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1. 下列各式计算正确的是 （）
A.$\frac{a}{b} · \frac{a}{6b} = \frac{2a}{7b}$
B.$8a^2b^3 ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) = -6a^3b$
C.$-\frac{a^2}{b} · (-\frac{b^2}{a}) = -ab$
D.$\frac{a}{a^2 -1} ÷ \frac{a^2}{a^2 +a} = \frac{1}{a -1}$
A.$\frac{a}{b} · \frac{a}{6b} = \frac{2a}{7b}$
B.$8a^2b^3 ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) = -6a^3b$
C.$-\frac{a^2}{b} · (-\frac{b^2}{a}) = -ab$
D.$\frac{a}{a^2 -1} ÷ \frac{a^2}{a^2 +a} = \frac{1}{a -1}$
答案
1. D 【解析】$\frac{a}{a^2-1} ÷ \frac{a^2}{a^2+a} = \frac{a}{(a+1)(a-1)} · \frac{a(a+1)}{a^2} = \frac{1}{a-1}$,故选项D正确.
2. 已知 $ P = -\dfrac{1}{x} ÷ \dfrac{1}{x^2 + x} $，$ Q = \dfrac{x^2 - 1}{y^2} · \dfrac{y^2}{1 - x} $，则 $ P $ $ Q $（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
2. = 【解析】$ P = -\frac{1}{x} ÷ \frac{1}{x^2+x} = -\frac{1}{x} · x(x+1) = -x-1 $;$ Q = \frac{x^2-1}{y^2} · \frac{y^2}{1-x} = -\frac{(x+1)(x-1)}{y^2} · \frac{y^2}{x-1} = -x-1 $,故$ P=Q $.
3.计算：$\frac{x}{x - y} · \frac{x^2 - y^2}{x} =$
x+y
答案
3. $x+y$ 【解析】原式$=\frac{x}{x-y} · \frac{(x+y)(x-y)}{x} = x+y$.
4.李先生买了两只灯泡，它们的额定功率分别是$P_1=\frac{U^2}{R},P_2=\frac{U^2}{4R}$，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的
4
倍。答案
4. 4 【解析】$\frac{U^2}{R} ÷ \frac{U^2}{4R} = \frac{U^2}{R} × \frac{4R}{U^2}=4$.
5. 计算:
(1)$\frac{3x}{8y} · \frac{16y^2}{27x^2}$;
(2)$\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2-9}{x^2-4x+4}$;
(3)$\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \frac{x^2+x}{x-1}$.
(1)$\frac{3x}{8y} · \frac{16y^2}{27x^2}$;
(2)$\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2-9}{x^2-4x+4}$;
(3)$\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \frac{x^2+x}{x-1}$.
答案
(1)$\frac{3x}{8y} · \frac{16y^2}{27x^2} = \frac{(3×16)xy^2}{(8×27)x^2y} = \frac{2y}{9x}$.
(2) $\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2-9}{x^2-4x+4} = \frac{x-2}{x+3} · \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)^2} = \frac{x-3}{x-2}$.
(3)$\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \frac{x^2+x}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x(x+1)}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+1)} = \frac{1}{x}$.
(2) $\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2-9}{x^2-4x+4} = \frac{x-2}{x+3} · \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)^2} = \frac{x-3}{x-2}$.
(3)$\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \frac{x^2+x}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x(x+1)}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+1)} = \frac{1}{x}$.
6. 先化简,再求值:
(1)$\frac{a+1}{a} · \frac{a^2}{a^2 -1}$,其中$a=5$;
(2)$(x^2 -9) ÷ \frac{x-3}{x}$,其中$x=-1$.
(1)$\frac{a+1}{a} · \frac{a^2}{a^2 -1}$,其中$a=5$;
(2)$(x^2 -9) ÷ \frac{x-3}{x}$,其中$x=-1$.
答案
(1)原式$=\frac{a+1}{a} · \frac{a^2}{(a+1)(a-1)} = \frac{a}{a-1}$.
当$a=5$时,原式$=\frac{5}{5-1}=\frac{5}{4}$.
(2)原式$=(x+3)(x-3) · \frac{x}{x-3}=x(x+3)$.
当$x=-1$时,原式$=-1×(-1+3)=-2$.
当$a=5$时,原式$=\frac{5}{5-1}=\frac{5}{4}$.
(2)原式$=(x+3)(x-3) · \frac{x}{x-3}=x(x+3)$.
当$x=-1$时,原式$=-1×(-1+3)=-2$.
7. 学过分式的乘除运算后，王老师给同学们出了这样一道题：当 $ x = 2026 $ 时，求代数式 $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{2x - 2}{x + 1} $ 的值. 小林一看马上说道：“太复杂了，直接代入计算需要很久的时间啊！”你能帮小林快速解决这个问题吗？请写出你的计算过程.
答案
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{2(x-1)} = \frac{1}{2}$,
所以,当$x=2026$时,原式的值为$\frac{1}{2}$.
所以,当$x=2026$时,原式的值为$\frac{1}{2}$.
