9. (1)(2023·西宁中考)在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 100^{\circ}$,点$D在BC$边上,连接$AD$,若$\triangle ABD$为直角三角形,则$\angle ADB$的度数是______.
(2)一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为$46^{\circ}$,则这个等腰三角形的底角度数为______.

(1)50°或90° 解析:∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=$\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}$=40°.∵△ABD为直角三角形,∴分类讨论:①当∠BAD=90°时,如图①,∴∠ADB=180°−∠BAD−∠B=50°;②当∠ADB=90°时,如图②.综上可知,∠ADB的度数是50°或90°.


(2)68°或22° 解析:如图①,当该等腰三角形为锐角三角形时,由题意可知∠ABD=46°,∠BDC=90°,∴∠A=∠BDC−∠ABD=44°,∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=68°;如图②,当该等腰三角形为钝角三角形时,由题意可知∠ABD=46°,∠D=90°,∴∠BAC=∠D+∠ABD=136°,∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=22°.综上可知,这个等腰三角形的底角度数为68°或22°.


易错提醒
高在锐角三角形与钝角三角形中的位置不同会引发多解问题

10. (2024·内江中考)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle DCE = 40^{\circ}$,$AE = AC$,$BC = BD$,则$\angle ACB$的度数为______.

100° 解析:∵∠DCE=40°,∴∠CDE+∠CED=180°−∠DCE=140°.∵AE=AC,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴∠ACE+∠BCD=∠CDE+∠CED=140°,∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠BCD−∠CDE=140°−40°=100°.
一题多解
∵AC=AE,BC=BD,∴设∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°,∴∠A=180°−2x°,∠B=180°−2y°.∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,∴∠ACB+(180°−2x)+(180°−2y)=180°,180°−(x+y)=∠DCE,∴∠ACB+360°−2(x+y)=180°,∴∠ACB+2∠DCE=180°.∵∠DCE=40°,∴∠ACB=100°.

11. (1)已知:如图①,等腰三角形的一个内角为锐角$\alpha$,腰为$a$,求作这个等腰三角形;

(2)在(1)中,把锐角$\alpha变成钝角\alpha$(如图②),其他条件不变,求作这个等腰三角形.

(1)如图所示:

△ABC和△DEF都是所求作的三角形
(2)如图所示:

△MNH是所求作的三角形.

12. (绍兴中考)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 40^{\circ}$,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,$BD = BC = CE$,连接$CD$,$BE$.
(1)若$\angle ABC = 80^{\circ}$,求$\angle BDC$,$\angle ABE$的度数;
(2)写出$\angle BEC与\angle BDC$之间的关系,并说明理由.

(1)∵∠ABC=80°,BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=50°.在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°.∵∠A=40°,∴∠ACB=60°.∵CE=BC,∴∠EBC=60°,∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=20°.
(2)∠BEC与∠BDC的关系为∠BEC+∠BDC=110°.理由如下:设∠BEC=α,∠BDC=β.在△ABE中,α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE.∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=α,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE,∵在△BDC中,BD=BC,∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,∴β=70°−∠ABE,∴α+β=40°+∠ABE+70°−∠ABE=110°,∴∠BEC+∠BDC=110°.

13. 如图,钢架中焊上等长的13根钢条来加固钢架,若$AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 =… = P_{13}P_{14} = P_{14}A$,则$\angle A$的度数是______.

12° 解析:∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,∴设∠A=∠AP1P2=∠AP13P14=x,则∠P1P3P2=∠P2P1P3=∠P13P14P12=∠P13P12P14=2x,∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x,…,∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x,∴∠AP7P8=7x,∠AP8P7=7x.在△AP7P8中,∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°,即x+7x+7x=180°,解得x=12°,即∠A=12°.

14. 综合与实践,问题情境:活动课上,同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动,如图①,已知$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 30^{\circ}$.将$\triangle ABC$从图①的位置开始绕点$A$逆时针旋转,得到$\triangle ADE$(点$D$,$E分别是点B$,$C$的对应点),旋转角为$\alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 100^{\circ})$,设线段$AD与BC交于点M$,线段$DE分别交BC$,$AC于点O$,$N$.
特例分析:(1)如图②,当旋转到$AD \perp BC$时,旋转角$\alpha$的度数为______$^{\circ}$.
探究规律:(2)如图③,在$\triangle ABC绕点A$逆时针旋转过程中,“求真”小组的同学发现线段$AM始终等于线段AN$,请你证明这一结论.
拓展延伸:(3)①直接写出当$\triangle DOM是等腰三角形时旋转角\alpha$的度数.
②在图③中,作直线$BD$,$CE交于点P$,直接写出当$\triangle PDE是直角三角形时旋转角\alpha$的度数.

(1)60 解析:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠C=∠B=30°,∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∴∠BAD=$\frac{180^{\circ}-\angle B-\angle C}{2}$=60°,∴α=60°.
(2)∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC−∠MAN=∠DAE−∠MAN,即∠BAM=∠EAN.在△BAM和△EAN中,$\begin{cases} \angle BAM=\angle EAN \\ AB=AE \\ \angle B=\angle E \end{cases}$,∴△BAM≌△EAN(ASA),∴AM=AN.
(3)①α=30°或75° 解析:如图①,当DM=OM时,∠MOD=∠D=30°.∵∠B=∠D,∠AMB=∠DMO,∴∠BAD=∠MOD=30°,∴α=30°.
如图②,当DM=DO时,∠DMO=∠DOM=$\frac{180^{\circ}-\angle D}{2}$=75°,∴α=75°.当OM=OD时,此种情形不成立.综上所述,α=30°或75°.
②α=60°. 解析:如图③,当∠EDP=90°时,∵∠ABC=∠ADE=30°,∴∠ADB=90°−30°=60°.∵AB=AD,∴∠BAD=180°−60°−60°=60°.∵0°＜α＜100°,∴旋转角α为60°.