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四、动手操作。(8分)
1. 下面左图的大长方形表示1，画图表示$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$。
1. 下面左图的大长方形表示1，画图表示$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$。
答案
$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}=\frac{5}{24}$
1. 将大长方形平均分成4份，涂出其中1份，表示$\frac{1}{4}$。
2. 把刚才涂出的这部分平均分成6份，用另一种阴影标记出其中5份，双重阴影的区域就表示$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$。
答：按上述步骤操作得到的双重阴影部分即为所求，计算结果为$\frac{5}{24}$。
1. 将大长方形平均分成4份，涂出其中1份，表示$\frac{1}{4}$。
2. 把刚才涂出的这部分平均分成6份，用另一种阴影标记出其中5份，双重阴影的区域就表示$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$。
答：按上述步骤操作得到的双重阴影部分即为所求，计算结果为$\frac{5}{24}$。
解析
【分析】
解题前先明确分数乘分数的意义：$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$表示求$\frac{1}{4}$的$\frac{5}{6}$是多少，因此画图分两步推进：第一步先在代表单位“1”的大长方形中表示出$\frac{1}{4}$；第二步再在得到的$\frac{1}{4}$部分中，表示出它的$\frac{5}{6}$，双重重叠的阴影区域就是算式对应的结果，最后按分数乘分数的计算法则算出数值结果即可。
【解析】
1. 明确算式意义：$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$是求$\frac{1}{4}$的$\frac{5}{6}$是多少。
2. 表示$\frac{1}{4}$：将代表单位“1”的大长方形平均分成4份，选取其中1份涂第一种阴影，该部分表示大长方形的$\frac{1}{4}$。
3. 表示$\frac{1}{4}$的$\frac{5}{6}$：把刚才涂出的$\frac{1}{4}$部分平均分成6份，选取其中5份涂第二种不同的阴影，两次都被涂色的双重阴影区域，就表示$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$。
4. 计算结果：根据分数乘分数计算法则，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，可得$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}=\frac{1×5}{4×6}=\frac{5}{24}$。
【答案】
$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}=\frac{5}{24}$
1. 将大长方形平均分成4份，涂出其中1份，表示$\frac{1}{4}$。
2. 把刚才涂出的这部分平均分成6份，用另一种阴影标记出其中5份，双重阴影的区域就表示$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$。
答：按上述步骤操作得到的双重阴影部分即为所求，计算结果为$\frac{5}{24}$。
【知识点】
1. 分数乘分数的意义
2. 分数乘分数的计算
【点评】
这道题将抽象的分数乘法运算转化为直观的画图操作，能帮助理解分数乘分数的算理，核心是掌握“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”的逻辑。
【难度系数】
0.8
解题前先明确分数乘分数的意义：$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$表示求$\frac{1}{4}$的$\frac{5}{6}$是多少，因此画图分两步推进：第一步先在代表单位“1”的大长方形中表示出$\frac{1}{4}$；第二步再在得到的$\frac{1}{4}$部分中，表示出它的$\frac{5}{6}$，双重重叠的阴影区域就是算式对应的结果，最后按分数乘分数的计算法则算出数值结果即可。
