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8. 用火柴棒按如图1所示方式搭图形，图1①中有2个小正方形，图1②中有4个小正方形，图1③中有6个小正方形……则第2024个图形中小正方形的个数是
（）
A.2 023
B.2 024
C.4 046
D.4 048
（）
A.2 023
B.2 024
C.4 046
D.4 048
答案
D
解析
【分析】
先观察前3个图形的小正方形数量和图形序号的对应关系：第1个图形有2个小正方形，第2个有4个，第3个有6个，不难发现小正方形的数量是对应图形序号的2倍，由此归纳出第n个图形的小正方形个数的通用表达式，再代入n=2024计算即可得到结果。
【解析】
观察图形可得：
第1个图形中小正方形的个数：$2=2×1$
第2个图形中小正方形的个数：$4=2×2$
第3个图形中小正方形的个数：$6=2×3$
……
由此可总结规律：第$n$个图形中小正方形的个数为$2n$。
当$n=2024$时，小正方形的个数为$2×2024=4048$。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过对已知图形的观察，找到数量和序号之间的对应关系，推导通用规律后代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
先观察前3个图形的小正方形数量和图形序号的对应关系：第1个图形有2个小正方形，第2个有4个，第3个有6个，不难发现小正方形的数量是对应图形序号的2倍，由此归纳出第n个图形的小正方形个数的通用表达式，再代入n=2024计算即可得到结果。
【解析】
观察图形可得：
第1个图形中小正方形的个数：$2=2×1$
第2个图形中小正方形的个数：$4=2×2$
第3个图形中小正方形的个数：$6=2×3$
……
由此可总结规律：第$n$个图形中小正方形的个数为$2n$。
当$n=2024$时，小正方形的个数为$2×2024=4048$。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过对已知图形的观察，找到数量和序号之间的对应关系，推导通用规律后代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
9. 蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为“打不死的小强”，是因为它的繁殖速度非常惊人. 某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，若已知这种蟑螂的第一代有11只，则这种蟑螂第15代的只数是（）
A.$11^{12}$
B.$11^{13}$
C.$11^{14}$
D.$11^{15}$
A.$11^{12}$
B.$11^{13}$
C.$11^{14}$
D.$11^{15}$
答案
D
解析
【分析】
我们可以先列举前几代蟑螂的数量，结合乘方的意义找到代数和数量表达式的对应规律，再代入第15代计算结果即可。首先从已知的第一代数量出发，按照“每一代数量是上一代的11倍”的条件，依次写出第二代、第三代的数量，观察乘方指数和代数的关系，就能推导出第n代的数量表达式。
【解析】
解：根据题意计算前几代的数量：
第1代蟑螂的数量：$11=11^1$
第2代蟑螂的数量：$11×11=11^2$
第3代蟑螂的数量：$11^2×11=11^3$
……
归纳可得规律：第$n$代蟑螂的数量为$11^n$只
当$n=15$时，第15代蟑螂的数量为$11^{15}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义；数字规律探究
【点评】
本题是结合生活实际的基础规律题，考查乘方的实际应用，解题核心是通过列举简单情况找到代数和乘方指数的对应关系，易错点是粗心误将第一代对应指数0，从而选错答案。
【难度系数】
0.8
我们可以先列举前几代蟑螂的数量，结合乘方的意义找到代数和数量表达式的对应规律，再代入第15代计算结果即可。首先从已知的第一代数量出发，按照“每一代数量是上一代的11倍”的条件，依次写出第二代、第三代的数量，观察乘方指数和代数的关系，就能推导出第n代的数量表达式。
【解析】
解：根据题意计算前几代的数量：
第1代蟑螂的数量：$11=11^1$
第2代蟑螂的数量：$11×11=11^2$
第3代蟑螂的数量：$11^2×11=11^3$
……
归纳可得规律：第$n$代蟑螂的数量为$11^n$只
当$n=15$时，第15代蟑螂的数量为$11^{15}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义；数字规律探究
【点评】
本题是结合生活实际的基础规律题，考查乘方的实际应用，解题核心是通过列举简单情况找到代数和乘方指数的对应关系，易错点是粗心误将第一代对应指数0，从而选错答案。
【难度系数】
0.8
10. 按如图2程序计算，若开始输入x的值为3，则最后输出的结果是（）
A.156
B.231
C.198
D.262
A.156
B.231
C.198
D.262
答案
B
解析
【分析】
