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问题1 对于抛物线形问题，你认为如何建立平面直角坐标系求解析式较为简单？
问题2 你能根据不同的已知条件设合适的二次函数解析式吗？请举例说明。
问题1 对于抛物线形问题，你认为如何建立平面直角坐标系求解析式较为简单？
问题2 你能根据不同的已知条件设合适的二次函数解析式吗？请举例说明。
答案
解：
问题1解答
建立平面直角坐标系时，优先遵循以下原则：
1. 尽量将抛物线的顶点放在坐标轴上，可将顶点设为坐标原点，或落在y轴上；
2. 尽量将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线对称分布的水平底边设为x轴；
3. 尽可能把题目给出的已知特征点落在坐标轴上。
这样设置可以让二次函数解析式中的多个待定系数直接为0，减少需要计算的参数数量，大幅简化求解过程。
问题2解答
可以根据不同的已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例说明如下：
1. 当已知抛物线上3个普通点的坐标时，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$。
例：已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(-1,1)$，将三个点坐标代入一般式，列三元一次方程组即可求出$a,b,c$，得到函数解析式。
2. 当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最大/最小值）和1个普通点的坐标时，设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$，其中$(h,k)$为抛物线的顶点坐标。
例：已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将顶点坐标直接代入顶点式，再把点$(0,0)$代入仅需计算系数$a$，即可快速得到解析式。
3. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标，和1个普通点的坐标时，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$，其中$x_1,x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标。
例：已知抛物线与x轴交于点$(-2,0)$、$(2,0)$，且过点$(0,2)$，代入交点式仅需求出系数$a$，即可得到二次函数解析式。
问题1解答
建立平面直角坐标系时，优先遵循以下原则：
1. 尽量将抛物线的顶点放在坐标轴上，可将顶点设为坐标原点，或落在y轴上；
2. 尽量将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线对称分布的水平底边设为x轴；
3. 尽可能把题目给出的已知特征点落在坐标轴上。
这样设置可以让二次函数解析式中的多个待定系数直接为0，减少需要计算的参数数量，大幅简化求解过程。
问题2解答
可以根据不同的已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例说明如下：
1. 当已知抛物线上3个普通点的坐标时，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$。
例：已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(-1,1)$，将三个点坐标代入一般式，列三元一次方程组即可求出$a,b,c$，得到函数解析式。
2. 当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最大/最小值）和1个普通点的坐标时，设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$，其中$(h,k)$为抛物线的顶点坐标。
例：已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将顶点坐标直接代入顶点式，再把点$(0,0)$代入仅需计算系数$a$，即可快速得到解析式。
3. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标，和1个普通点的坐标时，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$，其中$x_1,x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标。
例：已知抛物线与x轴交于点$(-2,0)$、$(2,0)$，且过点$(0,2)$，代入交点式仅需求出系数$a$，即可得到二次函数解析式。
解析
【分析】
这两个问题是解决生活中抛物线类实际问题的核心基础，解题思路如下：
1. 思考问题1时，要明确建立坐标系的核心目标是简化二次函数解析式的求解，因此要尽可能让抛物线的特殊点（顶点、已知特征点、对称点等）落在坐标轴上，从而让解析式中的部分待定系数直接为0，减少需要计算的参数数量。
2. 思考问题2时，要结合二次函数三种常用解析式的结构特点，匹配对应已知条件：已知任意三点选一般式，已知顶点/对称轴/最值选顶点式，已知与x轴两交点选交点式，以此降低计算复杂度。
【解析】
问题1解答
建立平面直角坐标系时，优先遵循以下原则：
1. 尽量将抛物线的顶点放在坐标轴上，可将顶点设为坐标原点，或落在y轴上；
2. 尽量将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线对称分布的水平底边设为x轴；
3. 尽可能把题目给出的已知特征点落在坐标轴上。
这样设置可以让二次函数解析式中的多个待定系数直接为0，减少需要计算的参数数量，大幅简化求解过程。
问题2解答
可以根据不同的已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例说明如下：
1. 当已知抛物线上3个普通点的坐标时，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$。
例：已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(-1,1)$，将三个点坐标代入一般式，列三元一次方程组即可求出$a,b,c$，得到函数解析式。
2. 当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最大/最小值）和1个普通点的坐标时，设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$，其中$(h,k)$为抛物线的顶点坐标。
例：已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将顶点坐标直接代入顶点式，再把点$(0,0)$代入仅需计算系数$a$，即可快速得到解析式。
3. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标，和1个普通点的坐标时，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$，其中$x_1,x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标。
