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1. 如图，某建筑物有一道抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度(OE的长)，他先测出门的宽度$AB=8\ \mathrm{m}$，然后用一根长$2.4\ \mathrm{m}$的竹竿$CD$竖直地同时接触地面和门的内壁，并测得$AC=2\ \mathrm{m}$，则门高$OE$为（
A.3.2 m
B.3.3 m
C.3.5 m
D.4 m
A
）A.3.2 m
B.3.3 m
C.3.5 m
D.4 m
答案
1. A
解析
【分析】
这是二次函数解决实际问题的题型，解题思路如下：1. 结合题目给出的平面直角坐标系，利用抛物线的对称性确定各已知点的坐标：抛物线关于y轴对称，门宽AB=8m，因此可先求出A、B点坐标；再根据AC=2m、竹竿高CD=2.4m，求出D点坐标。2. 由于抛物线对称轴是y轴，可设解析式为$y=ax^2+c$，简化计算。3. 将两个已知点坐标代入解析式，解方程组求出c的值，c就是x=0时的y值，也就是门高OE的长度。
【解析】
解：由题意可知抛物线关于y轴对称，
∵$AB=8\ \mathrm{m}$，
∴$OA=OB=4\ \mathrm{m}$，即点B坐标为$(4, 0)$，
∵$AC=2\ \mathrm{m}$，
∴$OC=OA-AC=4-2=2\ \mathrm{m}$，又$CD=2.4\ \mathrm{m}$，
∴点D的坐标为$(-2, 2.4)$，
设抛物线的解析式为$ y=ax^2+c $（$ a≠0 $），
将$B(4, 0)$、$D(-2, 2.4)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\4a + c = 2.4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$ 12a = -2.4 $，解得$ a=-0.2 $，
将$ a=-0.2 $代入$ 4a + c=2.4 $，得：$ 4×(-0.2)+c=2.4 $，解得$ c=3.2 $，
当x=0时，$ y=c=3.2 $，即门高OE为3.2m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题的核心是结合坐标系的特点简化解析式的设定，准确找到已知点的坐标后代入求解即可，考查了学生将实际问题转化为数学函数问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是二次函数解决实际问题的题型，解题思路如下：1. 结合题目给出的平面直角坐标系，利用抛物线的对称性确定各已知点的坐标：抛物线关于y轴对称，门宽AB=8m，因此可先求出A、B点坐标；再根据AC=2m、竹竿高CD=2.4m，求出D点坐标。2. 由于抛物线对称轴是y轴，可设解析式为$y=ax^2+c$，简化计算。3. 将两个已知点坐标代入解析式，解方程组求出c的值，c就是x=0时的y值，也就是门高OE的长度。
【解析】
解：由题意可知抛物线关于y轴对称，
∵$AB=8\ \mathrm{m}$，
∴$OA=OB=4\ \mathrm{m}$，即点B坐标为$(4, 0)$，
∵$AC=2\ \mathrm{m}$，
∴$OC=OA-AC=4-2=2\ \mathrm{m}$，又$CD=2.4\ \mathrm{m}$，
∴点D的坐标为$(-2, 2.4)$，
设抛物线的解析式为$ y=ax^2+c $（$ a≠0 $），
将$B(4, 0)$、$D(-2, 2.4)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\4a + c = 2.4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$ 12a = -2.4 $，解得$ a=-0.2 $，
将$ a=-0.2 $代入$ 4a + c=2.4 $，得：$ 4×(-0.2)+c=2.4 $，解得$ c=3.2 $，
当x=0时，$ y=c=3.2 $，即门高OE为3.2m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题的核心是结合坐标系的特点简化解析式的设定，准确找到已知点的坐标后代入求解即可，考查了学生将实际问题转化为数学函数问题的能力。
【难度系数】
0.7
2.某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是
0.8
s.答案
2. 0.8
解析
【分析】
首先，足球的飞行高度h与飞行时间t满足二次函数关系，二次函数的图象为抛物线，具有对称性，高度相等的两个点关于抛物线的对称轴对称。该抛物线开口向下，顶点对应足球飞行的最高点，顶点的横坐标就是足球到达最高点的时间，即抛物线对称轴对应的t值。已知t=0.5s和t=1.1s时h相等，这两个点是抛物线上的对称点，计算两个t的平均值即可得到对称轴对应的t值，也就是所求的最高点时间。
【解析】
∵ 足球的高度h是飞行时间t的二次函数，其图象为开口向下的抛物线，抛物线上高度相同的两个点关于抛物线的对称轴对称，且抛物线的顶点（最高点）在对称轴上。