这是一道程序运算类题目，解题思路是严格按照给定的程序规则逐步计算：首先将初始输入的x值代入代数式$\frac{x(x+1)}{2}$计算结果，判断结果是否大于100，若大于则直接输出该结果；若不大于，就将本次计算的结果作为新的x值再次代入代数式计算，重复判断，直到计算结果大于100为止。
【解析】
第一步，初始输入$x=3$，代入计算：
$\frac{3×(3+1)}{2}=\frac{3×4}{2}=6$
$6＜100$，不满足输出条件，将$x=6$重新代入计算：
$\frac{6×(6+1)}{2}=\frac{6×7}{2}=21$
$21＜100$，仍不满足输出条件，将$x=21$重新代入计算：
$\frac{21×(21+1)}{2}=\frac{21×22}{2}=231$
$231＞100$，满足输出条件，因此最后输出的结果是231。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；程序运算
【点评】
本题重点考查对程序运算规则的理解和代数式的计算能力，解题时需要严格按照程序步骤逐步运算，注意每次不满足输出条件时，要将上一步的计算结果作为新的输入值代入计算，计算过程中要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道程序运算类题目，解题思路是严格按照给定的程序规则逐步计算：首先将初始输入的x值代入代数式$\frac{x(x+1)}{2}$计算结果，判断结果是否大于100，若大于则直接输出该结果；若不大于，就将本次计算的结果作为新的x值再次代入代数式计算，重复判断，直到计算结果大于100为止。
【解析】
第一步，初始输入$x=3$，代入计算：
$\frac{3×(3+1)}{2}=\frac{3×4}{2}=6$
$6＜100$，不满足输出条件，将$x=6$重新代入计算：
$\frac{6×(6+1)}{2}=\frac{6×7}{2}=21$
$21＜100$，仍不满足输出条件，将$x=21$重新代入计算：
$\frac{21×(21+1)}{2}=\frac{21×22}{2}=231$
$231＞100$，满足输出条件，因此最后输出的结果是231。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；程序运算
【点评】
本题重点考查对程序运算规则的理解和代数式的计算能力，解题时需要严格按照程序步骤逐步运算，注意每次不满足输出条件时，要将上一步的计算结果作为新的输入值代入计算，计算过程中要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 在数-5,1,-3,5,-2中任取三个数相乘,其中最大的积是
.
11. 在数-5,1,-3,5,-2中任取三个数相乘,其中最大的积是
.
答案
解：
要使三个数相乘的积最大，积必为正数。
已知数中正数仅有1、5两个，无法选取3个正数相乘，因此只能选取两个负数与一个正数相乘得到正数积，计算所有符合条件的结果：
$(-5)×(-3)×5=75$
$(-5)×(-2)×5=50$
$(-3)×(-2)×5=30$
$(-5)×(-3)×1=15$
$(-5)×(-2)×1=10$
$(-3)×(-2)×1=6$
其余任意三个数相乘的结果均为负数，小于所有正数积。
对比可得最大的积是$\boldsymbol{75}$。
要使三个数相乘的积最大，积必为正数。
已知数中正数仅有1、5两个，无法选取3个正数相乘，因此只能选取两个负数与一个正数相乘得到正数积，计算所有符合条件的结果：
$(-5)×(-3)×5=75$
$(-5)×(-2)×5=50$
$(-3)×(-2)×5=30$
$(-5)×(-3)×1=15$
$(-5)×(-2)×1=10$
$(-3)×(-2)×1=6$
其余任意三个数相乘的结果均为负数，小于所有正数积。
对比可得最大的积是$\boldsymbol{75}$。
解析
【分析】
要找到三个数相乘的最大积，首先根据有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数为偶数个时积为正，奇数个时积为负，且正数一定大于负数，因此最大的积一定是正数。观察给出的数，正数只有1和5共2个，无法选3个正数相乘，所以只能选2个负数和1个正数相乘得到正的积。要让正积最大，需要选取绝对值尽可能大的两个负数和最大的正数，再计算所有符合条件的乘积对比即可得到最大值。
【解析】
要使三个数相乘的积最大，积必为正数（正数大于所有负数）。
已知给出的数中正数仅有1、5两个，无法选取3个正数相乘，根据有理数乘法符号规律，只能选取两个负数与一个正数相乘得到正数积，分别计算所有符合条件的乘积：
$(-5)×(-3)×5=75$
$(-5)×(-2)×5=50$
$(-3)×(-2)×5=30$
$(-5)×(-3)×1=15$
$(-5)×(-2)×1=10$
$(-3)×(-2)×1=6$
其余任意三个数相乘的结果均为负数，均小于上述正数积。
对比所有正积可得最大的积。
【答案】
$\boldsymbol{75}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算
2. 有理数大小比较
【点评】
