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9. 关于x的方程$2x+5=kx$的解是整数,则整数k的可能值有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
要解决这类含参数的一元一次方程整数解问题，解题思路分三步：第一步先将方程视为关于x的一元一次方程，解出用k表示x的表达式；第二步根据“方程的解是整数、k为整数”的条件，可知x的表达式中分母必须是分子的整数因数，同时注意分母不能为0（否则方程无解）；第三步找出分子的所有整数因数，分别计算对应的k值，统计个数即可得到答案。
【解析】
首先对原方程进行整理：
1. 移项，将含x的项移到等号左侧，得：$kx - 2x = 5$
2. 合并同类项，得：$(k - 2)x = 5$
注意：若$k - 2 = 0$，即$k=2$时，方程左边为0，右边为5，等式不成立，方程无解，不符合题意，因此$k ≠ 2$。
3. 系数化为1，得：$x = \frac{5}{k - 2}$
4. 因为x是整数，k是整数，所以$k-2$必须是5的整数因数。5的整数因数有$\pm1$、$\pm5$，共4个：
当$k-2=1$时，$k=3$，此时$x=5$，为整数，符合要求；
当$k-2=-1$时，$k=1$，此时$x=-5$，为整数，符合要求；
当$k-2=5$时，$k=7$，此时$x=1$，为整数，符合要求；
当$k-2=-5$时，$k=-3$，此时$x=-1$，为整数，符合要求。
因此整数k的可能值有4个。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解法，整数解问题，因数的应用
【点评】
本题是一元一次方程整数解的典型题型，解题核心是先求出含参数的未知数表达式，再结合整数的性质分析参数取值，解题时容易遗漏负因数的情况，也需注意要保证未知数的系数不为0，避免代入无解的情况。
【难度系数】
0.6
要解决这类含参数的一元一次方程整数解问题，解题思路分三步：第一步先将方程视为关于x的一元一次方程，解出用k表示x的表达式；第二步根据“方程的解是整数、k为整数”的条件，可知x的表达式中分母必须是分子的整数因数，同时注意分母不能为0（否则方程无解）；第三步找出分子的所有整数因数，分别计算对应的k值，统计个数即可得到答案。
【解析】
首先对原方程进行整理：
1. 移项，将含x的项移到等号左侧，得：$kx - 2x = 5$
2. 合并同类项，得：$(k - 2)x = 5$
注意：若$k - 2 = 0$，即$k=2$时，方程左边为0，右边为5，等式不成立，方程无解，不符合题意，因此$k ≠ 2$。
3. 系数化为1，得：$x = \frac{5}{k - 2}$
4. 因为x是整数，k是整数，所以$k-2$必须是5的整数因数。5的整数因数有$\pm1$、$\pm5$，共4个：
当$k-2=1$时，$k=3$，此时$x=5$，为整数，符合要求；
当$k-2=-1$时，$k=1$，此时$x=-5$，为整数，符合要求；
当$k-2=5$时，$k=7$，此时$x=1$，为整数，符合要求；
当$k-2=-5$时，$k=-3$，此时$x=-1$，为整数，符合要求。
因此整数k的可能值有4个。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解法，整数解问题，因数的应用
【点评】
本题是一元一次方程整数解的典型题型，解题核心是先求出含参数的未知数表达式，再结合整数的性质分析参数取值，解题时容易遗漏负因数的情况，也需注意要保证未知数的系数不为0，避免代入无解的情况。
【难度系数】
0.6
10. 如图
所示都是由同样大小的棋子按一定的规律组成的图形，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子……则第⑥个图形中棋子的颗数为 （）
A.63
B.84
C.108
D.152
所示都是由同样大小的棋子按一定的规律组成的图形，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子……则第⑥个图形中棋子的颗数为 （）A.63
B.84
C.108
D.152
答案
A
解析
【分析】
我们可以通过观察前3个图形的棋子数，找棋子数和图形序号的对应关系来解题。首先把每个图形的棋子数按层数拆分，发现每一层的棋子数都是3的倍数，和层数相关，先推导第n个图形的棋子数通用公式，再代入n=6计算即可得到第⑥个图形的棋子数。
【解析】
观察已知图形的棋子数：
第①个图形：棋子共3颗，$3=3×1$；
第②个图形：棋子共9颗，$9=3×1+3×2=3×(1+2)$；
第③个图形：棋子共18颗，$18=3×1+3×2+3×3=3×(1+2+3)$；
以此类推，第n个图形的棋子数为$3×(1+2+3+\dots+n)$。
根据连续正整数求和规律，$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，因此第n个图形棋子数公式为$\frac{3n(n+1)}{2}$。
当n=6时，代入公式得：$\frac{3×6×(6+1)}{2}=\frac{3×6×7}{2}=63$。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，有理数运算，代数式求值
【点评】
本题是常见的图形规律类考题，解题核心是把图形的数量特征和序号建立对应关系，推导通用公式后代入求解，掌握从特殊到一般的探究思路就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
我们可以通过观察前3个图形的棋子数，找棋子数和图形序号的对应关系来解题。首先把每个图形的棋子数按层数拆分，发现每一层的棋子数都是3的倍数，和层数相关，先推导第n个图形的棋子数通用公式，再代入n=6计算即可得到第⑥个图形的棋子数。
【解析】
观察已知图形的棋子数：
第①个图形：棋子共3颗，$3=3×1$；
