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9. 一名在校大学生自主创业销售一种产品，这种产品的进价为10元/件，已知售价不低于进价，且生产商规定这种产品的售价不高于16元/件. 市场调查发现，该产品每天的销售量$y$(单位:件)与售价$x$(单位:元/件)之间的函数关系图象如图所示.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围.
(2)求每天的销售利润$w$(单位:元)关于售价$x$(单位:元/件)的函数解析式，并求出当每件售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
(1)求$y$关于$x$的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围.
(2)求每天的销售利润$w$(单位:元)关于售价$x$(单位:元/件)的函数解析式，并求出当每件售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
答案
9.【解】(1)设 y 关于 x 的函数解析式为 $y=kx+b$($k≠0$),
将$(10,30),(16,24)$分别代入$y=kx+b$,
得 $\begin{cases}10k+b=30,\\16k+b=24,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=40.\end{cases}$
故 $y=-x+40(10≤ x≤16)$.
(2)由题意,得 $w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$.
∵$-1＜0$,
∴当 $x＜25$ 时,w 随 x 的增大而增大.
∵$10≤ x≤16$,
∴当 $x=16$ 时,w 取得最大值,最大值为 144.
∴当每件售价为 16 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 144 元.
将$(10,30),(16,24)$分别代入$y=kx+b$,
得 $\begin{cases}10k+b=30,\\16k+b=24,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=40.\end{cases}$
故 $y=-x+40(10≤ x≤16)$.
(2)由题意,得 $w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$.
∵$-1＜0$,
∴当 $x＜25$ 时,w 随 x 的增大而增大.
∵$10≤ x≤16$,
∴当 $x=16$ 时,w 取得最大值,最大值为 144.
∴当每件售价为 16 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 144 元.
解析
【分析】
(1) 由图象可知y与x是一次函数关系，解题时先采用待定系数法：设一次函数的一般式$y=kx+b(k≠0)$，再将图象上的两个已知点$(10,30)$、$(16,24)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到函数解析式，最后结合题目给出的售价限制（不低于10元/件，不高于16元/件）确定自变量x的取值范围。
(2) 根据“总利润=单件利润×销售量”的公式，单件利润为$(x-10)$元，销售量y是第一问求出的含x的表达式，代入后可得到w关于x的二次函数解析式；再结合二次函数的开口方向、对称轴判断函数的增减性，同时注意自变量x的取值范围，在取值范围内找到使w取最大值的x，计算出最大利润即可，注意本题二次函数的顶点横坐标不在x的取值范围内，不能直接取顶点的最值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为 $y=kx+b$($k≠0$),
将$(10,30),(16,24)$分别代入$y=kx+b$,
得 $\begin{cases}10k+b=30,\\16k+b=24,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=40.\end{cases}$
故 $y$关于$x$的函数解析式为$y=-x+40$，自变量$x$的取值范围为$10≤ x≤16$。
(2) 由题意,得 $w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$。
$\because-1＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=25$，当 $x＜25$ 时,w 随 x 的增大而增大。
$\because10≤ x≤16＜25$,
$\therefore$ 当 $x=16$ 时,w 取得最大值,最大值为$-(16-25)^2+225=144$。
【答案】
(1) $y=-x+40\ (10≤ x≤16)$；
(2) 每天的销售利润$w$关于售价$x$的函数解析式为$w=-x^2+50x-400\ (10≤ x≤16)$，当每件售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的综合应用，解题关键是先根据图象求出销售量的函数表达式，再结合利润公式得到利润的二次函数，求解最值时需注意结合自变量的取值范围和函数增减性判断最值位置，不能直接套用顶点坐标的最值，属于函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 由图象可知y与x是一次函数关系，解题时先采用待定系数法：设一次函数的一般式$y=kx+b(k≠0)$，再将图象上的两个已知点$(10,30)$、$(16,24)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到函数解析式，最后结合题目给出的售价限制（不低于10元/件，不高于16元/件）确定自变量x的取值范围。
(2) 根据“总利润=单件利润×销售量”的公式，单件利润为$(x-10)$元，销售量y是第一问求出的含x的表达式，代入后可得到w关于x的二次函数解析式；再结合二次函数的开口方向、对称轴判断函数的增减性，同时注意自变量x的取值范围，在取值范围内找到使w取最大值的x，计算出最大利润即可，注意本题二次函数的顶点横坐标不在x的取值范围内，不能直接取顶点的最值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为 $y=kx+b$($k≠0$),
将$(10,30),(16,24)$分别代入$y=kx+b$,
得 $\begin{cases}10k+b=30,\\16k+b=24,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=40.\end{cases}$
故 $y$关于$x$的函数解析式为$y=-x+40$，自变量$x$的取值范围为$10≤ x≤16$。
(2) 由题意,得 $w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x^2+50x-400=-(x-25)^2+225$。
$\because-1＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=25$，当 $x＜25$ 时,w 随 x 的增大而增大。
$\because10≤ x≤16＜25$,
$\therefore$ 当 $x=16$ 时,w 取得最大值,最大值为$-(16-25)^2+225=144$。
【答案】
(1) $y=-x+40\ (10≤ x≤16)$；
(2) 每天的销售利润$w$关于售价$x$的函数解析式为$w=-x^2+50x-400\ (10≤ x≤16)$，当每件售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的综合应用，解题关键是先根据图象求出销售量的函数表达式，再结合利润公式得到利润的二次函数，求解最值时需注意结合自变量的取值范围和函数增减性判断最值位置，不能直接套用顶点坐标的最值，属于函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
10.某课外兴趣小组开展了以“销售中的数学”为主题的综合实践活动.