本题考查多个有理数相乘的符号规律及运算，解题的关键是先确定乘积的符号，优先筛选出乘积为正的组合，再结合绝对值大小计算对比，避免忽略符号直接选取绝对值大的数导致出错。
【难度系数】
0.7
要找到三个数相乘的最大积，首先根据有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数为偶数个时积为正，奇数个时积为负，且正数一定大于负数，因此最大的积一定是正数。观察给出的数，正数只有1和5共2个，无法选3个正数相乘，所以只能选2个负数和1个正数相乘得到正的积。要让正积最大，需要选取绝对值尽可能大的两个负数和最大的正数，再计算所有符合条件的乘积对比即可得到最大值。
【解析】
要使三个数相乘的积最大，积必为正数（正数大于所有负数）。
已知给出的数中正数仅有1、5两个，无法选取3个正数相乘，根据有理数乘法符号规律，只能选取两个负数与一个正数相乘得到正数积，分别计算所有符合条件的乘积：
$(-5)×(-3)×5=75$
$(-5)×(-2)×5=50$
$(-3)×(-2)×5=30$
$(-5)×(-3)×1=15$
$(-5)×(-2)×1=10$
$(-3)×(-2)×1=6$
其余任意三个数相乘的结果均为负数，均小于上述正数积。
对比所有正积可得最大的积。
【答案】
$\boldsymbol{75}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算
2. 有理数大小比较
【点评】
本题考查多个有理数相乘的符号规律及运算，解题的关键是先确定乘积的符号，优先筛选出乘积为正的组合，再结合绝对值大小计算对比，避免忽略符号直接选取绝对值大的数导致出错。
【难度系数】
0.7
12.若$|m-5|+(n+1)^2=0$,则$n^m - mn=\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
解：
∵|m-5|≥0，$(n+1)^2≥0$，且$|m-5|+(n+1)^2=0$，
∴$m-5=0$，$n+1=0$，
解得$m=5$，$n=-1$。
将$m=5$，$n=-1$代入$n^m - mn$：
$n^m - mn = (-1)^5 - 5×(-1) = -1 +5 = 4$
故答案为：$\boldsymbol{4}$。
∵|m-5|≥0，$(n+1)^2≥0$，且$|m-5|+(n+1)^2=0$，
∴$m-5=0$，$n+1=0$，
解得$m=5$，$n=-1$。
将$m=5$，$n=-1$代入$n^m - mn$：
$n^m - mn = (-1)^5 - 5×(-1) = -1 +5 = 4$
故答案为：$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
解题时首先观察等式特征，等式由绝对值和平方数相加等于0构成，我们知道绝对值和平方数都具有非负性（即取值都大于等于0），若两个非负数的和为0，只有一种可能：两个非负数各自的值都为0。因此我们可以据此列出关于m、n的一元一次方程，求解得到m、n的取值后，代入待求的代数式计算出结果即可。
【解析】
∵$|m-5|≥0$，$(n+1)^2≥0$，且$|m-5|+(n+1)^2=0$，
∴$m-5=0$，$n+1=0$，
解得$m=5$，$n=-1$。
将$m=5$，$n=-1$代入$n^m - mn$：
$n^m - mn = (-1)^5 - 5×(-1) = -1 +5 = 4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
非负数的性质；代数式求值；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查非负数性质的应用，解题的关键是牢记“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的结论，代入计算时要注意负数乘方的符号规则，避免符号计算出错。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察等式特征，等式由绝对值和平方数相加等于0构成，我们知道绝对值和平方数都具有非负性（即取值都大于等于0），若两个非负数的和为0，只有一种可能：两个非负数各自的值都为0。因此我们可以据此列出关于m、n的一元一次方程，求解得到m、n的取值后，代入待求的代数式计算出结果即可。
【解析】
∵$|m-5|≥0$，$(n+1)^2≥0$，且$|m-5|+(n+1)^2=0$，
∴$m-5=0$，$n+1=0$，
解得$m=5$，$n=-1$。
将$m=5$，$n=-1$代入$n^m - mn$：
$n^m - mn = (-1)^5 - 5×(-1) = -1 +5 = 4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
非负数的性质；代数式求值；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查非负数性质的应用，解题的关键是牢记“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的结论，代入计算时要注意负数乘方的符号规则，避免符号计算出错。
【难度系数】
0.85
13. 一件衣服进价为a元,在进价的基础上提高40%的价格出售.
