展作品的数量占参展作品总数量的几分之几。
【知识点】
单位“1”的识别，分数乘法的意义，分率应用
【点评】
本题是分数应用题的基础常考题，重点考查对不同分率对应单位“1”的区分能力，熟练掌握单位“1”的判定方法和分数乘法的意义是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
要判断这个算式的含义，我们可以分步拆解：第一步先明确$\frac{1}{4}$的意义，它的单位“1”是参展作品总数量，代表六年级作品占总数量的分率；第二步明确$(1-\frac{2}{15})$的意义，题目中“五年级比六年级少$\frac{2}{15}$”的单位“1”是六年级的作品数量，所以$(1-\frac{2}{15})$代表五年级作品数量是六年级的几分之几；第三步结合分数乘法的意义，两个分率相乘，就是用六年级占总数量的分率乘五年级占六年级的分率，最终得到的就是五年级作品数量占总数量的分率。
【解析】
1. 把参展作品总数量看作单位“1”，$\frac{1}{4}$表示六年级参展作品数量占总数量的分率；
2. “五年级参展作品的数量比六年级少$\frac{2}{15}$”是把六年级参展作品数量看作单位“1”，则$1-\frac{2}{15}$表示五年级参展作品数量占六年级参展作品数量的几分之几；
3. 根据分数乘法的意义，$\frac{1}{4}×(1-\frac{2}{15})$表示的就是五年级参展作品的数量占参展作品总数量的几分之几。
【答案】
五年级参展作品的数量占参展作品总数量的几分之几。
【知识点】
单位“1”的识别，分数乘法的意义，分率应用
【点评】
本题是分数应用题的基础常考题，重点考查对不同分率对应单位“1”的区分能力，熟练掌握单位“1”的判定方法和分数乘法的意义是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
4.桂花的花期是30天，，。紫荆花的花期是多少天？如果列式为$30×(1-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}$，那么横线上的信息是？
①杜鹃的花期比桂花长$\frac{1}{3}$
②桂花的花期比杜鹃长$\frac{1}{3}$
③杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$
④杜鹃的花期是紫荆花的$\frac{3}{4}$
⑤紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$
⑥紫荆花的花期比杜鹃短$\frac{3}{4}$
①杜鹃的花期比桂花长$\frac{1}{3}$
②桂花的花期比杜鹃长$\frac{1}{3}$
③杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$
④杜鹃的花期是紫荆花的$\frac{3}{4}$
⑤紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$
⑥紫荆花的花期比杜鹃短$\frac{3}{4}$
答案
$30×(1-\frac{1}{3})×\frac{3}{4}=15$（天）
答：横线上的信息依次是③杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$、⑤紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$，紫荆花的花期是15天。
答：横线上的信息依次是③杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$、⑤紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$，紫荆花的花期是15天。
解析
【分析】
我们可以从给出的算式倒推对应的条件，先拆解算式的每一步含义：第一步是用桂花的花期30天乘$(1-\frac{1}{3})$，说明这里把桂花的花期看作单位“1”，$(1-\frac{1}{3})$表示比单位“1”少$\frac{1}{3}$，也就是第一个条件要说明杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$，算出的结果就是杜鹃的花期；第二步是用杜鹃的花期乘$\frac{3}{4}$得到紫荆花的花期，说明这里把杜鹃的花期看作单位“1”，求它的$\frac{3}{4}$是多少，也就是第二个条件要说明紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$，这样就能对应上正确的条件选项。
【解析】
1. 分析算式第一步$30×(1-\frac{1}{3})$：
已知30天是桂花的花期，将桂花花期看作单位“1”，$(1-\frac{1}{3})$表示杜鹃花期占桂花花期的分率，含义是杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$，对应选项③，计算得杜鹃花期：