由图象可知，当t=0.5s和t=1.1s时，h均为2.75m，即这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为：$ t=\frac{0.5+1.1}{2}=0.8(\mathrm{s}) $
即足球到达最高点所需的时间是0.8s。
【答案】
0.8
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数的实际应用，不需要求解二次函数解析式，利用二次函数的对称性即可快速解题，解题关键是找到抛物线上高度相等的两个对称点，通过对称点横坐标的平均数确定对称轴。
【难度系数】
0.7
首先，足球的飞行高度h与飞行时间t满足二次函数关系，二次函数的图象为抛物线，具有对称性，高度相等的两个点关于抛物线的对称轴对称。该抛物线开口向下，顶点对应足球飞行的最高点，顶点的横坐标就是足球到达最高点的时间，即抛物线对称轴对应的t值。已知t=0.5s和t=1.1s时h相等，这两个点是抛物线上的对称点，计算两个t的平均值即可得到对称轴对应的t值，也就是所求的最高点时间。
【解析】
∵ 足球的高度h是飞行时间t的二次函数，其图象为开口向下的抛物线，抛物线上高度相同的两个点关于抛物线的对称轴对称，且抛物线的顶点（最高点）在对称轴上。
由图象可知，当t=0.5s和t=1.1s时，h均为2.75m，即这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为：$ t=\frac{0.5+1.1}{2}=0.8(\mathrm{s}) $
即足球到达最高点所需的时间是0.8s。
【答案】
0.8
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数的实际应用，不需要求解二次函数解析式，利用二次函数的对称性即可快速解题，解题关键是找到抛物线上高度相等的两个对称点，通过对称点横坐标的平均数确定对称轴。
【难度系数】
0.7
3.某音乐喷泉的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系如图所示，点A为出水口，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为D，OA=2 m.若BD=6 m，OD=2 m，则OC的长为
($\sqrt{6}+2$)m
。答案
3. $(\sqrt{6}+2)\mathrm{m}$
解析
【分析】
这是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：第一步先根据题干给出的线段长度确定已知点的坐标：OA=2m说明出水口A的坐标是(0,2)，最高点B到x轴的距离BD=6m，水平距离OD=2m，所以顶点B的坐标为(2,6)；第二步因为已知抛物线顶点坐标，所以选择设二次函数的顶点式，代入A点坐标求出解析式的未知系数a；第三步落地点C在x轴上，对应y=0，令解析式中y=0，解一元二次方程取正根，得到的x值就是OC的长度。
【解析】
根据题意可得：
点A坐标为$(0, 2)$，抛物线顶点B坐标为$(2, 6)$
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-2)^2+6$（$a≠0$）
将$A(0,2)$代入解析式：
$2=a(0-2)^2+6$
$2=4a+6$
解得：$a=-1$
所以抛物线解析式为：$y=-(x-2)^2+6$
落地点C在x轴上，即$y=0$，代入解析式得：
$0=-(x-2)^2+6$
整理得：$(x-2)^2=6$
解得：$x_1=2+\sqrt{6}$，$x_2=2-\sqrt{6}$（不符合实际，舍去）
即OC的长为$(\sqrt{6}+2)\mathrm{m}$。
【答案】
$(\sqrt{6}+2)\mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数顶点式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合喷泉的实际场景考查二次函数的相关应用，解题核心是准确提取图中和题干的坐标信息，选择合适的解析式形式求解，再通过解方程得到落地点坐标，是二次函数应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：第一步先根据题干给出的线段长度确定已知点的坐标：OA=2m说明出水口A的坐标是(0,2)，最高点B到x轴的距离BD=6m，水平距离OD=2m，所以顶点B的坐标为(2,6)；第二步因为已知抛物线顶点坐标，所以选择设二次函数的顶点式，代入A点坐标求出解析式的未知系数a；第三步落地点C在x轴上，对应y=0，令解析式中y=0，解一元二次方程取正根，得到的x值就是OC的长度。
【解析】
根据题意可得：
点A坐标为$(0, 2)$，抛物线顶点B坐标为$(2, 6)$
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-2)^2+6$（$a≠0$）
将$A(0,2)$代入解析式：
$2=a(0-2)^2+6$
$2=4a+6$
解得：$a=-1$
所以抛物线解析式为：$y=-(x-2)^2+6$
落地点C在x轴上，即$y=0$，代入解析式得：
$0=-(x-2)^2+6$
整理得：$(x-2)^2=6$
