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【典型例题2】如图,一名运动员将篮球从点A处抛出,点A到地面的距离$OA=2\ \mathrm{m}$,篮球的运动路线是抛物线的一部分,当篮球运动的水平距离$OB$为$4\ \mathrm{m}$时,达到最大高度$3.6\ \mathrm{m}$.以$O$为原点,$OA$所在直线为$y$轴,$OB$所在直线为$x$轴,建立平面直角坐标系.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)当篮球运动的水平距离为$5\ \mathrm{m}$时,竖直高度$y$满足$3.2\ \mathrm{m} ≤ y ≤ 3.5\ \mathrm{m}$,此时视为有效投篮,请你通过计算说明该运动员此次投篮是不是有效投篮.
【解】(1)设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$.
把$(0,2)$代入$y=a(x-4)^2+3.6$,得$2=16a+3.6$.
解得$a=-0.1$.
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$.
(2)把$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$,得$y=-0.1 × (5-4)^2 +3.6=3.5$.
∴该运动员此次投篮是有效投篮.
规律方法 解决二次函数的实际应用问题时,首先结合二次函数的图象确定关键点的坐标,进而使用待定系数法求出函数解析式,最后利用函数的图象和性质解决问题.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)当篮球运动的水平距离为$5\ \mathrm{m}$时,竖直高度$y$满足$3.2\ \mathrm{m} ≤ y ≤ 3.5\ \mathrm{m}$,此时视为有效投篮,请你通过计算说明该运动员此次投篮是不是有效投篮.
【解】(1)设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$.
把$(0,2)$代入$y=a(x-4)^2+3.6$,得$2=16a+3.6$.
解得$a=-0.1$.
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$.
(2)把$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$,得$y=-0.1 × (5-4)^2 +3.6=3.5$.
∴该运动员此次投篮是有效投篮.
规律方法 解决二次函数的实际应用问题时,首先结合二次函数的图象确定关键点的坐标,进而使用待定系数法求出函数解析式,最后利用函数的图象和性质解决问题.
答案
1. (1) 设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$，把$(0,2)$代入$y=a(x-4)^2+3.6$，得$2=16a+3.6$，解得$a=-0.1$，因此该抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$。
(2) 把$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$，得$y=-0.1 × (5-4)^2 +3.6=3.5$，满足$3.2\ \mathrm{m} ≤ y ≤ 3.5\ \mathrm{m}$，因此该运动员此次投篮是有效投篮。
(2) 把$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$，得$y=-0.1 × (5-4)^2 +3.6=3.5$，满足$3.2\ \mathrm{m} ≤ y ≤ 3.5\ \mathrm{m}$，因此该运动员此次投篮是有效投篮。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，因此选用顶点式设二次函数解析式更简便，设解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$，再将点$A(0,2)$代入解析式即可求出参数$a$的值，得到抛物线的函数解析式。
(2) 要判断是否为有效投篮，只需将水平距离$x=5$代入已求出的抛物线解析式，计算出对应的竖直高度$y$，再判断$y$是否在$3.2\ \mathrm{m} ≤ y ≤ 3.5\ \mathrm{m}$的范围内即可。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$（$a≠0$）。
将点$A(0,2)$代入解析式，得：
$2=a(0-4)^2+3.6$
即$2=16a+3.6$
解得$a=-0.1$
因此该抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$。
(2) 当篮球运动的水平距离为$5\ \mathrm{m}$时，即$x=5$，将$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$，得：
$y=-0.1 × (5-4)^2 +3.6=3.5$
因为$3.2 ≤ 3.5 ≤ 3.5$，符合有效投篮的高度要求，因此该运动员此次投篮是有效投篮。
【答案】
(1) $y=-0.1(x-4)^2+3.6$
(2) 该运动员此次投篮是有效投篮。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数求值
【点评】
本题以投篮问题为背景考查二次函数的应用，解题的核心是结合已知顶点坐标选用顶点式求解函数解析式，再通过代入自变量计算对应的函数值解决实际判断问题，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，因此选用顶点式设二次函数解析式更简便，设解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$，再将点$A(0,2)$代入解析式即可求出参数$a$的值，得到抛物线的函数解析式。
(2) 要判断是否为有效投篮，只需将水平距离$x=5$代入已求出的抛物线解析式，计算出对应的竖直高度$y$，再判断$y$是否在$3.2\ \mathrm{m} ≤ y ≤ 3.5\ \mathrm{m}$的范围内即可。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-4)^2+3.6$（$a≠0$）。
将点$A(0,2)$代入解析式，得：
$2=a(0-4)^2+3.6$
即$2=16a+3.6$
解得$a=-0.1$
因此该抛物线对应的函数解析式为$y=-0.1(x-4)^2+3.6$。
(2) 当篮球运动的水平距离为$5\ \mathrm{m}$时，即$x=5$，将$x=5$代入$y=-0.1(x-4)^2+3.6$，得：
$y=-0.1 × (5-4)^2 +3.6=3.5$
因为$3.2 ≤ 3.5 ≤ 3.5$，符合有效投篮的高度要求，因此该运动员此次投篮是有效投篮。
【答案】
(1) $y=-0.1(x-4)^2+3.6$
(2) 该运动员此次投篮是有效投篮。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数求值
【点评】
本题以投篮问题为背景考查二次函数的应用，解题的核心是结合已知顶点坐标选用顶点式求解函数解析式，再通过代入自变量计算对应的函数值解决实际判断问题，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
【即学即练】
2. 从喷灌器喷水口喷出的水柱呈抛物线形.某家庭喷灌器OA喷水时的截面示意图如图所示,喷水口点A离地高度为0.25 m(即OA=0.25 m),喷出的水柱在离喷水口水平距离为2 m处达到最大高度,最大高度为0.45 m,以喷灌器OA(与地面垂直)所在直线为y轴,水柱落地点与点O所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式.
