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21. (9分)如图7是某田径比赛场地,国际田联没有规定田径场的精确尺寸,只给出了一个范围,所以各个田径场的尺寸都有所不同,但最内圈跑道的中心周长要求都是400 m,如果两边的半圆直径为a m,每个跑道的宽度是b m,一共有c个跑道.
(1)用代数式表示最外边的一圈跑道的长度;
(2)当a=32,b=1.2,c=8时,求最外边的一圈跑道的长.(温馨提示:当直径增加1时,圆的周长就增加π)
(1)用代数式表示最外边的一圈跑道的长度;
(2)当a=32,b=1.2,c=8时,求最外边的一圈跑道的长.(温馨提示:当直径增加1时,圆的周长就增加π)
答案
解：
(1) 由题意，最内圈跑道直道部分的总长度固定不变，最外圈跑道的弯道部分可合并为一个整圆，其直径为$(a+2bc)\ \mathrm{m}$。
最内圈弯道总长度为$π a\ \mathrm{m}$，最外圈弯道总长度比最内圈弯道总长度增加了$π· 2bc=2π bc\ \mathrm{m}$，
因此最外边的一圈跑道的长度为$(400+2π bc)\ \mathrm{m}$。
(2) 当$a=32$，$b=1.2$，$c=8$时，
代入代数式得：
$\begin{aligned}400+2π bc&=400+2π×1.2×8\\&=400+19.2π\\&\approx400+19.2×3.14\\&=460.288\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
答：最外边的一圈跑道的长约为460.288 m。
(1) 由题意，最内圈跑道直道部分的总长度固定不变，最外圈跑道的弯道部分可合并为一个整圆，其直径为$(a+2bc)\ \mathrm{m}$。
最内圈弯道总长度为$π a\ \mathrm{m}$，最外圈弯道总长度比最内圈弯道总长度增加了$π· 2bc=2π bc\ \mathrm{m}$，
因此最外边的一圈跑道的长度为$(400+2π bc)\ \mathrm{m}$。
(2) 当$a=32$，$b=1.2$，$c=8$时，
代入代数式得：
$\begin{aligned}400+2π bc&=400+2π×1.2×8\\&=400+19.2π\\&\approx400+19.2×3.14\\&=460.288\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
答：最外边的一圈跑道的长约为460.288 m。
解析
【分析】
解题时首先明确跑道长度由两段直道、两个半圆弯道拼成的整圆周长两部分组成，且内外圈跑道的直道长度完全相同，周长差异仅来自弯道的圆周长差异。
解决第一问：已知最内圈周长为400m，每个跑道宽b m，共c个跑道，最外圈弯道的直径比最内圈大2bc m（左右两侧各多了c个跑道宽度），根据提示“直径增加1，圆周长增加π”，可得最外圈弯道周长比最内圈多2πbc m，因此最外圈总长度为内圈总长度加多出的弯道周长。
解决第二问：将对应数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 跑道的直道长度内外圈完全一致，周长差仅来源于弯道的圆周长差。
最内圈弯道总周长为$π a\ \mathrm{m}$，最外圈弯道的直径为$(a+2bc)\ \mathrm{m}$，因此最外圈弯道总周长比最内圈多$π × 2bc=2π bc\ \mathrm{m}$。
已知最内圈总周长为400m，因此最外边一圈跑道的长度为$(400 + 2π bc)\ \mathrm{m}$。
(2) 将$a=32$，$b=1.2$，$c=8$代入代数式$400+2π bc$中：
$\begin{aligned}400+2π bc&=400+2×π×1.2×8\\&=400+19.2π\\&\approx400+19.2×3.14\\&=460.288\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{(400+2π bc)\ \mathrm{m}}$
(2) $\boxed{460.288\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；代数式求值；圆的周长计算
【点评】
本题结合生活中的田径场跑道场景命题，解题的核心是抓住“直道长度不变，仅弯道周长随直径变化”的规律，题目给出的周长变化提示降低了思考难度，易错点是容易忽略外圈弯道直径比内圈多的是2倍的总跑道宽度，漏乘2导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确跑道长度由两段直道、两个半圆弯道拼成的整圆周长两部分组成，且内外圈跑道的直道长度完全相同，周长差异仅来自弯道的圆周长差异。
解决第一问：已知最内圈周长为400m，每个跑道宽b m，共c个跑道，最外圈弯道的直径比最内圈大2bc m（左右两侧各多了c个跑道宽度），根据提示“直径增加1，圆周长增加π”，可得最外圈弯道周长比最内圈多2πbc m，因此最外圈总长度为内圈总长度加多出的弯道周长。
解决第二问：将对应数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 跑道的直道长度内外圈完全一致，周长差仅来源于弯道的圆周长差。
最内圈弯道总周长为$π a\ \mathrm{m}$，最外圈弯道的直径为$(a+2bc)\ \mathrm{m}$，因此最外圈弯道总周长比最内圈多$π × 2bc=2π bc\ \mathrm{m}$。
已知最内圈总周长为400m，因此最外边一圈跑道的长度为$(400 + 2π bc)\ \mathrm{m}$。
(2) 将$a=32$，$b=1.2$，$c=8$代入代数式$400+2π bc$中：
$\begin{aligned}400+2π bc&=400+2×π×1.2×8\\&=400+19.2π\\&\approx400+19.2×3.14\\&=460.288\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{(400+2π bc)\ \mathrm{m}}$
(2) $\boxed{460.288\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；代数式求值；圆的周长计算
【点评】
本题结合生活中的田径场跑道场景命题，解题的核心是抓住“直道长度不变，仅弯道周长随直径变化”的规律，题目给出的周长变化提示降低了思考难度，易错点是容易忽略外圈弯道直径比内圈多的是2倍的总跑道宽度，漏乘2导致出错。
【难度系数】
0.7
22. (10分)某电信公司推出两种智能手机流量计费方式：
设一个月内移动电话的流量为$x$ MB($x≥0$),根据要求回答下列问题.