解得：$x_1=2+\sqrt{6}$，$x_2=2-\sqrt{6}$（不符合实际，舍去）
即OC的长为$(\sqrt{6}+2)\mathrm{m}$。
【答案】
$(\sqrt{6}+2)\mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数顶点式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合喷泉的实际场景考查二次函数的相关应用，解题核心是准确提取图中和题干的坐标信息，选择合适的解析式形式求解，再通过解方程得到落地点坐标，是二次函数应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，正常水位时，抛物线形拱桥（拱桥顶记作点O）下的水面宽度AB＝20 m，水面上升3 m达到警戒水位时，桥下水面宽度CD＝10 m.
(1)请你建立恰当的平面直角坐标系，求出这个拱桥所在的抛物线对应的函数解析式.
(2)如果水位以0.2 m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥将被淹没？
(1)请你建立恰当的平面直角坐标系，求出这个拱桥所在的抛物线对应的函数解析式.
(2)如果水位以0.2 m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥将被淹没？
答案
4.【解】(1)建立的平面直角坐标系如图所示。
设拱桥所在的抛物线对应的函数解析式为 $y=ax^2+c\ (a≠0)$。
根据题意,得 $A(-10,0),C(-5,3)$。
$\therefore \begin{cases}100a + c = 0,\\25a + c = 3.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-\dfrac{1}{25},\\c=4.\end{cases}$
$\therefore$ 拱桥所在的抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{25}x^2+4$。
(2)把 $x=0$ 代入 $y=-\dfrac{1}{25}x^2+4,$ 得 $y=4$。
$\therefore O(0,4)$。
$\because (4-3)÷0.2=5(\mathrm{h}),$
$\therefore$ 达到警戒水位后,再过 5 h 此桥将被淹没。
(建立的平面直角坐标系和拱桥所在的抛物线对应的函数解析式不唯一,第(2)问答案唯一)
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式优先选择便于计算的坐标系：由于拱桥抛物线关于过顶点O的竖直线对称，因此将该对称轴设为y轴，正常水位AB所在直线设为x轴建立坐标系，此时抛物线顶点在y轴上，解析式可设为不含一次项的$y=ax^2+c\ (a≠0)$，能简化计算。再根据AB=20m、CD=10m、水位上升3m到警戒水位的条件，确定点$A(-10,0)$、点$C(-5,3)$的坐标，代入解析式得到关于a、c的二元一次方程组，求解即可得到函数解析式。
(2) 桥被淹没即水位上涨到桥顶O的位置，首先将$x=0$代入解析式求出桥顶的纵坐标，得到桥顶到正常水位的高度，再减去警戒水位的高度得到需要上涨的高度差，用高度差除以水位上涨速度即可得到所需时间。
【解析】
(1) 建立平面直角坐标系如图所示：
∵抛物线顶点在y轴上，
∴设拱桥所在抛物线的函数解析式为 $y=ax^2+c\ (a≠0)$。
由题意得：正常水位水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，故A点坐标为$(-10,0)$；水面上升3m到警戒水位时水面宽度$CD=10\ \mathrm{m}$，故C点坐标为$(-5,3)$。
将A、C两点坐标代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}100a + c = 0\\25a + c = 3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去c，得$75a=-3$，解得$a=-\dfrac{1}{25}$，
将$a=-\dfrac{1}{25}$代入$100a + c = 0$，解得$c=4$。
因此拱桥所在抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{25}x^2+4$。
(2) 桥顶O为抛物线顶点，将$x=0$代入解析式，得$y=-\dfrac{1}{25}×0^2+4=4$，即桥顶到正常水位的高度为4m。
警戒水位比正常水位高3m，因此警戒水位到桥顶的高度差为$4-3=1\ \mathrm{m}$。
已知水位上涨速度为$0.2\ \mathrm{m/h}$，则所需时间为$1÷0.2=5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 建立的平面直角坐标系如图所示，抛物线对应的函数解析式为 $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{25}x^2+4}$（坐标系建立方式不唯一，解析式对应合理即可）；
