21 如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处,折痕交OA于点C.求涂色部分的周长和面积.

21. 连结OD. 根据折叠的性质知,$CD=CO$,$BD=BO$,$∠DBC=∠OBC$,所以$OB=OD=BD$. 所以$△OBD$是等边三角形. 所以$∠DBO=60°$. 所以$∠CBO=\frac{1}{2}∠DBO=30°$. 因为$∠AOB=90°$,所以$OC=\frac{1}{2}BC$. 在$\mathrm{Rt}△BOC$中,由勾股定理,得$OC^2+OB^2=BC^2$,即$OC^2+36=4OC^2$,所以$OC=2\sqrt{3}$(负值舍去). 所以$S_{△ BDC}=S_{△ OBC}=\frac{1}{2}OB·OC=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$,$S_{扇形AOB}=\frac{90π×6^2}{360}=9π$,$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{90π×6}{180}=3π$. 所以涂色部分的周长为$AC+CD+BD+l=AC+OC+OB+l=OA+OB+l=6+6+3π=12+3π$,涂色部分的面积为$S_{扇形AOB}-S_{△ BDC}-S_{△ OBC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$

22 如图,在$\odot O$上依次有A,B,C三点,连结AB,BC,BO的延长线交$\odot O$于点E,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$,过点C作$CD// AB$,交BE的延长线于点D,连结AD交$\odot O$于点F.
(1) 求证:四边形ABCD是菱形.
(2) 连结OA,OF.若$∠ AOF=3∠ FOE$,$AF=3$,求$\overset{\frown}{CF}$的长.

22. (1) 因为$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$,所以$∠ABD=∠CBD$. 因为$CD// AB$,所以$∠ABD=∠CDB$. 所以$∠CBD=∠CDB$. 所以$CB=CD$. 因为BE是$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$. 所以$AB=BC=CD$. 因为$CD// AB$,所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为$AB=BC$,所以四边形ABCD是菱形
(2) 连结OC. 由$∠AOF=3∠FOE$,可设$∠FOE=x$,则$∠AOF=3x$,$∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x$. 因为$OA=OF$,所以$∠OAF=∠OFA=\frac{1}{2}(180°-3x)$. 因为$OA=OB$,所以$∠OAB=∠OBA=\frac{1}{2}∠AOD=2x$. 由(1),得$∠OBA=∠OBC$,四边形ABCD是菱形,所以$BC// AD$. 所以$∠ABC=4x$,$∠ABC+∠BAD=180°$. 所以$4x+2x+\frac{1}{2}(180°-3x)=180°$,解得$x=20°$. 所以$∠FOE=20°$,$∠AOF=3x=60°$,$∠AOE=4x=80°$. 因为$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$,所以$∠COE=∠AOE=80°$. 所以$∠COF=∠COE+∠FOE=80°+20°=100°$. 因为$OA=OF$,$∠AOF=60°$,所以$△AOF$是等边三角形. 所以$OF=AF=3$. 所以$\overset{\frown}{CF}$的长为$\frac{100π×3}{180}=\frac{5π}{3}$