例：已知抛物线与x轴交于点$(-2,0)$、$(2,0)$，且过点$(0,2)$，代入交点式仅需求出系数$a$，即可得到二次函数解析式。
【答案】
问题1解答
建立平面直角坐标系时，优先遵循以下原则：
1. 尽量将抛物线的顶点放在坐标轴上，可将顶点设为坐标原点，或落在y轴上；
2. 尽量将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线对称分布的水平底边设为x轴；
3. 尽可能把题目给出的已知特征点落在坐标轴上。
这样设置可以让二次函数解析式中的多个待定系数直接为0，减少需要计算的参数数量，大幅简化求解过程。
问题2解答
可以根据不同的已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例说明如下：
1. 当已知抛物线上3个普通点的坐标时，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$。
例：已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(-1,1)$，将三个点坐标代入一般式，列三元一次方程组即可求出$a,b,c$，得到函数解析式。
2. 当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最大/最小值）和1个普通点的坐标时，设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$，其中$(h,k)$为抛物线的顶点坐标。
例：已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将顶点坐标直接代入顶点式，再把点$(0,0)$代入仅需计算系数$a$，即可快速得到解析式。
3. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标，和1个普通点的坐标时，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$，其中$x_1,x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标。
例：已知抛物线与x轴交于点$(-2,0)$、$(2,0)$，且过点$(0,2)$，代入交点式仅需求出系数$a$，即可得到二次函数解析式。
【知识点】
1. 坐标系的合理建立
2. 二次函数的解析式形式
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是抛物线类实际应用题的基础入门内容，掌握合理建系的技巧和灵活选择解析式的方法，能有效降低后续解题的运算量，提升解题效率，是解决抛物线实际问题的必备技能。
【难度系数】
0.8
这两个问题是解决生活中抛物线类实际问题的核心基础，解题思路如下：
1. 思考问题1时，要明确建立坐标系的核心目标是简化二次函数解析式的求解，因此要尽可能让抛物线的特殊点（顶点、已知特征点、对称点等）落在坐标轴上，从而让解析式中的部分待定系数直接为0，减少需要计算的参数数量。
2. 思考问题2时，要结合二次函数三种常用解析式的结构特点，匹配对应已知条件：已知任意三点选一般式，已知顶点/对称轴/最值选顶点式，已知与x轴两交点选交点式，以此降低计算复杂度。
【解析】
问题1解答
建立平面直角坐标系时，优先遵循以下原则：
1. 尽量将抛物线的顶点放在坐标轴上，可将顶点设为坐标原点，或落在y轴上；
2. 尽量将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线对称分布的水平底边设为x轴；
3. 尽可能把题目给出的已知特征点落在坐标轴上。
这样设置可以让二次函数解析式中的多个待定系数直接为0，减少需要计算的参数数量，大幅简化求解过程。
问题2解答
可以根据不同的已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例说明如下：
1. 当已知抛物线上3个普通点的坐标时，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$。
例：已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(-1,1)$，将三个点坐标代入一般式，列三元一次方程组即可求出$a,b,c$，得到函数解析式。
2. 当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最大/最小值）和1个普通点的坐标时，设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$，其中$(h,k)$为抛物线的顶点坐标。
例：已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将顶点坐标直接代入顶点式，再把点$(0,0)$代入仅需计算系数$a$，即可快速得到解析式。
3. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标，和1个普通点的坐标时，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$，其中$x_1,x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标。
例：已知抛物线与x轴交于点$(-2,0)$、$(2,0)$，且过点$(0,2)$，代入交点式仅需求出系数$a$，即可得到二次函数解析式。
【答案】
问题1解答
建立平面直角坐标系时，优先遵循以下原则：
1. 尽量将抛物线的顶点放在坐标轴上，可将顶点设为坐标原点，或落在y轴上；
2. 尽量将抛物线的对称轴设为y轴，将抛物线对称分布的水平底边设为x轴；
3. 尽可能把题目给出的已知特征点落在坐标轴上。
这样设置可以让二次函数解析式中的多个待定系数直接为0，减少需要计算的参数数量，大幅简化求解过程。
问题2解答
可以根据不同的已知条件选择对应的二次函数解析式形式，举例说明如下：
1. 当已知抛物线上3个普通点的坐标时，设一般式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$。
例：已知抛物线过点$(0,1)$、$(1,3)$、$(-1,1)$，将三个点坐标代入一般式，列三元一次方程组即可求出$a,b,c$，得到函数解析式。
2. 当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最大/最小值）和1个普通点的坐标时，设顶点式$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$，其中$(h,k)$为抛物线的顶点坐标。
例：已知抛物线顶点为$(2,4)$，且过点$(0,0)$，将顶点坐标直接代入顶点式，再把点$(0,0)$代入仅需计算系数$a$，即可快速得到解析式。
3. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标，和1个普通点的坐标时，设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a≠0)$，其中$x_1,x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标。
例：已知抛物线与x轴交于点$(-2,0)$、$(2,0)$，且过点$(0,2)$，代入交点式仅需求出系数$a$，即可得到二次函数解析式。
【知识点】
1. 坐标系的合理建立
2. 二次函数的解析式形式