(1)当$x=100$时,甲种方式计费是元,乙种方式计费是元;
(2)甲种方式计费是元,乙种方式计费是元;(用含$x$的代数式表示)
(3)当两种计费方式的费用相等时,求$x$的值.
设一个月内移动电话的流量为$x$ MB($x≥0$),根据要求回答下列问题.
(1)当$x=100$时,甲种方式计费是元,乙种方式计费是元;
(2)甲种方式计费是元,乙种方式计费是元;(用含$x$的代数式表示)
(3)当两种计费方式的费用相等时,求$x$的值.
答案
解：
(1) 当$x=100$时，
甲种方式计费：$0.15×100=15$元，
乙种方式计费：$18+0.1×100=28$元。
答案依次为：$\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{28}$。
(2) 甲种方式计费是$\boldsymbol{0.15x}$元，乙种方式计费是$\boldsymbol{(18+0.1x)}$元。
(3) 根据两种计费方式费用相等列方程：
$0.15x = 18 + 0.1x$
移项，得 $0.15x - 0.1x = 18$
合并同类项，得 $0.05x = 18$
系数化为1，得 $x=360$
答：当两种计费方式的费用相等时，$x$的值为360。
(1) 当$x=100$时，
甲种方式计费：$0.15×100=15$元，
乙种方式计费：$18+0.1×100=28$元。
答案依次为：$\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{28}$。
(2) 甲种方式计费是$\boldsymbol{0.15x}$元，乙种方式计费是$\boldsymbol{(18+0.1x)}$元。
(3) 根据两种计费方式费用相等列方程：
$0.15x = 18 + 0.1x$
移项，得 $0.15x - 0.1x = 18$
合并同类项，得 $0.05x = 18$
系数化为1，得 $x=360$
答：当两种计费方式的费用相等时，$x$的值为360。
解析
【分析】
本题是通讯流量计费的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 已知x的具体数值时，甲种计费无月使用费，直接用流量数值乘流量单价即可算出总费用；乙种计费需要先支付固定月使用费，再加上对应流量产生的费用，代入x=100分别计算即可得到结果。
(2) 用含x的代数式表示费用时，沿用(1)的计算逻辑，把x当作已知量，分别对应两种计费规则写出表达式即可，注意乙种的代数式为多项式，要添加括号。
(3) 两种计费方式费用相等时，令两个表示费用的代数式相等，列出一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，即可求出x的取值。
【解析】
(1) 当$x=100$时：
甲种方式计费：$0.15 × 100 = 15$（元）
乙种方式计费：$18 + 0.1 × 100 = 28$（元）
(2) 甲种无月使用费，总费用仅为流量费用，即$0.15x$元；
乙种需先付18元月使用费，再加流量产生的费用，总费用为$(18 + 0.1x)$元。
(3) 当两种计费方式费用相等时，可列方程：
$0.15x = 18 + 0.1x$
移项，得 $0.15x - 0.1x = 18$
合并同类项，得 $0.05x = 18$
系数化为1，得 $x = 360$
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{28}$
(2) $\boldsymbol{0.15x}$；$\boldsymbol{(18+0.1x)}$
(3) $\boldsymbol{x=360}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；有理数运算
【点评】
本题结合生活中常见的通讯计费场景出题，是方程实际应用的典型题型，主要考查从表格提取信息的能力、列代数式的能力以及一元一次方程的解法，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.8
本题是通讯流量计费的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 已知x的具体数值时，甲种计费无月使用费，直接用流量数值乘流量单价即可算出总费用；乙种计费需要先支付固定月使用费，再加上对应流量产生的费用，代入x=100分别计算即可得到结果。
(2) 用含x的代数式表示费用时，沿用(1)的计算逻辑，把x当作已知量，分别对应两种计费规则写出表达式即可，注意乙种的代数式为多项式，要添加括号。
(3) 两种计费方式费用相等时，令两个表示费用的代数式相等，列出一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，即可求出x的取值。
【解析】
(1) 当$x=100$时：
甲种方式计费：$0.15 × 100 = 15$（元）
乙种方式计费：$18 + 0.1 × 100 = 28$（元）
(2) 甲种无月使用费，总费用仅为流量费用，即$0.15x$元；
乙种需先付18元月使用费，再加流量产生的费用，总费用为$(18 + 0.1x)$元。
(3) 当两种计费方式费用相等时，可列方程：
$0.15x = 18 + 0.1x$
移项，得 $0.15x - 0.1x = 18$
合并同类项，得 $0.05x = 18$
系数化为1，得 $x = 360$
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；$\boldsymbol{28}$
(2) $\boldsymbol{0.15x}$；$\boldsymbol{(18+0.1x)}$
(3) $\boldsymbol{x=360}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；有理数运算
【点评】
本题结合生活中常见的通讯计费场景出题，是方程实际应用的典型题型，主要考查从表格提取信息的能力、列代数式的能力以及一元一次方程的解法，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.8