第②个图形：棋子共9颗，$9=3×1+3×2=3×(1+2)$；
第③个图形：棋子共18颗，$18=3×1+3×2+3×3=3×(1+2+3)$；
以此类推，第n个图形的棋子数为$3×(1+2+3+\dots+n)$。
根据连续正整数求和规律，$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，因此第n个图形棋子数公式为$\frac{3n(n+1)}{2}$。
当n=6时，代入公式得：$\frac{3×6×(6+1)}{2}=\frac{3×6×7}{2}=63$。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，有理数运算，代数式求值
【点评】
本题是常见的图形规律类考题，解题核心是把图形的数量特征和序号建立对应关系，推导通用公式后代入求解，掌握从特殊到一般的探究思路就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 如果$|m+1|+(n-2026)^2=0$,那么$m^n$的值为.
11. 如果$|m+1|+(n-2026)^2=0$,那么$m^n$的值为.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
首先回忆非负数的性质：绝对值和偶次幂都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0。解题时先根据这个性质列出关于m、n的等式，求出m、n的取值，再代入计算$m^n$的值即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值和偶次幂具有非负性，即$|m+1|≥0$，$(n-2026)^2≥0$，
且$|m+1|+(n-2026)^2=0$，
∴ $|m+1|=0$，$(n-2026)^2=0$，
即 $m+1=0$，$n-2026=0$，
解得 $m=-1$，$n=2026$，
∴ $m^n=(-1)^{2026}=1$（负数的偶次幂为正数）。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
非负数的性质；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，重点考查非负数性质的应用，解题关键是根据非负数之和为0的特征求出未知参数的值，再结合乘方运算规则计算结果，需要熟练掌握绝对值、偶次幂的非负性以及乘方的符号法则。
【难度系数】
0.9
首先回忆非负数的性质：绝对值和偶次幂都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0。解题时先根据这个性质列出关于m、n的等式，求出m、n的取值，再代入计算$m^n$的值即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值和偶次幂具有非负性，即$|m+1|≥0$，$(n-2026)^2≥0$，
且$|m+1|+(n-2026)^2=0$，
∴ $|m+1|=0$，$(n-2026)^2=0$，
即 $m+1=0$，$n-2026=0$，
解得 $m=-1$，$n=2026$，
∴ $m^n=(-1)^{2026}=1$（负数的偶次幂为正数）。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
非负数的性质；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，重点考查非负数性质的应用，解题关键是根据非负数之和为0的特征求出未知参数的值，再结合乘方运算规则计算结果，需要熟练掌握绝对值、偶次幂的非负性以及乘方的符号法则。
【难度系数】
0.9
12.若$-3x^{m}y^{4}$与$2x^{-1}y^{2n}$是同类项，则$m-n$的值为.
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。题目给出的两个单项式已经都含有字母x、y，因此只需根据“相同字母的指数相等”分别列出关于m、n的等式，求出m、n的值后，再代入计算m-n即可。
【解析】
∵$-3x^{m}y^{4}$与$2x^{-1}y^{2n}$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$m = -1$，$4 = 2n$
解$4=2n$，得$n=2$
将$m=-1$，$n=2$代入$m-n$，得：
$m-n = -1 - 2 = -3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对同类项概念的掌握，解题的关键是抓住同类项中“相同字母的指数相等”这一核心性质求解参数，计算量小，只要熟记相关概念即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。题目给出的两个单项式已经都含有字母x、y，因此只需根据“相同字母的指数相等”分别列出关于m、n的等式，求出m、n的值后，再代入计算m-n即可。
【解析】
∵$-3x^{m}y^{4}$与$2x^{-1}y^{2n}$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$m = -1$，$4 = 2n$
解$4=2n$，得$n=2$
将$m=-1$，$n=2$代入$m-n$，得：
$m-n = -1 - 2 = -3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对同类项概念的掌握，解题的关键是抓住同类项中“相同字母的指数相等”这一核心性质求解参数，计算量小，只要熟记相关概念即可得分。
【难度系数】
0.8
13. 中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 图3①表示的是计算$-4+3=-1$的过程. 按照这种方法图3②表示的是.