$30×(1-\frac{1}{3})=30×\frac{2}{3}=20$（天）
2. 分析算式第二步$×\frac{3}{4}$：
此时将杜鹃的花期看作单位“1”，乘$\frac{3}{4}$表示求杜鹃花期的$\frac{3}{4}$是多少，也就是紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$，对应选项⑤，计算得紫荆花花期：
$20×\frac{3}{4}=15$（天）
【答案】
横线上的信息依次是③杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$、⑤紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$，紫荆花的花期是15天。
【知识点】
单位“1”的判定；分数乘法应用；连续求一个数的几分之几
【点评】
这道题需要结合算式逆推题干条件，核心是准确判断每一步分数对应的单位“1”，能有效考查学生对分数乘法实际问题的逻辑理解能力，帮助学生巩固连续求几分之几的解题思路。
【难度系数】
0.65
我们可以从给出的算式倒推对应的条件，先拆解算式的每一步含义：第一步是用桂花的花期30天乘$(1-\frac{1}{3})$，说明这里把桂花的花期看作单位“1”，$(1-\frac{1}{3})$表示比单位“1”少$\frac{1}{3}$，也就是第一个条件要说明杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$，算出的结果就是杜鹃的花期；第二步是用杜鹃的花期乘$\frac{3}{4}$得到紫荆花的花期，说明这里把杜鹃的花期看作单位“1”，求它的$\frac{3}{4}$是多少，也就是第二个条件要说明紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$，这样就能对应上正确的条件选项。
【解析】
1. 分析算式第一步$30×(1-\frac{1}{3})$：
已知30天是桂花的花期，将桂花花期看作单位“1”，$(1-\frac{1}{3})$表示杜鹃花期占桂花花期的分率，含义是杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$，对应选项③，计算得杜鹃花期：
$30×(1-\frac{1}{3})=30×\frac{2}{3}=20$（天）
2. 分析算式第二步$×\frac{3}{4}$：
此时将杜鹃的花期看作单位“1”，乘$\frac{3}{4}$表示求杜鹃花期的$\frac{3}{4}$是多少，也就是紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$，对应选项⑤，计算得紫荆花花期：
$20×\frac{3}{4}=15$（天）
【答案】
横线上的信息依次是③杜鹃的花期比桂花短$\frac{1}{3}$、⑤紫荆花的花期是杜鹃的$\frac{3}{4}$，紫荆花的花期是15天。
【知识点】
单位“1”的判定；分数乘法应用；连续求一个数的几分之几
【点评】
这道题需要结合算式逆推题干条件，核心是准确判断每一步分数对应的单位“1”，能有效考查学生对分数乘法实际问题的逻辑理解能力，帮助学生巩固连续求几分之几的解题思路。
【难度系数】
0.65
5. 比12 m多$\frac{1}{3}$ m是()m，比12 m多$\frac{1}{3}$是()m。
答案
$12+\frac{1}{3}=12\frac{1}{3}$
$12×(1+\frac{1}{3})=16$
答：比12 m多$\frac{1}{3}$ m是$12\frac{1}{3}$ m，比12 m多$\frac{1}{3}$是16 m。
$12×(1+\frac{1}{3})=16$
答：比12 m多$\frac{1}{3}$ m是$12\frac{1}{3}$ m，比12 m多$\frac{1}{3}$是16 m。
解析
【分析】
解题时首先要区分两个$\frac{1}{3}$的含义：第一个$\frac{1}{3}$带单位“m”，是具体的长度，求比一个数多多少的数直接用加法计算；第二个$\frac{1}{3}$不带单位，是分率，表示多的部分占12m的$\frac{1}{3}$，把12m看作单位“1”，所求长度对应的分率是$1+\frac{1}{3}$，用单位“1”的量乘对应分率就能得到结果。
【解析】
第一个空：比12m多$\frac{1}{3}$m，直接将两个长度相加：
$12+\frac{1}{3}=12\frac{1}{3}$（m）
第二个空：比12m多$\frac{1}{3}$，即所求长度是12m的$(1+\frac{1}{3})$，列式计算：
$12×(1+\frac{1}{3})$
$=12×\frac{4}{3}$
$=16$（m）
【答案】
$12\frac{1}{3}$；16
【知识点】
分数的意义；分数加法运算；分数乘法应用
