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19. (9分)阅读材料:把无限循环小数化为分数,可以按如下方法进行:以0.$\dot{7}$为例,设0.$\dot{7}$=x,由0.$\dot{7}$=0.777…,可知10x=7.777…,即10x=7+0.$\dot{7}$,所以10x=7+x,解得x=$\frac{7}{9}$,于是0.$\dot{7}$=$\frac{7}{9}$.
(1)请把无限循环小数0.$\ddot{46}$化为分数;
(2)请把无限循环小数0.0$\ddot{36}$化为分数;
(3)请计算4.$\ddot{64}$+3.$\ddot{63}$.
(1)请把无限循环小数0.$\ddot{46}$化为分数;
(2)请把无限循环小数0.0$\ddot{36}$化为分数;
(3)请计算4.$\ddot{64}$+3.$\ddot{63}$.
答案
解：
(1) 设$0.\dot{4}\dot{6}=x$，
由$0.\dot{4}\dot{6}=0.464646···$，可知$100x=46.464646···$，
即$100x=46+0.\dot{4}\dot{6}$，
所以$100x=46+x$，
解得$x=\frac{46}{99}$，
于是$0.\dot{4}\dot{6}=\frac{46}{99}$。
(2) 设$0.0\dot{3}\dot{6}=x$，
由$0.0\dot{3}\dot{6}=0.0363636···$，可知$1000x=36.363636···$，$10x=0.363636···$，
即$1000x=36+10x$，
移项得$990x=36$，
解得$x=\frac{36}{990}=\frac{2}{55}$，
于是$0.0\dot{3}\dot{6}=\frac{2}{55}$。
(3) 先将两个无限循环小数化为分数：
设$0.\dot{6}\dot{4}=a$，则$100a=64+a$，解得$a=\frac{64}{99}$，因此$4.\dot{6}\dot{4}=4+\frac{64}{99}=\frac{460}{99}$。
设$0.\dot{6}\dot{3}=b$，则$100b=63+b$，解得$b=\frac{63}{99}$，因此$3.\dot{6}\dot{3}=3+\frac{63}{99}=\frac{360}{99}$。
所以$4.\dot{6}\dot{4}+3.\dot{6}\dot{3}=\frac{460}{99}+\frac{360}{99}=\frac{820}{99}=8\frac{28}{99}$。
(1) 设$0.\dot{4}\dot{6}=x$，
由$0.\dot{4}\dot{6}=0.464646···$，可知$100x=46.464646···$，
即$100x=46+0.\dot{4}\dot{6}$，
所以$100x=46+x$，
解得$x=\frac{46}{99}$，
于是$0.\dot{4}\dot{6}=\frac{46}{99}$。
(2) 设$0.0\dot{3}\dot{6}=x$，
由$0.0\dot{3}\dot{6}=0.0363636···$，可知$1000x=36.363636···$，$10x=0.363636···$，
即$1000x=36+10x$，
移项得$990x=36$，
解得$x=\frac{36}{990}=\frac{2}{55}$，
于是$0.0\dot{3}\dot{6}=\frac{2}{55}$。
(3) 先将两个无限循环小数化为分数：
设$0.\dot{6}\dot{4}=a$，则$100a=64+a$，解得$a=\frac{64}{99}$，因此$4.\dot{6}\dot{4}=4+\frac{64}{99}=\frac{460}{99}$。
设$0.\dot{6}\dot{3}=b$，则$100b=63+b$，解得$b=\frac{63}{99}$，因此$3.\dot{6}\dot{3}=3+\frac{63}{99}=\frac{360}{99}$。
所以$4.\dot{6}\dot{4}+3.\dot{6}\dot{3}=\frac{460}{99}+\frac{360}{99}=\frac{820}{99}=8\frac{28}{99}$。
解析
【分析】
本题是材料阅读类题型，解题核心是迁移材料中给出的无限循环小数化分数的方法，通过设未知数、利用等式性质扩大对应倍数消去无限循环部分，转化为一元一次方程求解即可。
(1) 0.$\ddot{46}$是纯循环小数，循环节有2位，因此将原数乘以100后，小数部分和原数完全相同，两式相减即可消去循环部分，解方程得到分数结果。
(2) 0.0$\ddot{36}$是混循环小数，不循环部分有1位，循环节有2位，因此将原数分别乘以10和1000，得到的两个数小数部分完全相同，相减消去循环部分后解方程，最后约分得到最简分数。
(3) 先将两个带整数的无限循环小数拆分为整数部分加纯循环小数部分，分别把纯循环部分化为分数后，合并为假分数，再按照同分母分数加法规则计算，最后化简为最简带分数即可。
【解析】
(1) 设$0.\dot{4}\dot{6}=x$，
由$0.\dot{4}\dot{6}=0.464646···$，可知$100x=46.464646···$，
即$100x=46+0.\dot{4}\dot{6}$，
所以$100x=46+x$，
移项合并得$99x=46$，