答案
$\boldsymbol{-2+4=2}$
解析
【分析】
这是一道结合图示的有理数运算类题目，解题时先从已知的图①示例总结运算规则：首先确定小棒类型对应的数的性质，虚线小棒对应负数，实线小棒对应正数，运算时相同数量的虚实小棒可以互相抵消，剩余小棒对应的数就是运算结果。再将该规则应用到图②中：数出图②中虚线小棒共2根、实线小棒共4根，抵消后剩余2根实线小棒，即可推导对应算式。
【解析】
解：先根据图①的运算过程总结规则：
1. 每根虚线小棒表示$-1$，每根实线小棒表示$+1$；
2. 两数相加时，将虚线小棒和实线小棒一一配对抵消，剩余小棒对应的数值就是计算结果。
观察图②：左侧有2根虚线小棒，对应加数$-2$；有4根实线小棒，对应加数$+4$。
2根虚线小棒和2根实线小棒配对抵消后，剩余2根实线小棒，对应结果为$+2$，因此图②表示的算式为$-2+4=2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2+4=2}$
【知识点】
正负数的意义；有理数加法运算；数形结合思想
【点评】
本题结合我国古代数学的“正负术”算法，用图示直观呈现有理数加法的算理，既考查了对新规则的提炼迁移能力，也考查了有理数加法的核心逻辑，有助于理解正负数运算的本质。
【难度系数】
0.7
这是一道结合图示的有理数运算类题目，解题时先从已知的图①示例总结运算规则：首先确定小棒类型对应的数的性质，虚线小棒对应负数，实线小棒对应正数，运算时相同数量的虚实小棒可以互相抵消，剩余小棒对应的数就是运算结果。再将该规则应用到图②中：数出图②中虚线小棒共2根、实线小棒共4根，抵消后剩余2根实线小棒，即可推导对应算式。
【解析】
解：先根据图①的运算过程总结规则：
1. 每根虚线小棒表示$-1$，每根实线小棒表示$+1$；
2. 两数相加时，将虚线小棒和实线小棒一一配对抵消，剩余小棒对应的数值就是计算结果。
观察图②：左侧有2根虚线小棒，对应加数$-2$；有4根实线小棒，对应加数$+4$。
2根虚线小棒和2根实线小棒配对抵消后，剩余2根实线小棒，对应结果为$+2$，因此图②表示的算式为$-2+4=2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2+4=2}$
【知识点】
正负数的意义；有理数加法运算；数形结合思想
【点评】
本题结合我国古代数学的“正负术”算法，用图示直观呈现有理数加法的算理，既考查了对新规则的提炼迁移能力，也考查了有理数加法的核心逻辑，有助于理解正负数运算的本质。
【难度系数】
0.7
14. 如图4所示，在长方形纸片ABCD中，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在$A_1$处，点D落在$D_1$处。若$∠ 1=30°$，则$∠ BMC$的度数为。
答案
$\boldsymbol{105°}$
解析
【分析】
遇到折叠类的角度计算问题，首先要利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，得到两组相等的角；其次AD为直线，其上的∠AMD是平角，度数为180°，该平角由5个小角共同组成，结合已知∠1的度数，可先求出∠A₁MB与∠D₁MC的和，最后∠BMC由这两个角加∠1组成，代入数值即可求解。
【解析】
根据折叠的性质可得：
$∠ AMB = ∠ A_1MB$，$∠ DMC = ∠ D_1MC$
∵ 点A、M、D在同一直线上，$∠ AMD$是平角
∴ $∠ AMB + ∠ A_1MB + ∠ 1 + ∠ DMC + ∠ D_1MC = 180°$
已知$∠ 1=30°$，代入得：
$2∠ A_1MB + 2∠ D_1MC + 30° = 180°$
整理得：$2(∠ A_1MB + ∠ D_1MC) = 150°$
∴ $∠ A_1MB + ∠ D_1MC = 75°$
∵ $∠ BMC = ∠ A_1MB + ∠ D_1MC + ∠ 1$
代入数值计算：$∠ BMC = 75° + 30° = 105°$
【答案】
$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是折叠类角度计算的基础题型，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征进行角的转化与运算，熟练掌握该类题型的解题思路可以快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类的角度计算问题，首先要利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，得到两组相等的角；其次AD为直线，其上的∠AMD是平角，度数为180°，该平角由5个小角共同组成，结合已知∠1的度数，可先求出∠A₁MB与∠D₁MC的和，最后∠BMC由这两个角加∠1组成，代入数值即可求解。
【解析】
根据折叠的性质可得：
$∠ AMB = ∠ A_1MB$，$∠ DMC = ∠ D_1MC$
∵ 点A、M、D在同一直线上，$∠ AMD$是平角
∴ $∠ AMB + ∠ A_1MB + ∠ 1 + ∠ DMC + ∠ D_1MC = 180°$
已知$∠ 1=30°$，代入得：
$2∠ A_1MB + 2∠ D_1MC + 30° = 180°$
整理得：$2(∠ A_1MB + ∠ D_1MC) = 150°$
∴ $∠ A_1MB + ∠ D_1MC = 75°$
∵ $∠ BMC = ∠ A_1MB + ∠ D_1MC + ∠ 1$
代入数值计算：$∠ BMC = 75° + 30° = 105°$
【答案】
$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是折叠类角度计算的基础题型，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征进行角的转化与运算，熟练掌握该类题型的解题思路可以快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
15. 如图5,长为x、宽为y的长方形被分割为7块,包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ,Ⅱ.若每块空白长方形较短的边长为4,则阴影长方形Ⅰ,Ⅱ的周长之和为.