(2) 达到警戒水位后，再过 $\boldsymbol{5\ \mathrm{h}}$ 此桥将被淹没。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；代数式求值
【点评】
本题结合拱桥水位变化的生活场景考查二次函数的实际应用，核心是通过建立合适的平面直角坐标系简化计算，解题时需准确提取题目中的长度、高度信息转化为对应点的坐标，再结合函数性质求解，是二次函数应用类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式优先选择便于计算的坐标系：由于拱桥抛物线关于过顶点O的竖直线对称，因此将该对称轴设为y轴，正常水位AB所在直线设为x轴建立坐标系，此时抛物线顶点在y轴上，解析式可设为不含一次项的$y=ax^2+c\ (a≠0)$，能简化计算。再根据AB=20m、CD=10m、水位上升3m到警戒水位的条件，确定点$A(-10,0)$、点$C(-5,3)$的坐标，代入解析式得到关于a、c的二元一次方程组，求解即可得到函数解析式。
(2) 桥被淹没即水位上涨到桥顶O的位置，首先将$x=0$代入解析式求出桥顶的纵坐标，得到桥顶到正常水位的高度，再减去警戒水位的高度得到需要上涨的高度差，用高度差除以水位上涨速度即可得到所需时间。
【解析】
(1) 建立平面直角坐标系如图所示
：∵抛物线顶点在y轴上，
∴设拱桥所在抛物线的函数解析式为 $y=ax^2+c\ (a≠0)$。
由题意得：正常水位水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，故A点坐标为$(-10,0)$；水面上升3m到警戒水位时水面宽度$CD=10\ \mathrm{m}$，故C点坐标为$(-5,3)$。
将A、C两点坐标代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}100a + c = 0\\25a + c = 3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去c，得$75a=-3$，解得$a=-\dfrac{1}{25}$，
将$a=-\dfrac{1}{25}$代入$100a + c = 0$，解得$c=4$。
因此拱桥所在抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{25}x^2+4$。
(2) 桥顶O为抛物线顶点，将$x=0$代入解析式，得$y=-\dfrac{1}{25}×0^2+4=4$，即桥顶到正常水位的高度为4m。
警戒水位比正常水位高3m，因此警戒水位到桥顶的高度差为$4-3=1\ \mathrm{m}$。
已知水位上涨速度为$0.2\ \mathrm{m/h}$，则所需时间为$1÷0.2=5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 建立的平面直角坐标系如图所示
，抛物线对应的函数解析式为 $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{25}x^2+4}$（坐标系建立方式不唯一，解析式对应合理即可）；(2) 达到警戒水位后，再过 $\boldsymbol{5\ \mathrm{h}}$ 此桥将被淹没。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；代数式求值
【点评】
本题结合拱桥水位变化的生活场景考查二次函数的实际应用，核心是通过建立合适的平面直角坐标系简化计算，解题时需准确提取题目中的长度、高度信息转化为对应点的坐标，再结合函数性质求解，是二次函数应用类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,水池中心点O处竖直安装了一个水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面内.安装师傅调试发现:当喷头高2.5 m时,水柱落点与点O相距2.5 m;当喷头高4 m时,水柱落点与点O相距3 m,那么当喷头高
8
m时,水柱落点与点O相距4 m.答案
5. 8 【解析】如图,以O为原点建立平面直角坐标系。
由题意得,在调整喷头高度的过程中,水柱的形状不发生变化。
当喷头高 2.5 m 时,设喷出的水柱所在的抛物线对应的函数解析式为 $y=ax^2+bx+2.5(a≠0)$。
把 $(2.5,0)$ 代入 $y=ax^2+bx+2.5,$ 得 $6.25a+2.5b+2.5=0$。
整理,得 $2.5a + b + 1 = 0.$ ①
当喷头高 4 m 时,设喷出的水柱所在的抛物线对应的函数解析式为 $y=ax^2+bx+4$。
把 $(3,0)$ 代入 $y=ax^2+bx+4,$ 得 $9a+3b+4=0.$ ②
联立①②,解得 $\begin{cases}a=-\dfrac{2}{3},\\b=\dfrac{2}{3}.\end{cases}$
设当喷头高 $h$ m 时,水柱落点与点 $O$ 相距 4 m。
此时喷出的水柱所在的抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+h$。
