23. (10分)如图8,直线AB上有一定点O,射线OC,OM,ON在直线AB上方,且∠MON=90°.
(1)如图①,当OM平分∠AOC时,试说明ON平分∠BOC;
(2)如图②,分别作∠COM,∠CON的平分线OD,OE,当∠CON=10°时,求∠DOE的度数.

解：
(1) 证明：
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠AOM = ∠COM。
∵ ∠MON = 90°，
∴ ∠COM + ∠CON = 90°。
∵ 点O在直线AB上，∠AOB = 180°，
∴ ∠AOM + ∠BON = 180° - ∠MON = 90°。
∴ ∠CON = ∠BON，
即ON平分∠BOC。
(2)
∵ ∠MON = 90°，∠CON = 10°，
∴ ∠COM = ∠MON + ∠CON = 90° + 10° = 100°。
∵ OD平分∠COM，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠COM = $\frac{1}{2}$×100° = 50°。
∵ OE平分∠CON，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠CON = $\frac{1}{2}$×10° = 5°。
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 50° - 5° = 45°。

【分析】
(1) 要说明ON平分∠BOC，只需证明∠CON=∠BON即可。首先根据角平分线定义得到∠AOM=∠COM，再结合∠MON=90°、平角∠AOB=180°，可推出∠COM与∠CON互余，∠AOM与∠BON互余，利用等角的余角相等即可得到∠CON=∠BON，完成证明。
(2) 要求∠DOE的度数，观察图形可知∠DOE=∠COD-∠COE。先结合已知的∠MON和∠CON求出∠COM的度数，再根据角平分线的定义分别求出∠COD和∠COE的度数，作差即可得到∠DOE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠AOM = ∠COM。
∵ ∠MON = 90°，
∴ ∠COM + ∠CON = 90°。
∵ 点O在直线AB上，∠AOB = 180°，
∴ ∠AOM + ∠BON = 180° - ∠MON = 90°。
∴ ∠CON = ∠BON，
即ON平分∠BOC。
(2) 解：
∵ ∠MON = 90°，∠CON = 10°，
∴ ∠COM = ∠MON + ∠CON = 90° + 10° = 100°。
∵ OD平分∠COM，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠COM = $\frac{1}{2}$×100° = 50°。
∵ OE平分∠CON，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠CON = $\frac{1}{2}$×10° = 5°。
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 50° - 5° = 45°。
【答案】
(1) ON平分∠BOC；
(2) ∠DOE的度数为45°
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平角的定义
3. 余角的性质
【点评】
本题属于几何基础题型，重点考查角的和差运算与角平分线性质的应用，解题关键是清晰梳理图中各角的数量关系，结合已知条件逐步推导，能够有效锻炼学生的逻辑推理能力和几何识图能力。
【难度系数】
0.7