现为促销,又打八折销售,则现在的售价为元.
现为促销,又打八折销售,则现在的售价为元.
答案
$\boldsymbol{1.12a}$
解析
【分析】
解题时需分两步计算最终售价，首先明确每次价格调整的参考基数：第一步是在进价a元的基础上提高40%，此时价格为进价的(1+40%)倍；第二步是在提价后的价格基础上打八折，即按提价后价格的80%计算，将两步运算结合即可求出最终售价。
【解析】
1. 先计算进价提高40%后的售价：
提价后的价格 = 进价 × (1 + 提价百分比) = $ a × (1 + 40\%) = 1.4a $（元）
2. 再计算打八折后的现售价：
打八折即按原价的80%销售，因此现售价 = 提价后价格 × 80% = $ 1.4a × 0.8 = 1.12a $（元）
【答案】
$\boldsymbol{1.12a}$
【知识点】
列代数式、打折销售计算、百分数应用
【点评】
本题是销售类基础应用题，解题关键是明确每次价格变动的计算基数，提价以进价为基数，打折以提价后的售价为基数，熟练掌握百分数与小数的转换运算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时需分两步计算最终售价，首先明确每次价格调整的参考基数：第一步是在进价a元的基础上提高40%，此时价格为进价的(1+40%)倍；第二步是在提价后的价格基础上打八折，即按提价后价格的80%计算，将两步运算结合即可求出最终售价。
【解析】
1. 先计算进价提高40%后的售价：
提价后的价格 = 进价 × (1 + 提价百分比) = $ a × (1 + 40\%) = 1.4a $（元）
2. 再计算打八折后的现售价：
打八折即按原价的80%销售，因此现售价 = 提价后价格 × 80% = $ 1.4a × 0.8 = 1.12a $（元）
【答案】
$\boldsymbol{1.12a}$
【知识点】
列代数式、打折销售计算、百分数应用
【点评】
本题是销售类基础应用题，解题关键是明确每次价格变动的计算基数，提价以进价为基数，打折以提价后的售价为基数，熟练掌握百分数与小数的转换运算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
14. 轮船在顺水中的速度为x km/h，水流的速度为y km/h，轮船顺水航行5 h比逆水航行5 h多行驶 km.