答案
$\boldsymbol{4y + 8}$
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路思考：1. 先明确已知条件：空白小长方形短边长为4，设其长边为$a$，用$a$、$x$、$y$分别表示出两块阴影长方形的长和宽；2. 利用长方形周长公式分别写出两块阴影的周长，求和化简后可消去中间变量$a$；3. 结合图形找到$x$和$y$的等量关系，代入周长和的表达式消去$x$，即可得到最终结果。
【解析】
设每块空白长方形的长为$ a $，已知空白长方形较短的边长为4。
1. 表示阴影部分的周长：
阴影Ⅰ的长为$x-a$，宽为4，周长为$ 2×[(x - a) + 4] $；
阴影Ⅱ的长为$a$，宽为$y - 4×2 = y - 8$，周长为$ 2×[a + (y - 8)] $。
2. 计算周长之和：
$\begin{aligned}\mathrm{总周长}&=2(x - a + 4) + 2(a + y - 8)\\&=2x - 2a + 8 + 2a + 2y - 16\\&=2x + 2y - 8\end{aligned}$
3. 推导$x$和$y$的关系：
由图可知$x = a + 3×4 = a + 12$，$y = a + 4$，因此$a = y - 4$，代入得$x = (y - 4) + 12 = y + 8$。
4. 代入化简：
把$x = y + 8$代入$2x + 2y - 8$得：
$\begin{aligned}\mathrm{总周长}&=2(y + 8) + 2y - 8\\&=2y + 16 + 2y - 8\\&=4y + 8\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4y + 8}$
【知识点】
长方形周长计算，列代数式，整式的加减
【点评】
本题侧重考查图形分析能力，解题核心是结合图形找准各边长的等量关系，通过消去中间变量得到结果，能有效检验整式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，可按以下思路思考：1. 先明确已知条件：空白小长方形短边长为4，设其长边为$a$，用$a$、$x$、$y$分别表示出两块阴影长方形的长和宽；2. 利用长方形周长公式分别写出两块阴影的周长，求和化简后可消去中间变量$a$；3. 结合图形找到$x$和$y$的等量关系，代入周长和的表达式消去$x$，即可得到最终结果。
【解析】
设每块空白长方形的长为$ a $，已知空白长方形较短的边长为4。
1. 表示阴影部分的周长：
阴影Ⅰ的长为$x-a$，宽为4，周长为$ 2×[(x - a) + 4] $；
阴影Ⅱ的长为$a$，宽为$y - 4×2 = y - 8$，周长为$ 2×[a + (y - 8)] $。
2. 计算周长之和：
$\begin{aligned}\mathrm{总周长}&=2(x - a + 4) + 2(a + y - 8)\\&=2x - 2a + 8 + 2a + 2y - 16\\&=2x + 2y - 8\end{aligned}$
3. 推导$x$和$y$的关系：
由图可知$x = a + 3×4 = a + 12$，$y = a + 4$，因此$a = y - 4$，代入得$x = (y - 4) + 12 = y + 8$。
4. 代入化简：
把$x = y + 8$代入$2x + 2y - 8$得：
$\begin{aligned}\mathrm{总周长}&=2(y + 8) + 2y - 8\\&=2y + 16 + 2y - 8\\&=4y + 8\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4y + 8}$
【知识点】
长方形周长计算，列代数式，整式的加减
【点评】
本题侧重考查图形分析能力，解题核心是结合图形找准各边长的等量关系，通过消去中间变量得到结果，能有效检验整式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.6