【解析】
1. 明确算式意义：$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$是求$\frac{1}{4}$的$\frac{5}{6}$是多少。
2. 表示$\frac{1}{4}$：将代表单位“1”的大长方形平均分成4份，选取其中1份涂第一种阴影，该部分表示大长方形的$\frac{1}{4}$。
3. 表示$\frac{1}{4}$的$\frac{5}{6}$：把刚才涂出的$\frac{1}{4}$部分平均分成6份，选取其中5份涂第二种不同的阴影，两次都被涂色的双重阴影区域，就表示$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$。
4. 计算结果：根据分数乘分数计算法则，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，可得$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}=\frac{1×5}{4×6}=\frac{5}{24}$。
【答案】
$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}=\frac{5}{24}$
1. 将大长方形平均分成4份，涂出其中1份，表示$\frac{1}{4}$。
2. 把刚才涂出的这部分平均分成6份，用另一种阴影标记出其中5份，双重阴影的区域就表示$\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$。
答：按上述步骤操作得到的双重阴影部分即为所求，计算结果为$\frac{5}{24}$。
【知识点】
1. 分数乘分数的意义
2. 分数乘分数的计算
【点评】
这道题将抽象的分数乘法运算转化为直观的画图操作，能帮助理解分数乘分数的算理，核心是掌握“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”的逻辑。
【难度系数】
0.8
2. 下面右图的大正方形面积表示 1,求涂色部分面积可列式为。
答案
$\frac{3}{4} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：第一步，先确定涂色部分占据的高度比例，大正方形竖直方向平均分为4份，涂色部分的高占3份，因此涂色部分所在的长方形区域面积是大正方形的$\frac{3}{4}$；第二步，观察涂色的3个三角形，它们的高相同，所有底相加刚好等于长方形的长，根据三角形面积公式，同高三角形的面积和等于底的总和乘高除以2，也就是等于对应长方形面积的$\frac{1}{2}$，因此用长方形面积占比乘$\frac{1}{2}$即可得到涂色面积。
【解析】
已知大正方形面积为1：
1. 竖直方向大正方形被平均分成4等份，涂色部分的高占3份，因此涂色部分所在的长方形面积为大正方形的$\frac{3}{4}$；
2. 涂色部分是3个等高的三角形，所有三角形的底之和等于上述长方形的长，因此3个三角形的总面积是该长方形面积的$\frac{1}{2}$；
3. 列式计算涂色面积：$\frac{3}{4} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{4} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$
【知识点】
三角形面积计算；分数乘法应用；组合图形面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的巧算题型，不需要逐个计算小三角形的面积，通过合并同高三角形的底简化运算，重点考查对图形特征的观察能力和对面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：第一步，先确定涂色部分占据的高度比例，大正方形竖直方向平均分为4份，涂色部分的高占3份，因此涂色部分所在的长方形区域面积是大正方形的$\frac{3}{4}$；第二步，观察涂色的3个三角形，它们的高相同，所有底相加刚好等于长方形的长，根据三角形面积公式，同高三角形的面积和等于底的总和乘高除以2，也就是等于对应长方形面积的$\frac{1}{2}$，因此用长方形面积占比乘$\frac{1}{2}$即可得到涂色面积。
【解析】
已知大正方形面积为1：
1. 竖直方向大正方形被平均分成4等份，涂色部分的高占3份，因此涂色部分所在的长方形面积为大正方形的$\frac{3}{4}$；
2. 涂色部分是3个等高的三角形，所有三角形的底之和等于上述长方形的长，因此3个三角形的总面积是该长方形面积的$\frac{1}{2}$；
