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1. $\triangle ABC的三边分别是a,b,c$,不能判定是等腰三角形的是 ()
A. $∠A:∠B:∠C= 2:2:3$
B. $a:b:c= 2:2:3$
C. $∠B= 50^{\circ },∠C= 80^{\circ }$
D. $2∠A= ∠B+∠C$
A. $∠A:∠B:∠C= 2:2:3$
B. $a:b:c= 2:2:3$
C. $∠B= 50^{\circ },∠C= 80^{\circ }$
D. $2∠A= ∠B+∠C$
答案
D
2. (2025·秦皇岛期末)如图,一艘海轮位于灯塔$P的南偏东70^{\circ }方向的M$处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔$P的北偏东40^{\circ }方向的N$处,则$N处与灯塔P$的距离为 ()
A. 80海里
B. 70海里
C. 60海里
D. 40海里
A. 80海里
B. 70海里
C. 60海里
D. 40海里
答案
A
3. 教材变式 将一张长方形纸片按如图所示折叠,若$AB= 6cm$,点$B到AC$距离为4cm,则$S_{\triangle ABC}= $______$cm^{2}$.
答案
12
4. 在$\triangle ABC$中,与$∠A相邻的外角是110^{\circ }$,要使$\triangle ABC$为等腰三角形,则$∠B$的度数为______.
答案
40°或55°或70° 解析:∵∠A相邻的外角是110°,∴∠A=70°,分两种情况:当∠A为底角时,另一底角∠B=∠A=70°,或顶角∠B=40°;当∠A为顶角时，则底角∠B=55°.
5. (2024·重庆中考)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠A= 36^{\circ },BD平分∠ABC交AC于点D$.若$BC= 2$,则$AD$的长度为______.
答案
2 解析:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠C=∠ABC=$\frac{180° - \angle A}{2}$=72°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°,∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴AD=BD,BD=BC,∴AD=BC=2.
6. (2024·常州中考)如图,$B,E,C,F是直线l$上的四点,$AC,DE相交于点G,AB= DF,AC= DE,BC= EF$.
(1)求证:$\triangle GEC$是等腰三角形;
(2)连接$AD$,则$AD与l$的位置关系是______.
(1)求证:$\triangle GEC$是等腰三角形;
(2)连接$AD$,则$AD与l$的位置关系是______.
答案
(1)在△ABC和△DFE中,$\begin{cases}AB = DF,\\AC = DE,\\BC = FE,\end{cases}$∴△ABC≌△DFE,∴∠ACB = ∠DEF,∴EG = CG,∴△GEC是等腰三角形.
(2)平行 解析:∵AC = DE,EG = CG,∴AC - CG = DE - EG,∴AG = DG,∴∠GAD=∠GDA=$\frac{1}{2}$(180° - ∠AGD).∵∠AGD=∠EGC,∠ACE = ∠DEF=$\frac{1}{2}$(180° - ∠CGE),∴∠CAD=∠ACB,∴AD//l.
(2)平行 解析:∵AC = DE,EG = CG,∴AC - CG = DE - EG,∴AG = DG,∴∠GAD=∠GDA=$\frac{1}{2}$(180° - ∠AGD).∵∠AGD=∠EGC,∠ACE = ∠DEF=$\frac{1}{2}$(180° - ∠CGE),∴∠CAD=∠ACB,∴AD//l.
7. 在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CD⊥AB于点D$,$CE平分∠ACD交AB于点E$,则下列结论一定成立的是 ()
A. $BC= EC$
B. $EC= BE$
C. $BC= BE$
D. $AE= EC$
A. $BC= EC$
B. $EC= BE$
C. $BC= BE$
D. $AE= EC$
答案
7.C 解析:∵∠ACB = 90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD = 90°,∠ACD+∠A = 90°,∴∠BCD=∠A.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∴∠BEC=∠BCE,∴BC = BE.故选C.
8. 如图,有$\triangle ABC$,点$P为直线AC$上的一个动点,若使得$\triangle ABP$是等腰三角形,则符合条件的点$P$有 ()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案
8.D 解析:如图,作AB的垂直平分线与AC的交点P₂,可得P₂A = P₂B,以A为圆心,AB为半径画圆,交AC于P₁,P₃,P₁A = AB = P₃A,以B为圆心,AB为半径画圆,交AC于P₄,P₄B = AB.故选D.
9. (2024·广州中考改编)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 90^{\circ },AB= AC= 6,D为BC$的中点,点$E,F分别在边AB,AC$上,$AE= CF$,则四边形$AEDF$的面积为______.
答案
9.9 解析:连接AD,如图.∵∠BAC = 90°,AB = AC = 6,D是BC中点,AE = CF,∴∠BAD=∠B=∠C = 45°,AD = BD = DC,∴△ADE≌△CDF,∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC.又∵S△ABC=6×6×$\frac{1}{2}$=18,∴S四边形AEDF=$\frac{1}{2}$S△ABC=9.
10. 教材变式 (2025·龙岩期中)在$\triangle ABC$中,$AB≠AC,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,MN经过点O$,与$AB,AC交于点M,N$,且$MN// BC$.
(1)如图①,直接写出图中所有的等腰三角形,猜想:$MN与BM,CN$之间有怎样的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,在$\triangle ABC$中,$∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O$,过点$O作OM// BC交AB于点M$,交$AC于点N$.则$MN与BM,CN$之间的数量关系为______.
(1)如图①,直接写出图中所有的等腰三角形,猜想:$MN与BM,CN$之间有怎样的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,在$\triangle ABC$中,$∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O$,过点$O作OM// BC交AB于点M$,交$AC于点N$.则$MN与BM,CN$之间的数量关系为______.
答案
(1)图中等腰三角形有△BMO,△CNO;MN与BM,CN之间的关系是MN = BM + CN.理由:∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCB.∵MN//BC,∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB,∴∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO,∴BM = OM,CN = ON,∴MN = BM + CN.
(2)MN = BM - CN 解析:∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACH,∴∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCH.∵OM//BC,∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCH,∴∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO,∴BM = OM,CN = ON,∴MN = OM - ON = BM - CN,∴MN与BM,CN之间的关系是MN = BM - CN.
(2)MN = BM - CN 解析:∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACH,∴∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCH.∵OM//BC,∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCH,∴∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO,∴BM = OM,CN = ON,∴MN = OM - ON = BM - CN,∴MN与BM,CN之间的关系是MN = BM - CN.
