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11. (2024·株洲模拟)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 2,∠B= 40^{\circ }$,点$D在线段BC$上运动($D不与B,C$重合),连接$AD$,作$∠ADE= 40^{\circ },DE与AC交于点E$.
(1)当$∠BDA= 115^{\circ }$时,$∠BAD= $______$^{\circ },∠DEC= $______$^{\circ }$;当点$D从点B向点C$运动时,$∠BDA$逐渐变______(填“大”或“小”).
(2)当$DC= AB= 2$时,$\triangle ABD与\triangle DCE$是否全等? 请说明理由.
(3)在点$D$的运动过程中,$\triangle ADE$的形状可以是等腰三角形吗? 若可以,请直接写出$∠BDA$的度数;若不可以,请说明理由.
(1)当$∠BDA= 115^{\circ }$时,$∠BAD= $______$^{\circ },∠DEC= $______$^{\circ }$;当点$D从点B向点C$运动时,$∠BDA$逐渐变______(填“大”或“小”).
(2)当$DC= AB= 2$时,$\triangle ABD与\triangle DCE$是否全等? 请说明理由.
(3)在点$D$的运动过程中,$\triangle ADE$的形状可以是等腰三角形吗? 若可以,请直接写出$∠BDA$的度数;若不可以,请说明理由.
答案
(1)25 115 小 解析:∵∠B = 40°,∠ADB = 115°,∴∠BAD = 180° - 40° - 115°=25°;∵∠ADE = 40°,∠ADB = 115°,∴∠EDC = 180° - ∠ADB - ∠ADE = 180° - 115° - 40°=25°.∵AB = AC,∴∠C=∠B = 40°,∴∠DEC = 180° - 40° - 25°=115°,当点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变小.
(2)当DC = AB = 2时,△ABD≌△DCE.理由如下:∵∠C = 40°,∴∠DEC+∠EDC = 140°.又∵∠ADE = 40°,∴∠ADB+∠EDC = 140°,∴∠ADB=∠DEC.又∵AB = DC = 2,∴在△ABD和△DCE中,$\begin{cases}\angle ADB=\angle DEC,\\\angle B=\angle C,\\AB = DC,\end{cases}$∴△ABD≌△DCE(AAS).
(3)∠BDA的度数为110°或80° 解析:当∠BDA = 110°时,∠ADC = 70°.∵∠C = 40°,∴∠DAC = 70°,∴∠AED = 180° - 70° - 40°=70°,∴∠AED=∠DAC,∴AD = DE,∴△ADE是等腰三角形;当∠BDA的度数为80°时,∠ADC = 100°.∵∠C = 40°,∴∠DAC = 40°,∴∠DAC=∠ADE,∴AE = DE,∴△ADE是等腰三角形.综上所述,当∠BDA的度数为110°或80°时,△ADE是等腰三角形.
(2)当DC = AB = 2时,△ABD≌△DCE.理由如下:∵∠C = 40°,∴∠DEC+∠EDC = 140°.又∵∠ADE = 40°,∴∠ADB+∠EDC = 140°,∴∠ADB=∠DEC.又∵AB = DC = 2,∴在△ABD和△DCE中,$\begin{cases}\angle ADB=\angle DEC,\\\angle B=\angle C,\\AB = DC,\end{cases}$∴△ABD≌△DCE(AAS).
(3)∠BDA的度数为110°或80° 解析:当∠BDA = 110°时,∠ADC = 70°.∵∠C = 40°,∴∠DAC = 70°,∴∠AED = 180° - 70° - 40°=70°,∴∠AED=∠DAC,∴AD = DE,∴△ADE是等腰三角形;当∠BDA的度数为80°时,∠ADC = 100°.∵∠C = 40°,∴∠DAC = 40°,∴∠DAC=∠ADE,∴AE = DE,∴△ADE是等腰三角形.综上所述,当∠BDA的度数为110°或80°时,△ADE是等腰三角形.
12. 新题型 新定义 (2025·无锡校级月考)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.如图①,在$\triangle ABC$中,$∠B= 2∠C$,线段$AC的垂直平分线交AC于点D$,交$BC于点E$.
(1)求证:$AE是\triangle ABC$的一条特异线;
(2)如图②,若$\triangle ABC$是特异三角形,且$∠A= 30^{\circ },∠B$为钝角,求出所有可能的$∠B$的度数;
(3)若某等腰三角形是特异三角形,求此等腰三角形的顶角度数(直接写出答案即可).
(1)求证:$AE是\triangle ABC$的一条特异线;
(2)如图②,若$\triangle ABC$是特异三角形,且$∠A= 30^{\circ },∠B$为钝角,求出所有可能的$∠B$的度数;
(3)若某等腰三角形是特异三角形,求此等腰三角形的顶角度数(直接写出答案即可).
答案
(1)如图①中,∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA = EC,即△EAC是等腰三角形,∴∠EAC=∠C,∴∠AEB=∠EAC+∠C = 2∠C.∵∠B = 2∠C,∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,∴AE是△ABC的一条特异线.
(2)如图②中,当BD是特异线时,如果AB = BD = DC，那么∠ABC=∠ABD+∠DBC = 120°+15°=135°,如果AD = AB,DB = DC,那么∠ABC=∠ABD+∠DBC = 75°+37.5°=112.5°,如果AD = DB,DC = CB,那么∠ABC=∠ABD+∠DBC = 30°+60°=90°(不合题意舍弃).如图③中,当AD是特异线时,AB = BD,AD = DC,则∠ABC = 180° - 20° - 20°=140°,当CD为特异线时,不合题意,∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.
(3)等腰三角形的顶角度数为90°或108°或36°或($\frac{180}{7}$)°.解析:如图④,在△ABC中,AB = AC,则∠B=∠C,当AD是特异线,如果AD = BD = CD,∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠C = 45°,∴∠BAC = 90°;如果AD = BD,AC = CD,∴∠BAD=∠B,∠ADC=∠DAC = 2∠B,∴∠BAC = 3∠B.∵∠B+∠C+∠BAC = 180°,∴∠B = 36°,∴∠BAC = 108°;当BD是特异线,如图⑤,当AD = BD,BD = BC,∴∠BAD=∠ABD,∠C=∠BDC = 2∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB = 180°,∴∠A = 36°;当AD = BD,CD = BC,同理可求:∠A = ($\frac{180}{7}$)°.综上所述，等腰三角形的顶角度数为90°或108°或36°或($\frac{180}{7}$)°.