3. 列式计算涂色面积：$\frac{3}{4} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{4} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$
【知识点】
三角形面积计算；分数乘法应用；组合图形面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的巧算题型，不需要逐个计算小三角形的面积，通过合并同高三角形的底简化运算，重点考查对图形特征的观察能力和对面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 根据图中“？人①”“？人②”“？人③”所表示的意思分别提出问题，并列式计算。（12分）
问题①：？
列式计算：。
问题②：？
列式计算：。
问题③：？
列式计算：。
问题①：？
列式计算：。
问题②：？
列式计算：。
问题③：？
列式计算：。
答案
问题①：围棋班比轮滑班少多少人
列式计算：$70×\frac{4}{7}=40$（人）
问题②：围棋班有多少人
列式计算：$70×(1-\frac{4}{7})=30$（人）
问题③：轮滑班和围棋班一共有多少人
列式计算：$70+30=100$（人）
答：围棋班比轮滑班少40人，围棋班有30人，轮滑班和围棋班一共有100人。
列式计算：$70×\frac{4}{7}=40$（人）
问题②：围棋班有多少人
列式计算：$70×(1-\frac{4}{7})=30$（人）
问题③：轮滑班和围棋班一共有多少人
列式计算：$70+30=100$（人）
答：围棋班比轮滑班少40人，围棋班有30人，轮滑班和围棋班一共有100人。
解析
【分析】
解题时首先观察线段图确定单位“1”：轮滑班人数是单位“1”，已知为70人。
1. 问号①对应“比轮滑班少$\frac{4}{7}$的部分”，是求围棋班比轮滑班少的人数，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，直接用单位“1”的量乘对应分率即可。
2. 问号②对应围棋班的实有线段长度，围棋班人数比轮滑班少$\frac{4}{7}$，所以围棋班人数对应的分率是$1-\frac{4}{7}$，用单位“1”的量乘这个分率就能得到围棋班人数，也可以用轮滑班人数减去①中求出的少的人数计算。
3. 问号③对应两个班线段的总长度，是求两个班的总人数，把轮滑班和围棋班的人数相加即可。
【解析】
1. 问题①求围棋班比轮滑班少的人数，单位“1”是轮滑班70人，少的人数占轮滑班的$\frac{4}{7}$，列式计算：
$70×\frac{4}{7}=40$（人）
2. 问题②求围棋班的人数，围棋班人数是轮滑班的$1-\frac{4}{7}$，列式计算：
$70×(1-\frac{4}{7})=70×\frac{3}{7}=30$（人）
3. 问题③求两个班的总人数，将轮滑班和围棋班人数相加，列式计算：
$70+30=100$（人）
【答案】
问题①：围棋班比轮滑班少多少人
列式计算：$70×\frac{4}{7}=40$（人）
问题②：围棋班有多少人
列式计算：$70×(1-\frac{4}{7})=30$（人）
问题③：轮滑班和围棋班一共有多少人
列式计算：$70+30=100$（人）
答：围棋班比轮滑班少40人，围棋班有30人，轮滑班和围棋班一共有100人。
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”识别，线段图分析
【点评】
本题结合线段图考查分数乘法的实际应用，解题核心是准确找到单位“1”，明确各部分量对应的分率，借助线段图可以直观清晰地梳理数量关系，有助于提升读图分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察线段图确定单位“1”：轮滑班人数是单位“1”，已知为70人。
1. 问号①对应“比轮滑班少$\frac{4}{7}$的部分”，是求围棋班比轮滑班少的人数，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，直接用单位“1”的量乘对应分率即可。
2. 问号②对应围棋班的实有线段长度，围棋班人数比轮滑班少$\frac{4}{7}$，所以围棋班人数对应的分率是$1-\frac{4}{7}$，用单位“1”的量乘这个分率就能得到围棋班人数，也可以用轮滑班人数减去①中求出的少的人数计算。
3. 问号③对应两个班线段的总长度，是求两个班的总人数，把轮滑班和围棋班的人数相加即可。
【解析】