解得$x=\frac{46}{99}$，
于是$0.\dot{4}\dot{6}=\frac{46}{99}$。
(2) 设$0.0\dot{3}\dot{6}=x$，
由$0.0\dot{3}\dot{6}=0.0363636···$，可知$1000x=36.363636···$，$10x=0.363636···$，
即$1000x=36+10x$，
移项合并得$990x=36$，
解得$x=\frac{36}{990}=\frac{2}{55}$，
于是$0.0\dot{3}\dot{6}=\frac{2}{55}$。
(3) 先将两个无限循环小数化为分数：
设$0.\dot{6}\dot{4}=a$，则$100a=64+a$，解得$a=\frac{64}{99}$，因此$4.\dot{6}\dot{4}=4+\frac{64}{99}=\frac{4×99+64}{99}=\frac{460}{99}$。
设$0.\dot{6}\dot{3}=b$，则$100b=63+b$，解得$b=\frac{63}{99}$，因此$3.\dot{6}\dot{3}=3+\frac{63}{99}=\frac{3×99+63}{99}=\frac{360}{99}$。
所以$4.\dot{6}\dot{4}+3.\dot{6}\dot{3}=\frac{460}{99}+\frac{360}{99}=\frac{820}{99}=8\frac{28}{99}$。
【答案】
(1) $\frac{46}{99}$；(2) $\frac{2}{55}$；(3) $8\frac{28}{99}$
【知识点】
无限循环小数化分数，一元一次方程的应用，分数加减运算
【点评】
本题属于新方法迁移类阅读题，重点考查对材料思路的理解和应用能力，解题关键是根据循环节的位数准确扩大对应倍数，消去无限循环部分转化为熟悉的一元一次方程求解，计算时注意分数要约分为最简形式。
【难度系数】
0.7
本题是材料阅读类题型，解题核心是迁移材料中给出的无限循环小数化分数的方法，通过设未知数、利用等式性质扩大对应倍数消去无限循环部分，转化为一元一次方程求解即可。
(1) 0.$\ddot{46}$是纯循环小数，循环节有2位，因此将原数乘以100后，小数部分和原数完全相同，两式相减即可消去循环部分，解方程得到分数结果。
(2) 0.0$\ddot{36}$是混循环小数，不循环部分有1位，循环节有2位，因此将原数分别乘以10和1000，得到的两个数小数部分完全相同，相减消去循环部分后解方程，最后约分得到最简分数。
(3) 先将两个带整数的无限循环小数拆分为整数部分加纯循环小数部分，分别把纯循环部分化为分数后，合并为假分数，再按照同分母分数加法规则计算，最后化简为最简带分数即可。
【解析】
(1) 设$0.\dot{4}\dot{6}=x$，
由$0.\dot{4}\dot{6}=0.464646···$，可知$100x=46.464646···$，
即$100x=46+0.\dot{4}\dot{6}$，
所以$100x=46+x$，
移项合并得$99x=46$，
解得$x=\frac{46}{99}$，
于是$0.\dot{4}\dot{6}=\frac{46}{99}$。
(2) 设$0.0\dot{3}\dot{6}=x$，
由$0.0\dot{3}\dot{6}=0.0363636···$，可知$1000x=36.363636···$，$10x=0.363636···$，
即$1000x=36+10x$，
移项合并得$990x=36$，
解得$x=\frac{36}{990}=\frac{2}{55}$，
于是$0.0\dot{3}\dot{6}=\frac{2}{55}$。
(3) 先将两个无限循环小数化为分数：
设$0.\dot{6}\dot{4}=a$，则$100a=64+a$，解得$a=\frac{64}{99}$，因此$4.\dot{6}\dot{4}=4+\frac{64}{99}=\frac{4×99+64}{99}=\frac{460}{99}$。
设$0.\dot{6}\dot{3}=b$，则$100b=63+b$，解得$b=\frac{63}{99}$，因此$3.\dot{6}\dot{3}=3+\frac{63}{99}=\frac{3×99+63}{99}=\frac{360}{99}$。
所以$4.\dot{6}\dot{4}+3.\dot{6}\dot{3}=\frac{460}{99}+\frac{360}{99}=\frac{820}{99}=8\frac{28}{99}$。
【答案】
(1) $\frac{46}{99}$；(2) $\frac{2}{55}$；(3) $8\frac{28}{99}$
【知识点】
无限循环小数化分数，一元一次方程的应用，分数加减运算
【点评】
本题属于新方法迁移类阅读题，重点考查对材料思路的理解和应用能力，解题关键是根据循环节的位数准确扩大对应倍数，消去无限循环部分转化为熟悉的一元一次方程求解，计算时注意分数要约分为最简形式。
【难度系数】
0.7
20. (9分)第19届杭州亚运会2023年10月8日闭幕了.在亚运会期间,某经销商销售带有“琼琮”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品很畅销,该经销商用5800元一次性购进了甲、乙两种纪念品共100件.已知甲、乙两种纪念品的进价和标价如表：
(1)该经销商一次性购进甲、乙两种纪念品各多少件?