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是抛物线类实际应用题的基础入门内容，掌握合理建系的技巧和灵活选择解析式的方法，能有效降低后续解题的运算量，提升解题效率，是解决抛物线实际问题的必备技能。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】某抛物线形拱桥如图所示,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.若水面下降2 m,则水面宽度增加
【解析】如图,建立平面直角坐标系.
设这条抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$.
由抛物线经过点$(2,-2)$,可得$-2=a×2^2$.解得$a=-\frac{1}{2}$.
因此,这条抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$.
当水面下降2 m时,水面的纵坐标为$-4$.
把$y=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$,得$-4=-\frac{1}{2}x^2$.
解得$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$.
此时水面宽$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$(m).
所以水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)$m.
【答案】$(4\sqrt{2}-4)$
$(4\sqrt{2}-4)$
m.【解析】如图,建立平面直角坐标系.
设这条抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$.
由抛物线经过点$(2,-2)$,可得$-2=a×2^2$.解得$a=-\frac{1}{2}$.
因此,这条抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$.
当水面下降2 m时,水面的纵坐标为$-4$.
把$y=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$,得$-4=-\frac{1}{2}x^2$.
解得$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$.
此时水面宽$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$(m).
所以水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)$m.
【答案】$(4\sqrt{2}-4)$
答案
$(4\sqrt{2}-4)$
解析
【分析】
解决这类抛物线的实际应用问题，首先要通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解。为了简化计算，我们选择拱顶作为坐标原点、抛物线对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线的解析式可设为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。接下来利用已知条件“拱顶离水面2m时水面宽4m”得到抛物线上的点坐标，代入解析式求出参数$a$，确定函数解析式。当水面下降2m时，对应水面点的纵坐标为$-4$，将其代入解析式求出对应的横坐标，即可得到新的水面宽度，最后用新宽度减去原来的宽度就得到增加的宽度。
【解析】
解：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
设这条抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可知，拱顶离水面2m时水面宽4m，因此抛物线经过点$(2,-2)$，将该点代入解析式得：
$-2=a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降2m时，水面的纵坐标为$-2-2=-4$，将$y=-4$代入解析式得：
$-4=-\frac{1}{2}x^2$
解得$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$。
此时水面宽度为$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
则水面宽度增加了$4\sqrt{2}-4$ m。
【答案】
$(4\sqrt{2}-4)$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用题型，解题的核心是合理建立平面直角坐标系来简化解析式的计算，解题过程中要注意坐标与实际量的对应关系，最后所求为宽度的增加量，不要漏减原水面宽度。
【难度系数】
0.7
解决这类抛物线的实际应用问题，首先要通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解。为了简化计算，我们选择拱顶作为坐标原点、抛物线对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线的解析式可设为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。接下来利用已知条件“拱顶离水面2m时水面宽4m”得到抛物线上的点坐标，代入解析式求出参数$a$，确定函数解析式。当水面下降2m时，对应水面点的纵坐标为$-4$，将其代入解析式求出对应的横坐标，即可得到新的水面宽度，最后用新宽度减去原来的宽度就得到增加的宽度。
【解析】
解：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
设这条抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可知，拱顶离水面2m时水面宽4m，因此抛物线经过点$(2,-2)$，将该点代入解析式得：
$-2=a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降2m时，水面的纵坐标为$-2-2=-4$，将$y=-4$代入解析式得：
$-4=-\frac{1}{2}x^2$
解得$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$。
此时水面宽度为$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
则水面宽度增加了$4\sqrt{2}-4$ m。
【答案】
$(4\sqrt{2}-4)$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用题型，解题的核心是合理建立平面直角坐标系来简化解析式的计算，解题过程中要注意坐标与实际量的对应关系，最后所求为宽度的增加量，不要漏减原水面宽度。
【难度系数】
0.7
【即学即练】
1. 某蔬菜大棚的纵截面示意图如图所示，纵截面中的棚顶可以近似看作抛物线的一部分，其中点O是棚顶与地面的交点，AB是保温墙(点A在地面上)，并且棚顶的最高点到点O的水平距离是6 m，到OA的距离是3 m. 现以点O为原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求棚顶所在抛物线对应的函数解析式.
