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6. 某商店购进一批进价为每个50元的日用商品，售价为每个60元时，每星期能卖出120个.若这种日用商品的零售单价不能低于60元，且每上涨1元，则每星期少卖3个.若该地相关部门规定，单个商品利润不能超过成本价的30%，则这种日用商品每星期获得的最大利润为
1 575
元.答案
6. 1 575
解析
【分析】
这是一道销售利润最值问题，解题核心是利用“总利润=单个商品利润×销售量”构建函数关系，再结合自变量的取值范围求最值。首先要根据题干限制条件确定售价的取值范围：一是零售单价不低于60元，二是单个利润不超过成本的30%，据此可算出最高售价；再根据售价和销售量的变化关系列出总利润的函数表达式，最后结合二次函数的增减性在取值范围内求出最大值即可。
【解析】
设该商品的售价为$ t $元，每星期获得的总利润为$ w $元。
1. 确定售价的取值范围：
由单个商品利润不能超过成本价的30%，可得$ t - 50 ≤ 50 × 30\% $，解得$ t ≤ 65 $，结合零售单价不低于60元的要求，得$ 60 ≤ t ≤ 65 $。
2. 表示销售量：
售价为$ t $元时，比60元上涨了$ (t-60) $元，每涨1元少卖3个，因此销售量为$ 120 - 3(t - 60) = 300 - 3t $个。
3. 构建利润函数并求最值：
总利润$ w = (t - 50)(300 - 3t) $，整理得$ w = -3t^2 + 450t - 15000 $。
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为$ t = \frac{450}{2 × 3} = 75 $。
由于取值范围$ 60 ≤ t ≤ 65 $在对称轴左侧，此时$ w $随$ t $的增大而增大，因此当$ t = 65 $时，$ w $取得最大值。
代入计算：$ w_{max} = (65 - 50) × (300 - 3 × 65) = 15 × 105 = 1575 $。
【答案】
1575
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数增减性、利润问题计算
【点评】
本题属于常见的销售类二次函数应用题，解题的易错点是容易忽略题干中的取值限制，直接取二次函数顶点处的值作为最值，需注意最值的计算要结合自变量的实际取值范围判断。
【难度系数】
0.65
这是一道销售利润最值问题，解题核心是利用“总利润=单个商品利润×销售量”构建函数关系，再结合自变量的取值范围求最值。首先要根据题干限制条件确定售价的取值范围：一是零售单价不低于60元，二是单个利润不超过成本的30%，据此可算出最高售价；再根据售价和销售量的变化关系列出总利润的函数表达式，最后结合二次函数的增减性在取值范围内求出最大值即可。
【解析】
设该商品的售价为$ t $元，每星期获得的总利润为$ w $元。
1. 确定售价的取值范围：
由单个商品利润不能超过成本价的30%，可得$ t - 50 ≤ 50 × 30\% $，解得$ t ≤ 65 $，结合零售单价不低于60元的要求，得$ 60 ≤ t ≤ 65 $。
2. 表示销售量：
售价为$ t $元时，比60元上涨了$ (t-60) $元，每涨1元少卖3个，因此销售量为$ 120 - 3(t - 60) = 300 - 3t $个。
3. 构建利润函数并求最值：
总利润$ w = (t - 50)(300 - 3t) $，整理得$ w = -3t^2 + 450t - 15000 $。
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为$ t = \frac{450}{2 × 3} = 75 $。
由于取值范围$ 60 ≤ t ≤ 65 $在对称轴左侧，此时$ w $随$ t $的增大而增大，因此当$ t = 65 $时，$ w $取得最大值。
代入计算：$ w_{max} = (65 - 50) × (300 - 3 × 65) = 15 × 105 = 1575 $。
【答案】
1575
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数增减性、利润问题计算
【点评】
本题属于常见的销售类二次函数应用题，解题的易错点是容易忽略题干中的取值限制，直接取二次函数顶点处的值作为最值，需注意最值的计算要结合自变量的实际取值范围判断。
【难度系数】
0.65
7. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）满足一次函数关系，销售这种文具每天的利润为w（单位：元），部分数据如下表所示。
(1)直接写出y关于x、w关于x的函数解析式。
(2)若该超市销售这种文具每天的利润为192元，则销售单价为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
(1)直接写出y关于x、w关于x的函数解析式。
(2)若该超市销售这种文具每天的利润为192元，则销售单价为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
答案
7.【解】(1)$y=-2x+60(10≤ x≤19)$,
$w=-2x^2+80x-600(10≤ x≤19)$.