(2)杭州亚运会开幕式当天以9折售出全部纪念品,则可获得利润多少元?
(1)该经销商一次性购进甲、乙两种纪念品各多少件?
(2)杭州亚运会开幕式当天以9折售出全部纪念品,则可获得利润多少元?
答案
解：
(1) 设该经销商一次性购进甲种纪念品$x$件，则购进乙种纪念品$(100-x)$件。
根据总进价为5800元列方程：
$50x + 70(100-x) = 5800$
展开得：$50x + 7000 - 70x = 5800$
移项合并得：$-20x = -1200$
解得：$x=60$
乙种纪念品数量为：$100-60=40$（件）
(2) 全部纪念品打9折后的总售价为：
$90×0.9×60 + 100×0.9×40 = 4860 + 3600 = 8460 \mathrm{（元）}$
总利润为：$8460 - 5800 = 2660$（元）
答：(1) 该经销商购进甲种纪念品60件，乙种纪念品40件；(2) 可获得利润2660元。
(1) 设该经销商一次性购进甲种纪念品$x$件，则购进乙种纪念品$(100-x)$件。
根据总进价为5800元列方程：
$50x + 70(100-x) = 5800$
展开得：$50x + 7000 - 70x = 5800$
移项合并得：$-20x = -1200$
解得：$x=60$
乙种纪念品数量为：$100-60=40$（件）
(2) 全部纪念品打9折后的总售价为：
$90×0.9×60 + 100×0.9×40 = 4860 + 3600 = 8460 \mathrm{（元）}$
总利润为：$8460 - 5800 = 2660$（元）
答：(1) 该经销商购进甲种纪念品60件，乙种纪念品40件；(2) 可获得利润2660元。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确两个等量关系：一是甲、乙两种纪念品总数量为100件，二是两种纪念品总进价为5800元。我们可以设甲种纪念品数量为x件，那么乙种纪念品数量就可以用(100-x)表示，再结合两种纪念品的进价，根据总进价列一元一次方程即可求解。
(2) 解决第二问需要明确利润的计算逻辑：总利润=总售价-总成本。首先计算两种纪念品打9折后的实际售价，分别乘以对应销售数量得到总售价，再减去总进价5800元，即可得到最终利润。
【解析】
(1) 设该经销商一次性购进甲种纪念品$x$件，则购进乙种纪念品$(100-x)$件。
根据总进价为5800元列方程：
$50x + 70(100-x) = 5800$
展开得：$50x + 7000 - 70x = 5800$
移项合并同类项得：$-20x = -1200$
解得：$x=60$
乙种纪念品数量为：$100-60=40$（件）
(2) 全部纪念品打9折后的总售价为：
$90×0.9×60 + 100×0.9×40 = 4860 + 3600 = 8460$（元）
总利润为：$8460 - 5800 = 2660$（元）
答：(1) 该经销商购进甲种纪念品60件，乙种纪念品40件；(2) 可获得利润2660元。
【答案】
(1) 购进甲种纪念品60件，乙种纪念品40件；
(2) 可获得利润2660元。
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题结合亚运会时事背景设置问题，属于常规的销售类应用题，解题核心是找准等量关系列方程，同时熟练掌握售价、成本、利润三者的运算关系，既考察了方程思想的应用，也贴近生活实际，有助于提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先要明确两个等量关系：一是甲、乙两种纪念品总数量为100件，二是两种纪念品总进价为5800元。我们可以设甲种纪念品数量为x件，那么乙种纪念品数量就可以用(100-x)表示，再结合两种纪念品的进价，根据总进价列一元一次方程即可求解。
(2) 解决第二问需要明确利润的计算逻辑：总利润=总售价-总成本。首先计算两种纪念品打9折后的实际售价，分别乘以对应销售数量得到总售价，再减去总进价5800元，即可得到最终利润。
【解析】
(1) 设该经销商一次性购进甲种纪念品$x$件，则购进乙种纪念品$(100-x)$件。
根据总进价为5800元列方程：
$50x + 70(100-x) = 5800$
展开得：$50x + 7000 - 70x = 5800$
移项合并同类项得：$-20x = -1200$
解得：$x=60$
乙种纪念品数量为：$100-60=40$（件）
(2) 全部纪念品打9折后的总售价为：
$90×0.9×60 + 100×0.9×40 = 4860 + 3600 = 8460$（元）
总利润为：$8460 - 5800 = 2660$（元）
答：(1) 该经销商购进甲种纪念品60件，乙种纪念品40件；(2) 可获得利润2660元。
【答案】
(1) 购进甲种纪念品60件，乙种纪念品40件；
(2) 可获得利润2660元。
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题结合亚运会时事背景设置问题，属于常规的销售类应用题，解题核心是找准等量关系列方程，同时熟练掌握售价、成本、利润三者的运算关系，既考察了方程思想的应用，也贴近生活实际，有助于提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