(2)若点O到保温墙AB的距离OA = 8 m，求保温墙AB的高度.
1. 某蔬菜大棚的纵截面示意图如图所示，纵截面中的棚顶可以近似看作抛物线的一部分，其中点O是棚顶与地面的交点，AB是保温墙(点A在地面上)，并且棚顶的最高点到点O的水平距离是6 m，到OA的距离是3 m. 现以点O为原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求棚顶所在抛物线对应的函数解析式.
(2)若点O到保温墙AB的距离OA = 8 m，求保温墙AB的高度.
答案
1. (1) 设棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+3(a≠0)$.
把$x=0,y=0$代入$y=a(x-6)^2+3$,得$36a+3=0$.
解得$a=-\frac{1}{12}$.
∴棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$.
(2) 把$x=8$代入$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$,得$y=-\frac{1}{12}×(8-6)^2+3=\frac{8}{3}$.
故保温墙AB的高度为$\frac{8}{3}$ m.
把$x=0,y=0$代入$y=a(x-6)^2+3$,得$36a+3=0$.
解得$a=-\frac{1}{12}$.
∴棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$.
(2) 把$x=8$代入$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$,得$y=-\frac{1}{12}×(8-6)^2+3=\frac{8}{3}$.
故保温墙AB的高度为$\frac{8}{3}$ m.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，已知棚顶最高点的坐标为(6,3)，也就是抛物线的顶点坐标，因此选择顶点式设函数解析式最为简便，再结合抛物线过原点O(0,0)，代入即可求出待定系数a，进而得到抛物线的解析式。
（2）保温墙AB的高度就是x=8时对应的抛物线函数值，因此只需将x=8代入第一问求出的解析式中计算y值，即可得到AB的高度。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为(6,3)，设棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+3(a≠0)$。
把$x=0,y=0$代入解析式，得$36a+3=0$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$。
(2) 已知OA=8m，即点B的横坐标为8，把$x=8$代入$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$，得
$y=-\frac{1}{12}×(8-6)^2+3=\frac{8}{3}$，
因此保温墙AB的高度为$\frac{8}{3}$ m。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$
(2) $\frac{8}{3}$ m
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用，解题核心是结合已知几何信息确定抛物线的关键坐标，选择合适的解析式形式求解，再通过代入求值得到实际问题的结果，侧重考察二次函数基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式时，已知棚顶最高点的坐标为(6,3)，也就是抛物线的顶点坐标，因此选择顶点式设函数解析式最为简便，再结合抛物线过原点O(0,0)，代入即可求出待定系数a，进而得到抛物线的解析式。
（2）保温墙AB的高度就是x=8时对应的抛物线函数值，因此只需将x=8代入第一问求出的解析式中计算y值，即可得到AB的高度。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为(6,3)，设棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+3(a≠0)$。
把$x=0,y=0$代入解析式，得$36a+3=0$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$。
(2) 已知OA=8m，即点B的横坐标为8，把$x=8$代入$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$，得
$y=-\frac{1}{12}×(8-6)^2+3=\frac{8}{3}$，
因此保温墙AB的高度为$\frac{8}{3}$ m。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+3$
(2) $\frac{8}{3}$ m
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用，解题核心是结合已知几何信息确定抛物线的关键坐标，选择合适的解析式形式求解，再通过代入求值得到实际问题的结果，侧重考察二次函数基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