【收集信息】
信息一:某店销售一款冬季手套,每双进价为20元,销售期为30天.
信息二:每双手套当天的售价$ y $(单位:元)与第$ x $天($ 1≤x≤30 $,且$ x $为整数)的关系为
$y=\begin{cases}x+29(1≤x≤10,且x为整数), \\40(11≤x≤30,且x为整数).\end{cases}$
信息三:当天销量$ m $(单位:双)与第$ x $天之间满足一次函数关系,部分数据如下表:
【建立模型】
(1)求$ m $关于$ x $的函数解析式.
(2)设当天的利润为$ w $(单位:元).
①当$ 1≤x≤10 $时,$ w $关于$ x $的函数解析式为
②当$ 11≤x≤30 $时,$ w $关于$ x $的函数解析式为
【应用模型】
(3)销售这款手套第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少元?
【收集信息】
信息一:某店销售一款冬季手套,每双进价为20元,销售期为30天.
信息二:每双手套当天的售价$ y $(单位:元)与第$ x $天($ 1≤x≤30 $,且$ x $为整数)的关系为
$y=\begin{cases}x+29(1≤x≤10,且x为整数), \\40(11≤x≤30,且x为整数).\end{cases}$
信息三:当天销量$ m $(单位:双)与第$ x $天之间满足一次函数关系,部分数据如下表:
【建立模型】
(1)求$ m $关于$ x $的函数解析式.
(2)设当天的利润为$ w $(单位:元).
①当$ 1≤x≤10 $时,$ w $关于$ x $的函数解析式为
$-2x^2+44x+558$
;②当$ 11≤x≤30 $时,$ w $关于$ x $的函数解析式为
$-40x+1\ 240$
.【应用模型】
(3)销售这款手套第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少元?
答案
10.【解】(1)设 m 关于 x 的函数解析式为 $m=kx+b$($k≠0$).
将 $x=1,m=60$ 和 $x=2,m=58$ 分别代入$m=kx+b$,得 $\begin{cases}k+b=60,\\2k+b=58.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=62.\end{cases}$
∴m 关于 x 的函数解析式为 $m=-2x+62$($1≤ x≤30$,且 x 为整数).
(2)①$w=-2x^2+44x+558$
②$w=-40x+1240$
(3)当 $1≤ x≤10$ 时,
$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$.
当 $x＜11$ 时,w 随 x 的增大而增大,
故当 $x=10$ 时,w 取最大值,最大值为 $-2×(10-11)^2+800=798$.
当 $11≤ x≤30$ 时,$w=-40x+1240$,
w 随 x 的增大而减小.
故当 $x=11$ 时,w 取最大值,最大值为 $-40×11+1240=800$.
∵$798＜800$,
∴销售这款手套第 11 天时,当天的利润最大,最大利润是 800 元.
将 $x=1,m=60$ 和 $x=2,m=58$ 分别代入$m=kx+b$,得 $\begin{cases}k+b=60,\\2k+b=58.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=62.\end{cases}$
∴m 关于 x 的函数解析式为 $m=-2x+62$($1≤ x≤30$,且 x 为整数).
(2)①$w=-2x^2+44x+558$
②$w=-40x+1240$
(3)当 $1≤ x≤10$ 时,
$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$.
当 $x＜11$ 时,w 随 x 的增大而增大,
故当 $x=10$ 时,w 取最大值,最大值为 $-2×(10-11)^2+800=798$.
当 $11≤ x≤30$ 时,$w=-40x+1240$,
w 随 x 的增大而减小.
故当 $x=11$ 时,w 取最大值,最大值为 $-40×11+1240=800$.
∵$798＜800$,
∴销售这款手套第 11 天时,当天的利润最大,最大利润是 800 元.