把 $(4,0)$ 代入 $y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+h,$ 得 $-\dfrac{2}{3}×4^2+\dfrac{2}{3}×4+h=0$。
解得 $h=8$。
$\therefore$ 当喷头高 8 m 时,水柱落点与点 $O$ 相距 4 m。
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是明确喷头上下移动时，水柱的抛物线仅竖直平移，因此二次项系数a和一次项系数b保持不变，只有常数项（即喷头高度，x=0时的函数值）发生变化。解题步骤如下：第一步，以O为原点建立平面直角坐标系；第二步，利用两次已知的喷头高度和对应落点坐标，分别代入抛物线解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，设所求喷头高度为h m，写出此时的抛物线解析式，将落点(4,0)代入解析式，即可求解h的值。
【解析】
如图，以O为原点建立平面直角坐标系。
由题意得，调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线仅竖直平移，二次项系数a和一次项系数b不变。
当喷头高2.5 m时，设水柱所在抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx+2.5(a≠0)$，
将落点$(2.5,0)$代入解析式，得 $6.25a+2.5b+2.5=0$，
整理得 $2.5a + b + 1 = 0$ ①。
当喷头高4 m时，设水柱所在抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx+4$，
将落点$(3,0)$代入解析式，得 $9a+3b+4=0$ ②。
联立①②，解得 $\begin{cases}a=-\dfrac{2}{3},\\b=\dfrac{2}{3}.\end{cases}$
设当喷头高 $h$ m时，水柱落点与O相距4 m，此时抛物线解析式为 $y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+h$，
将落点$(4,0)$代入解析式，得 $-\dfrac{2}{3}×4^2+\dfrac{2}{3}×4+h=0$，
解得 $h=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的平移；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷泉场景考查二次函数的应用，核心是抓住抛物线竖直平移时二次项、一次项系数不变的特点，通过待定系数法求出函数参数后即可求解未知量，能有效考查学生的建模能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是明确喷头上下移动时，水柱的抛物线仅竖直平移，因此二次项系数a和一次项系数b保持不变，只有常数项（即喷头高度，x=0时的函数值）发生变化。解题步骤如下：第一步，以O为原点建立平面直角坐标系；第二步，利用两次已知的喷头高度和对应落点坐标，分别代入抛物线解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；第三步，设所求喷头高度为h m，写出此时的抛物线解析式，将落点(4,0)代入解析式，即可求解h的值。
【解析】
如图，以O为原点建立平面直角坐标系。
由题意得，调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线仅竖直平移，二次项系数a和一次项系数b不变。
当喷头高2.5 m时，设水柱所在抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx+2.5(a≠0)$，
将落点$(2.5,0)$代入解析式，得 $6.25a+2.5b+2.5=0$，
整理得 $2.5a + b + 1 = 0$ ①。
当喷头高4 m时，设水柱所在抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx+4$，
将落点$(3,0)$代入解析式，得 $9a+3b+4=0$ ②。
联立①②，解得 $\begin{cases}a=-\dfrac{2}{3},\\b=\dfrac{2}{3}.\end{cases}$
设当喷头高 $h$ m时，水柱落点与O相距4 m，此时抛物线解析式为 $y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+h$，
将落点$(4,0)$代入解析式，得 $-\dfrac{2}{3}×4^2+\dfrac{2}{3}×4+h=0$，
解得 $h=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的平移；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷泉场景考查二次函数的应用，核心是抓住抛物线竖直平移时二次项、一次项系数不变的特点，通过待定系数法求出函数参数后即可求解未知量，能有效考查学生的建模能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.6