(2)根据题意,列得方程$-2x^2+80x-600=192$.
解得 $x_1=18,x_2=22$.
∵该文具的销售单价不低于进价且不高于19元,
∴$x=18$.
故这种文具的销售单价为 18 元.
(3)
∵$w=-2x^2+80x-600$,
即 $w=-2(x-20)^2+200$.
∴当 $x＜20$ 时,w 随 x 的增大而增大.
∵$10≤ x≤19$,
∴当 $x=19$ 时,w 取最大值,最大值为 $-2×(19-20)^2+200=198$.
故当销售单价为 19 元时,每天的利润最大,最大利润是 198 元.
$w=-2x^2+80x-600(10≤ x≤19)$.
(2)根据题意,列得方程$-2x^2+80x-600=192$.
解得 $x_1=18,x_2=22$.
∵该文具的销售单价不低于进价且不高于19元,
∴$x=18$.
故这种文具的销售单价为 18 元.
(3)
∵$w=-2x^2+80x-600$,
即 $w=-2(x-20)^2+200$.
∴当 $x＜20$ 时,w 随 x 的增大而增大.
∵$10≤ x≤19$,
∴当 $x=19$ 时,w 取最大值,最大值为 $-2×(19-20)^2+200=198$.
故当销售单价为 19 元时,每天的利润最大,最大利润是 198 元.
解析
【分析】
(1) 已知y与x满足一次函数关系，先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格中两组x、y的对应值代入，解二元一次方程组求出k、b，即可得到y关于x的解析式，注意结合题意确定x的取值范围；再根据“总利润=单件利润×销售数量”，单件利润为$(x-10)$元，乘以销量y，整理后就能得到w关于x的二次函数解析式。
(2) 令$w=192$，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x的解后，结合x的取值范围筛选出符合题意的解即可。
(3) 先将w的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的增减性，再匹配x的取值范围，找到取值范围内使w最大的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 设$y=kx+b(k≠0)$，将$\{\begin{array}{l}x=12,y=36\\x=13,y=34\end{array} $代入得：
$\begin{cases}12k+b=36\\13k+b=34\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=60\end{cases}$
结合销售单价的限制，得y关于x的函数解析式为$\boldsymbol{y=-2x+60(10≤x≤19)}$
由总利润公式得：
$w=(x-10)y=(x-10)(-2x+60)$
整理得w关于x的函数解析式为$\boldsymbol{w=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)}$
(2) 当每天利润为192元时，列方程：
$-2x^2+80x-600=192$
化简得$x^2-40x+396=0$，解得$x_1=18,x_2=22$
∵销售单价满足$10≤x≤19$，
∴$x=22$不符合题意舍去，即$x=18$。
(3) 将w的解析式配方得：
$w=-2x^2+80x-600=-2(x-20)^2+200$
∵二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，当$x＜20$时，w随x的增大而增大
又
∵$10≤x≤19$，
∴当$x=19$时，w取最大值
最大值为$w=-2×(19-20)^2+200=198$。
【答案】
(1)$y=-2x+60(10≤x≤19)$，$w=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)$
(2)18元
(3)当销售单价为19元时，每天的利润最大，最大利润是198元
【知识点】
一次函数解析式求解，一元二次方程的应用，二次函数最值问题
【点评】
本题是销售利润类的典型应用题，综合考查了一次函数、一元二次方程和二次函数的核心知识，解题时要注意结合实际问题中自变量的取值范围筛选结果，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y与x满足一次函数关系，先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格中两组x、y的对应值代入，解二元一次方程组求出k、b，即可得到y关于x的解析式，注意结合题意确定x的取值范围；再根据“总利润=单件利润×销售数量”，单件利润为$(x-10)$元，乘以销量y，整理后就能得到w关于x的二次函数解析式。