1. 问题①求围棋班比轮滑班少的人数，单位“1”是轮滑班70人，少的人数占轮滑班的$\frac{4}{7}$，列式计算：
$70×\frac{4}{7}=40$（人）
2. 问题②求围棋班的人数，围棋班人数是轮滑班的$1-\frac{4}{7}$，列式计算：
$70×(1-\frac{4}{7})=70×\frac{3}{7}=30$（人）
3. 问题③求两个班的总人数，将轮滑班和围棋班人数相加，列式计算：
$70+30=100$（人）
【答案】
问题①：围棋班比轮滑班少多少人
列式计算：$70×\frac{4}{7}=40$（人）
问题②：围棋班有多少人
列式计算：$70×(1-\frac{4}{7})=30$（人）
问题③：轮滑班和围棋班一共有多少人
列式计算：$70+30=100$（人）
答：围棋班比轮滑班少40人，围棋班有30人，轮滑班和围棋班一共有100人。
【知识点】
分数乘法应用，单位“1”识别，线段图分析
【点评】
本题结合线段图考查分数乘法的实际应用，解题核心是准确找到单位“1”，明确各部分量对应的分率，借助线段图可以直观清晰地梳理数量关系，有助于提升读图分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
2. $\frac{4}{9}×\frac{3}{5}＜\frac{5}{a}$，非零自然数$a$最大表示几？下面是小宁和小佳的分析。(6分)
(1)你同意谁的分析？为什么？
(2)用你认为正确的方法，计算$\frac{6}{11}×\frac{2}{3}＜\frac{5}{b}$中非零自然数$b$最大表示几。
(1)你同意谁的分析？为什么？
(2)用你认为正确的方法，计算$\frac{6}{11}×\frac{2}{3}＜\frac{5}{b}$中非零自然数$b$最大表示几。
答案
(1)
同意小佳的分析。
$\frac{4}{9}×\frac{3}{5}=\frac{4}{15}$
将$\frac{4}{15}$和$\frac{5}{a}$化为分子相同的分数：$\frac{4}{15}=\frac{20}{75}$，$\frac{5}{a}=\frac{20}{4a}$
分子相同的分数，分母越小分数越大，要使$\frac{20}{75}＜\frac{20}{4a}$，则$4a＜75$，非零自然数a最大为18，小宁错误缩小了a的取值范围。
(2)
$\frac{6}{11}×\frac{2}{3}=\frac{4}{11}$
将$\frac{4}{11}$和$\frac{5}{b}$化为分子相同的分数：$\frac{4}{11}=\frac{20}{55}$，$\frac{5}{b}=\frac{20}{4b}$
要使$\frac{20}{55}＜\frac{20}{4b}$，则$4b＜55$
非零自然数4b最大为52，$b=52÷4=13$
答：非零自然数b最大表示13。
同意小佳的分析。
$\frac{4}{9}×\frac{3}{5}=\frac{4}{15}$
将$\frac{4}{15}$和$\frac{5}{a}$化为分子相同的分数：$\frac{4}{15}=\frac{20}{75}$，$\frac{5}{a}=\frac{20}{4a}$
分子相同的分数，分母越小分数越大，要使$\frac{20}{75}＜\frac{20}{4a}$，则$4a＜75$，非零自然数a最大为18，小宁错误缩小了a的取值范围。
(2)
$\frac{6}{11}×\frac{2}{3}=\frac{4}{11}$
将$\frac{4}{11}$和$\frac{5}{b}$化为分子相同的分数：$\frac{4}{11}=\frac{20}{55}$，$\frac{5}{b}=\frac{20}{4b}$
要使$\frac{20}{55}＜\frac{20}{4b}$，则$4b＜55$
非零自然数4b最大为52，$b=52÷4=13$
答：非零自然数b最大表示13。
解析
【分析】
(1) 先计算出不等式左边分数乘法的结果，再对比两人的推导逻辑：小宁错误将不等号两边分数的分母直接划等号，不符合分数比较大小的规则；小佳采用通分子的方法比较分数，符合“分子相同的分数，分母越小分数越大”的规律，推导逻辑正确。
(2) 解题时先计算左边乘法的结果，再把不等号两边的分数化为分子相同的分数，根据同分子分数大小比较的规则得到分母的不等关系，结合b是非零自然数的要求，求出b的最大值。
【解析】
(1) 同意小佳的分析。
先计算左边乘积：$\frac{4}{9}×\frac{3}{5}=\frac{4}{15}$，
小宁直接认为$\frac{4}{15}＜\frac{5}{a}$对应$\frac{4}{15}＜\frac{5}{15}$，错误缩小了a的取值范围；