【点评】
本题的易错点是混淆带单位的分数和不带单位的分率，解题时要先审题明确分数的含义，再选择对应的计算方法，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要区分两个$\frac{1}{3}$的含义：第一个$\frac{1}{3}$带单位“m”，是具体的长度，求比一个数多多少的数直接用加法计算；第二个$\frac{1}{3}$不带单位，是分率，表示多的部分占12m的$\frac{1}{3}$，把12m看作单位“1”，所求长度对应的分率是$1+\frac{1}{3}$，用单位“1”的量乘对应分率就能得到结果。
【解析】
第一个空：比12m多$\frac{1}{3}$m，直接将两个长度相加：
$12+\frac{1}{3}=12\frac{1}{3}$（m）
第二个空：比12m多$\frac{1}{3}$，即所求长度是12m的$(1+\frac{1}{3})$，列式计算：
$12×(1+\frac{1}{3})$
$=12×\frac{4}{3}$
$=16$（m）
【答案】
$12\frac{1}{3}$；16
【知识点】
分数的意义；分数加法运算；分数乘法应用
【点评】
本题的易错点是混淆带单位的分数和不带单位的分率，解题时要先审题明确分数的含义，再选择对应的计算方法，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
二、选择正确答案的字母填在括号里。(每题3分,共计15分)
1. 小正方形的边长是大正方形边长的$\frac{1}{5}$，小正方形的面积是大正方形面积的()。
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{25}$
1. 小正方形的边长是大正方形边长的$\frac{1}{5}$，小正方形的面积是大正方形面积的()。
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{25}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的面积计算公式：正方形面积=边长×边长。我们可以用两种简单思路求解：第一种是赋值法，给大正方形边长设一个方便计算的具体数值，分别算出大小正方形的面积，再求小正方形面积是大正方形的几分之几；第二种是直接利用边长的占比推导面积的占比，因为面积是两个边长相乘的结果，所以面积的占比就是边长占比乘边长占比。
【解析】
方法一（赋值法）：假设大正方形的边长为5，那么小正方形的边长为 $5×\frac{1}{5}=1$。
大正方形面积：$5×5=25$
小正方形面积：$1×1=1$
小正方形面积是大正方形面积的：$1÷25=\frac{1}{25}$
方法二（比例推导法）：把大正方形边长看作单位“1”，则小正方形边长为$\frac{1}{5}$。
大正方形面积：$1×1=1$
小正方形面积：$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$
因此小正方形面积是大正方形面积的$\frac{1}{25}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算；分数乘法应用
【点评】
这道题是图形面积与分数结合的基础应用题，采用赋值法可以把抽象的比例关系转化为具体的数值计算，降低出错概率，解题时要注意面积的比例是边长比例的平方，不要直接把边长的占比当做面积的占比。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方形的面积计算公式：正方形面积=边长×边长。我们可以用两种简单思路求解：第一种是赋值法，给大正方形边长设一个方便计算的具体数值，分别算出大小正方形的面积，再求小正方形面积是大正方形的几分之几；第二种是直接利用边长的占比推导面积的占比，因为面积是两个边长相乘的结果，所以面积的占比就是边长占比乘边长占比。
【解析】
方法一（赋值法）：假设大正方形的边长为5，那么小正方形的边长为 $5×\frac{1}{5}=1$。
大正方形面积：$5×5=25$
小正方形面积：$1×1=1$
小正方形面积是大正方形面积的：$1÷25=\frac{1}{25}$
方法二（比例推导法）：把大正方形边长看作单位“1”，则小正方形边长为$\frac{1}{5}$。
大正方形面积：$1×1=1$
小正方形面积：$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$
因此小正方形面积是大正方形面积的$\frac{1}{25}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算；分数乘法应用
【点评】
这道题是图形面积与分数结合的基础应用题，采用赋值法可以把抽象的比例关系转化为具体的数值计算，降低出错概率，解题时要注意面积的比例是边长比例的平方，不要直接把边长的占比当做面积的占比。
【难度系数】
0.8