(2) 令$w=192$，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x的解后，结合x的取值范围筛选出符合题意的解即可。
(3) 先将w的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的增减性，再匹配x的取值范围，找到取值范围内使w最大的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 设$y=kx+b(k≠0)$，将$\{\begin{array}{l}x=12,y=36\\x=13,y=34\end{array} $代入得：
$\begin{cases}12k+b=36\\13k+b=34\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=60\end{cases}$
结合销售单价的限制，得y关于x的函数解析式为$\boldsymbol{y=-2x+60(10≤x≤19)}$
由总利润公式得：
$w=(x-10)y=(x-10)(-2x+60)$
整理得w关于x的函数解析式为$\boldsymbol{w=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)}$
(2) 当每天利润为192元时，列方程：
$-2x^2+80x-600=192$
化简得$x^2-40x+396=0$，解得$x_1=18,x_2=22$
∵销售单价满足$10≤x≤19$，
∴$x=22$不符合题意舍去，即$x=18$。
(3) 将w的解析式配方得：
$w=-2x^2+80x-600=-2(x-20)^2+200$
∵二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，当$x＜20$时，w随x的增大而增大
又
∵$10≤x≤19$，
∴当$x=19$时，w取最大值
最大值为$w=-2×(19-20)^2+200=198$。
【答案】
(1)$y=-2x+60(10≤x≤19)$，$w=-2x^2+80x-600(10≤x≤19)$
(2)18元
(3)当销售单价为19元时，每天的利润最大，最大利润是198元
【知识点】
一次函数解析式求解，一元二次方程的应用，二次函数最值问题
【点评】
本题是销售利润类的典型应用题，综合考查了一次函数、一元二次方程和二次函数的核心知识，解题时要注意结合实际问题中自变量的取值范围筛选结果，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
8.某地计划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示.已知$AB=41\ \mathrm{m}$，$AD=30\ \mathrm{m}$，阴影部分为车位区域，其余部分均是宽度为$x\ \mathrm{m}$的车道.已知车位区域的面积为$630\ \mathrm{m}^2$.
(1)求车道的宽度.
(2)该停车场共有36个车位，据市场调查分析，当每个车位日租金为10元时，可全部停满；每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位.当每个车位日租金上涨多少元时，停车场的日租金收入最高？最高日租金收入是多少元？
(1)求车道的宽度.
(2)该停车场共有36个车位，据市场调查分析，当每个车位日租金为10元时，可全部停满；每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位.当每个车位日租金上涨多少元时，停车场的日租金收入最高？最高日租金收入是多少元？
答案
8.【解】(1)根据题意,列得方程$(41-x)(30-2x)=630$.
解得 $x_1=6,x_2=50$(不合题意,舍去).
故车道的宽度为 6 m.
(2)设每个车位日租金上涨 a 元,停车场日租金收入为 y 元,则每个车位的日租金为$(10+a)$元,租出车位$(36-2a)$个.
根据题意,得 $y=(10+a)(36-2a)$.
即 $y=-2a^2+16a+360=-2(a-4)^2+392$.
∴当 $a=4$ 时,y 取最大值,最大值为 392.
故每个车位日租金上涨 4 元时,停车场的日租金收入最高,最高日租金收入为 392 元.
解得 $x_1=6,x_2=50$(不合题意,舍去).
故车道的宽度为 6 m.
(2)设每个车位日租金上涨 a 元,停车场日租金收入为 y 元,则每个车位的日租金为$(10+a)$元,租出车位$(36-2a)$个.
根据题意,得 $y=(10+a)(36-2a)$.
即 $y=-2a^2+16a+360=-2(a-4)^2+392$.
∴当 $a=4$ 时,y 取最大值,最大值为 392.
故每个车位日租金上涨 4 元时,停车场的日租金收入最高,最高日租金收入为 392 元.