解析
【分析】
(1) 已知销量m是x的一次函数，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式，代入表格中给出的两组x、m对应值，解方程组得到系数，即可得到m关于x的函数解析式，注意标注x的取值范围。
(2) 销售利润=每双手套的利润×当天销量，每双利润为当天售价y减去进价20元，分$1≤x≤10$、$11≤x≤30$两种情况，将对应y的表达式和已求得的m的表达式代入利润公式，化简即可得到两个区间的w关于x的函数解析式。
(3) 分别求两个区间内w的最大值：$1≤x≤10$时w是二次函数，先配方，结合二次函数的增减性和自变量取值范围求最值；$11≤x≤30$时w是一次函数，根据一次函数的增减性求最值，最后比较两个最大值，较大的即为整个销售期的最大利润，对应x即为所求天数。
【解析】
(1) 设m关于x的函数解析式为$m=kx+b$($k≠0$)，
将$x=1,m=60$和$x=2,m=58$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k+b=60\\2k+b=58\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-2\\b=62\end{cases}$
∴m关于x的函数解析式为 $m=-2x+62$（$1≤ x≤30$，且x为整数）。
(2) ① 当$1≤x≤10$时，每双利润为$y-20=(x+29)-20=x+9$，
则$w=(x+9)m=(x+9)(-2x+62)=-2x^2+44x+558$；
② 当$11≤x≤30$时，每双利润为$40-20=20$元，
则$w=20m=20(-2x+62)=-40x+1240$。
(3) 当$1≤ x≤10$时，
$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$，
∵二次项系数$-2＜0$，对称轴为$x=11$，
∴当$x＜11$时，w随x的增大而增大，结合$1≤x≤10$的取值范围，
当$x=10$时，w取最大值，最大值为$-2×(10-11)^2+800=798$元；
当$11≤ x≤30$时，$w=-40x+1240$，
∵一次项系数$-40＜0$，
∴w随x的增大而减小，
故当$x=11$时，w取最大值，最大值为$-40×11+1240=800$元。
∵$798＜800$，
∴销售这款手套第11天时，当天的利润最大。
【答案】
(1) $m=-2x+62$（$1≤ x≤30$，且x为整数）；
(2) ① $w=-2x^2+44x+558$；② $w=-40x+1240$；
(3) 第11天时当天利润最大，最大利润是800元。
【知识点】
待定系数法求解析式；分段函数应用；函数最值求解
【点评】
本题属于销售类的实际应用题，考查了分段函数的构建及最值求解，解题时要注意结合自变量的取值范围，分别分析不同区间内函数的增减性来求最值，避免忽略取值范围直接代入顶点求二次函数最值的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 已知销量m是x的一次函数，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式，代入表格中给出的两组x、m对应值，解方程组得到系数，即可得到m关于x的函数解析式，注意标注x的取值范围。
(2) 销售利润=每双手套的利润×当天销量，每双利润为当天售价y减去进价20元，分$1≤x≤10$、$11≤x≤30$两种情况，将对应y的表达式和已求得的m的表达式代入利润公式，化简即可得到两个区间的w关于x的函数解析式。
(3) 分别求两个区间内w的最大值：$1≤x≤10$时w是二次函数，先配方，结合二次函数的增减性和自变量取值范围求最值；$11≤x≤30$时w是一次函数，根据一次函数的增减性求最值，最后比较两个最大值，较大的即为整个销售期的最大利润，对应x即为所求天数。
【解析】
(1) 设m关于x的函数解析式为$m=kx+b$($k≠0$)，
将$x=1,m=60$和$x=2,m=58$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k+b=60\\2k+b=58\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-2\\b=62\end{cases}$
∴m关于x的函数解析式为 $m=-2x+62$（$1≤ x≤30$，且x为整数）。
(2) ① 当$1≤x≤10$时，每双利润为$y-20=(x+29)-20=x+9$，
则$w=(x+9)m=(x+9)(-2x+62)=-2x^2+44x+558$；
② 当$11≤x≤30$时，每双利润为$40-20=20$元，
则$w=20m=20(-2x+62)=-40x+1240$。
(3) 当$1≤ x≤10$时，
$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$，
∵二次项系数$-2＜0$，对称轴为$x=11$，
∴当$x＜11$时，w随x的增大而增大，结合$1≤x≤10$的取值范围，
当$x=10$时，w取最大值，最大值为$-2×(10-11)^2+800=798$元；
当$11≤ x≤30$时，$w=-40x+1240$，
∵一次项系数$-40＜0$，
∴w随x的增大而减小，
故当$x=11$时，w取最大值，最大值为$-40×11+1240=800$元。
∵$798＜800$，
∴销售这款手套第11天时，当天的利润最大。
【答案】
(1) $m=-2x+62$（$1≤ x≤30$，且x为整数）；
(2) ① $w=-2x^2+44x+558$；② $w=-40x+1240$；
(3) 第11天时当天利润最大，最大利润是800元。
【知识点】
待定系数法求解析式；分段函数应用；函数最值求解
【点评】
本题属于销售类的实际应用题，考查了分段函数的构建及最值求解，解题时要注意结合自变量的取值范围，分别分析不同区间内函数的增减性来求最值，避免忽略取值范围直接代入顶点求二次函数最值的错误。
【难度系数】
0.7