(2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处,求喷灌器OA到围墙的距离OB的长.
2. 从喷灌器喷水口喷出的水柱呈抛物线形.某家庭喷灌器OA喷水时的截面示意图如图所示,喷水口点A离地高度为0.25 m(即OA=0.25 m),喷出的水柱在离喷水口水平距离为2 m处达到最大高度,最大高度为0.45 m,以喷灌器OA(与地面垂直)所在直线为y轴,水柱落地点与点O所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式.
(2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处,求喷灌器OA到围墙的距离OB的长.
答案
2. (1) 设喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+0.45$.
把$x=0,y=0.25$代入$y=a(x-2)^2+0.45$,得$4a+0.45=0.25$.
解得$a=-\frac{1}{20}$.
∴喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$.
(2) 把$y=0$代入$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$,列得方程$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$.
解得$x_1=5,x_2=-1$(不合题意,舍去).
∴点B的坐标为$(5,0)$.
∴$OB=5$.
把$x=0,y=0.25$代入$y=a(x-2)^2+0.45$,得$4a+0.45=0.25$.
解得$a=-\frac{1}{20}$.
∴喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$.
(2) 把$y=0$代入$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$,列得方程$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$.
解得$x_1=5,x_2=-1$(不合题意,舍去).
∴点B的坐标为$(5,0)$.
∴$OB=5$.
解析
【分析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(2,0.45)$，因此选用顶点式设抛物线解析式更简便，已知喷水口A的坐标为$(0,0.25)$，将其代入所设解析式即可求出未知系数$a$，进而得到抛物线的函数解析式。
(2) 水柱落在地面B点时纵坐标$y=0$，将$y=0$代入第一问求出的解析式中，解一元二次方程得到$x$的取值，结合实际意义舍去不符合要求的负解，所得正的$x$值就是OB的长度。
【解析】
(1) 设喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+0.45$。
把$x=0,y=0.25$代入$y=a(x-2)^2+0.45$，得$4a+0.45=0.25$。
解得$a=-\frac{1}{20}$。
∴喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$。
(2) 把$y=0$代入$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$，列得方程$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$。
解得$x_1=5,x_2=-1$(不合题意，舍去)。
∴点B的坐标为$(5,0)$，即$OB=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$
(2) $5\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是结合题干给出的顶点信息选择合适的解析式形式，求解后要注意结合实际场景对解进行取舍，能有效考察学生对二次函数基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(2,0.45)$，因此选用顶点式设抛物线解析式更简便，已知喷水口A的坐标为$(0,0.25)$，将其代入所设解析式即可求出未知系数$a$，进而得到抛物线的函数解析式。
(2) 水柱落在地面B点时纵坐标$y=0$，将$y=0$代入第一问求出的解析式中，解一元二次方程得到$x$的取值，结合实际意义舍去不符合要求的负解，所得正的$x$值就是OB的长度。
【解析】
(1) 设喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+0.45$。
把$x=0,y=0.25$代入$y=a(x-2)^2+0.45$，得$4a+0.45=0.25$。
解得$a=-\frac{1}{20}$。
∴喷出的水柱所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$。
(2) 把$y=0$代入$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$，列得方程$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$。
解得$x_1=5,x_2=-1$(不合题意，舍去)。
∴点B的坐标为$(5,0)$，即$OB=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$
(2) $5\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是结合题干给出的顶点信息选择合适的解析式形式，求解后要注意结合实际场景对解进行取舍，能有效考察学生对二次函数基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