解析
【分析】
（1）第一问可通过平移阴影车位区域，将分散的阴影拼接为一个完整矩形：拼接后矩形的长为原矩形AB的长度减去1个车道宽度x，即$(41-x)\mathrm{m}$；宽为原矩形AD的长度减去2个车道宽度x，即$(30-2x)\mathrm{m}$。再结合已知的车位区域面积列一元二次方程求解，最后根据实际意义舍去不符合要求的解即可。
（2）第二问先设日租金上涨a元，日租金收入为y元：分别表示出上涨后单个车位的日租金、可租出的车位数量，根据“日租金收入=单个车位日租金×租出车位数量”列出函数关系式，将函数整理为顶点式，结合二次函数的开口方向即可求出最大值，注意要验证最值对应的自变量符合实际取值要求。
【解析】
(1) 由题意，拼接后的阴影矩形长为$(41-x)\mathrm{m}$，宽为$(30-2x)\mathrm{m}$，根据车位面积为$630\ \mathrm{m}^2$列方程：
$(41-x)(30-2x)=630$
整理得$x^2-56x+300=0$，因式分解得$(x-6)(x-50)=0$，
解得 $x_1=6$，$x_2=50$。
∵车道宽度需满足$x＜30$，因此$x_2=50$不符合实际，舍去。
故车道的宽度为6m。
(2) 设每个车位日租金上涨a元，停车场日租金收入为y元。
此时单个车位日租金为$(10+a)$元，可租出车位$(36-2a)$个，其中$36-2a≥0$即$a≤18$。
根据题意列函数关系式：
$y=(10+a)(36-2a)$
整理配方为顶点式：
$y=-2a^2+16a+360=-2(a-4)^2+392$
∵二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，且$a=4$满足$a≤18$，
∴当$a=4$时，y取得最大值，最大值为392元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$
(2) 上涨$\boldsymbol{4}$元时收入最高，最高日租金收入为$\boldsymbol{392}$元
【知识点】
一元二次方程的实际应用；二次函数的最值应用；矩形面积计算
【点评】
本题结合停车场建设的实际场景，同时考查了几何面积类一元二次方程求解、利润类二次函数最值计算两类常考题型，解题时需注意结合实际情况舍去不合题意的解，整体难度适中，贴近生活应用。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可通过平移阴影车位区域，将分散的阴影拼接为一个完整矩形：拼接后矩形的长为原矩形AB的长度减去1个车道宽度x，即$(41-x)\mathrm{m}$；宽为原矩形AD的长度减去2个车道宽度x，即$(30-2x)\mathrm{m}$。再结合已知的车位区域面积列一元二次方程求解，最后根据实际意义舍去不符合要求的解即可。
（2）第二问先设日租金上涨a元，日租金收入为y元：分别表示出上涨后单个车位的日租金、可租出的车位数量，根据“日租金收入=单个车位日租金×租出车位数量”列出函数关系式，将函数整理为顶点式，结合二次函数的开口方向即可求出最大值，注意要验证最值对应的自变量符合实际取值要求。
【解析】
(1) 由题意，拼接后的阴影矩形长为$(41-x)\mathrm{m}$，宽为$(30-2x)\mathrm{m}$，根据车位面积为$630\ \mathrm{m}^2$列方程：
$(41-x)(30-2x)=630$
整理得$x^2-56x+300=0$，因式分解得$(x-6)(x-50)=0$，
解得 $x_1=6$，$x_2=50$。
∵车道宽度需满足$x＜30$，因此$x_2=50$不符合实际，舍去。
故车道的宽度为6m。
(2) 设每个车位日租金上涨a元，停车场日租金收入为y元。
此时单个车位日租金为$(10+a)$元，可租出车位$(36-2a)$个，其中$36-2a≥0$即$a≤18$。
根据题意列函数关系式：
$y=(10+a)(36-2a)$
整理配方为顶点式：
$y=-2a^2+16a+360=-2(a-4)^2+392$
∵二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，且$a=4$满足$a≤18$，
∴当$a=4$时，y取得最大值，最大值为392元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$
(2) 上涨$\boldsymbol{4}$元时收入最高，最高日租金收入为$\boldsymbol{392}$元
【知识点】
一元二次方程的实际应用；二次函数的最值应用；矩形面积计算
【点评】
本题结合停车场建设的实际场景，同时考查了几何面积类一元二次方程求解、利润类二次函数最值计算两类常考题型，解题时需注意结合实际情况舍去不合题意的解，整体难度适中，贴近生活应用。
【难度系数】
0.7