答案
$\boldsymbol{10y}$
解析
【分析】
解决本题需要按三步思考：第一步回忆流水行船的速度关系，先根据已知的顺水速度、水流速度推导逆水速度；第二步结合“路程=速度×时间”的基本公式，分别计算顺水、逆水航行5小时的路程；第三步计算两个路程的差值，化简整式即可得到结果。
【解析】
1. 推导逆水速度：
已知顺水速度为$x\ \mathrm{km/h}$，水流速度为$y\ \mathrm{km/h}$，根据流水行船的速度关系：
静水速度 = 顺水速度 - 水流速度 = $(x - y)\ \mathrm{km/h}$
逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 = $(x - y) - y = (x - 2y)\ \mathrm{km/h}$
2. 计算路程差：
顺水航行5h的路程：$5× x = 5x\ \mathrm{km}$
逆水航行5h的路程：$5×(x - 2y)\ \mathrm{km}$
多行驶的路程为：
$5x - 5(x - 2y) = 5x - 5x + 10y = 10y\ \mathrm{km}$
【答案】
$10y$
【知识点】
1. 流水行船问题
2. 整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查流水行船的速度关系和整式化简，只要正确掌握逆水速度的推导方法，结合行程基本公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决本题需要按三步思考：第一步回忆流水行船的速度关系，先根据已知的顺水速度、水流速度推导逆水速度；第二步结合“路程=速度×时间”的基本公式，分别计算顺水、逆水航行5小时的路程；第三步计算两个路程的差值，化简整式即可得到结果。
【解析】
1. 推导逆水速度：
已知顺水速度为$x\ \mathrm{km/h}$，水流速度为$y\ \mathrm{km/h}$，根据流水行船的速度关系：
静水速度 = 顺水速度 - 水流速度 = $(x - y)\ \mathrm{km/h}$
逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 = $(x - y) - y = (x - 2y)\ \mathrm{km/h}$
2. 计算路程差：
顺水航行5h的路程：$5× x = 5x\ \mathrm{km}$
逆水航行5h的路程：$5×(x - 2y)\ \mathrm{km}$
多行驶的路程为：
$5x - 5(x - 2y) = 5x - 5x + 10y = 10y\ \mathrm{km}$
【答案】
$10y$
【知识点】
1. 流水行船问题
2. 整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查流水行船的速度关系和整式化简，只要正确掌握逆水速度的推导方法，结合行程基本公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
15. 如图3,A,B两地之间有一条东西走向的道路.在A地的东边5 km处设置第一个广告牌,之后每往东12 km就设置一个广告牌.一辆汽车从A地出发,沿此道路向东行驶.当经过第n个广告牌时,此车所行驶的路程为km.
答案
$\boldsymbol{(12n-7)}$
解析
【分析】
我们可以先从已知的前几个广告牌对应的行驶路程入手找规律：第1个广告牌对应路程5km，第2个对应17km，第3个对应29km，不难发现，从第1个广告牌之后，每多经过1个广告牌，行驶路程就增加12km。要求第n个广告牌对应的路程，只需要用第1个的路程加上后面(n-1)个间隔的总长度，再化简式子即可。
【解析】
由题意可知：
当经过第1个广告牌时，行驶路程为5km；
当经过第2个广告牌时，行驶路程为$5 + 12×1 = 17\mathrm{km}$；
当经过第3个广告牌时，行驶路程为$5 + 12×2 = 29\mathrm{km}$；
……
以此类推，当经过第n个广告牌时，行驶路程为：
$5 + 12(n-1)$
化简得：
$5 + 12n -12 = 12n -7$（km）
【答案】
$\boldsymbol{(12n-7)}$
【知识点】
规律探究；列代数式；整式化简
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题的关键是明确第n个广告牌对应的间隔数为(n-1)个，不要直接将间隔数当成n，避免出现$12n+5$这类错误。
【难度系数】
0.7
我们可以先从已知的前几个广告牌对应的行驶路程入手找规律：第1个广告牌对应路程5km，第2个对应17km，第3个对应29km，不难发现，从第1个广告牌之后，每多经过1个广告牌，行驶路程就增加12km。要求第n个广告牌对应的路程，只需要用第1个的路程加上后面(n-1)个间隔的总长度，再化简式子即可。
【解析】
由题意可知：
当经过第1个广告牌时，行驶路程为5km；
当经过第2个广告牌时，行驶路程为$5 + 12×1 = 17\mathrm{km}$；
当经过第3个广告牌时，行驶路程为$5 + 12×2 = 29\mathrm{km}$；
……
以此类推，当经过第n个广告牌时，行驶路程为：
$5 + 12(n-1)$
化简得：
$5 + 12n -12 = 12n -7$（km）
【答案】
$\boldsymbol{(12n-7)}$
【知识点】
规律探究；列代数式；整式化简
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题的关键是明确第n个广告牌对应的间隔数为(n-1)个，不要直接将间隔数当成n，避免出现$12n+5$这类错误。
【难度系数】
0.7