小佳将两个分数化为分子相同的分数：$\frac{4}{15}=\frac{20}{75}$，$\frac{5}{a}=\frac{20}{4a}$，
根据分子相同的分数，分母越小分数越大，要使$\frac{20}{75}＜\frac{20}{4a}$，则$4a＜75$，非零自然数a最大为18，推导过程正确。
(2) 第一步：计算左边分数乘法的结果
$\frac{6}{11}×\frac{2}{3}=\frac{4}{11}$
第二步：将$\frac{4}{11}$和$\frac{5}{b}$化为分子相同的分数
$\frac{4}{11}=\frac{20}{55}$，$\frac{5}{b}=\frac{20}{4b}$
第三步：根据同分子分数大小比较规则列不等式
要使$\frac{20}{55}＜\frac{20}{4b}$，则$4b＜55$
第四步：求非零自然数b的最大值
小于55的数中，4的最大倍数是52，因此$4b=52$，解得$b=52÷4=13$。
【答案】
(1) 同意小佳的分析。$\frac{4}{9}×\frac{3}{5}=\frac{4}{15}$，将$\frac{4}{15}$和$\frac{5}{a}$化为分子相同的分数：$\frac{4}{15}=\frac{20}{75}$，$\frac{5}{a}=\frac{20}{4a}$，分子相同的分数，分母越小分数越大，要使$\frac{20}{75}＜\frac{20}{4a}$，则$4a＜75$，非零自然数a最大为18，小宁错误缩小了a的取值范围。
(2) 非零自然数b最大表示13。
【知识点】
分数乘法计算，同分子分数大小比较，自然数最值求解
【点评】
本题的易错点是比较分数大小时错误直接对齐分母，需要熟练掌握通分子比较分数大小的方法，同时结合自然数的取值限制求解最值，能够有效锻炼学生的运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先计算出不等式左边分数乘法的结果，再对比两人的推导逻辑：小宁错误将不等号两边分数的分母直接划等号，不符合分数比较大小的规则；小佳采用通分子的方法比较分数，符合“分子相同的分数，分母越小分数越大”的规律，推导逻辑正确。
(2) 解题时先计算左边乘法的结果，再把不等号两边的分数化为分子相同的分数，根据同分子分数大小比较的规则得到分母的不等关系，结合b是非零自然数的要求，求出b的最大值。
【解析】
(1) 同意小佳的分析。
先计算左边乘积：$\frac{4}{9}×\frac{3}{5}=\frac{4}{15}$，
小宁直接认为$\frac{4}{15}＜\frac{5}{a}$对应$\frac{4}{15}＜\frac{5}{15}$，错误缩小了a的取值范围；
小佳将两个分数化为分子相同的分数：$\frac{4}{15}=\frac{20}{75}$，$\frac{5}{a}=\frac{20}{4a}$，
根据分子相同的分数，分母越小分数越大，要使$\frac{20}{75}＜\frac{20}{4a}$，则$4a＜75$，非零自然数a最大为18，推导过程正确。
(2) 第一步：计算左边分数乘法的结果
$\frac{6}{11}×\frac{2}{3}=\frac{4}{11}$
第二步：将$\frac{4}{11}$和$\frac{5}{b}$化为分子相同的分数
$\frac{4}{11}=\frac{20}{55}$，$\frac{5}{b}=\frac{20}{4b}$
第三步：根据同分子分数大小比较规则列不等式
要使$\frac{20}{55}＜\frac{20}{4b}$，则$4b＜55$
第四步：求非零自然数b的最大值
小于55的数中，4的最大倍数是52，因此$4b=52$，解得$b=52÷4=13$。
【答案】
(1) 同意小佳的分析。$\frac{4}{9}×\frac{3}{5}=\frac{4}{15}$，将$\frac{4}{15}$和$\frac{5}{a}$化为分子相同的分数：$\frac{4}{15}=\frac{20}{75}$，$\frac{5}{a}=\frac{20}{4a}$，分子相同的分数，分母越小分数越大，要使$\frac{20}{75}＜\frac{20}{4a}$，则$4a＜75$，非零自然数a最大为18，小宁错误缩小了a的取值范围。
(2) 非零自然数b最大表示13。
【知识点】
分数乘法计算，同分子分数大小比较，自然数最值求解
【点评】
本题的易错点是比较分数大小时错误直接对齐分母，需要熟练掌握通分子比较分数大小的方法，同时结合自然数的取值限制求解最值，能够有效锻炼学生的运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
