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9. 我们规定:若关于x的方程$ax=b$的解为$x=b-a$,则称该方程为“差解方程”.例如:$2x=4$的解为$x=2$,且$2=4-2$,则$2x=4$是“差解方程”.
(1)判断$3x=4.5$是不是“差解方程”.
(2)若关于x的方程$2x=4m+6$是“差解方程”,求$m$的值.
(1)判断$3x=4.5$是不是“差解方程”.
(2)若关于x的方程$2x=4m+6$是“差解方程”,求$m$的值.
答案
解：(1) 解方程$3x=4.5$，得$x=1.5$。
计算$b-a=4.5-3=1.5$，可得$x=b-a$，
所以$3x=4.5$是“差解方程”。
(2) 解方程$2x=4m+6$，得$x=2m+3$。
因为该方程是“差解方程”，所以它的解满足$x=(4m+6)-2$，
即$2m+3=4m+6-2$，
整理得$2m+3=4m+4$，
移项得$2m-4m=4-3$，
合并同类项得$-2m=1$，
系数化为1得$m=-\frac{1}{2}$。
计算$b-a=4.5-3=1.5$，可得$x=b-a$，
所以$3x=4.5$是“差解方程”。
(2) 解方程$2x=4m+6$，得$x=2m+3$。
因为该方程是“差解方程”，所以它的解满足$x=(4m+6)-2$，
即$2m+3=4m+6-2$，
整理得$2m+3=4m+4$，
移项得$2m-4m=4-3$，
合并同类项得$-2m=1$，
系数化为1得$m=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解“差解方程”的定义：若关于x的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b-a$，则该方程为差解方程。(1)问的解题思路：先按常规方法求解方程$3x=4.5$的解，再计算$b-a$的值（此处a是x的系数3，b是常数项4.5），对比两个结果是否相等，即可判断是否为差解方程。(2)问的解题思路：先将m看作常数，求解方程$2x=4m+6$，用含m的代数式表示出方程的解，再根据差解方程的定义，得到“方程的解$=(4m+6)-2$”，列出关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 解方程$3x=4.5$，系数化为1得：$x=4.5÷3=1.5$。
根据“差解方程”定义，计算$b-a=4.5-3=1.5$，可得方程的解$x = b - a$，
所以$3x=4.5$是“差解方程”。
(2) 解方程$2x=4m+6$，系数化为1得：$x=(4m+6)÷2=2m+3$。
因为该方程是“差解方程”，根据定义可得它的解满足$x=(4m+6)-2$，
因此列方程：$2m+3=4m+6-2$，
整理得：$2m+3=4m+4$，
移项得：$2m-4m=4-3$，
合并同类项得：$-2m=1$，
系数化为1得：$m=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $3x=4.5$是“差解方程”；(2) $m=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次方程求解；新定义问题处理
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心是准确读懂题目给出的新规则，将新定义转化为熟悉的一元一次方程问题求解，主要考察对新概念的理解和迁移运用能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要准确理解“差解方程”的定义：若关于x的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b-a$，则该方程为差解方程。(1)问的解题思路：先按常规方法求解方程$3x=4.5$的解，再计算$b-a$的值（此处a是x的系数3，b是常数项4.5），对比两个结果是否相等，即可判断是否为差解方程。(2)问的解题思路：先将m看作常数，求解方程$2x=4m+6$，用含m的代数式表示出方程的解，再根据差解方程的定义，得到“方程的解$=(4m+6)-2$”，列出关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 解方程$3x=4.5$，系数化为1得：$x=4.5÷3=1.5$。
根据“差解方程”定义，计算$b-a=4.5-3=1.5$，可得方程的解$x = b - a$，
所以$3x=4.5$是“差解方程”。
(2) 解方程$2x=4m+6$，系数化为1得：$x=(4m+6)÷2=2m+3$。
因为该方程是“差解方程”，根据定义可得它的解满足$x=(4m+6)-2$，
因此列方程：$2m+3=4m+6-2$，
整理得：$2m+3=4m+4$，
移项得：$2m-4m=4-3$，
合并同类项得：$-2m=1$，
系数化为1得：$m=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $3x=4.5$是“差解方程”；(2) $m=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次方程求解；新定义问题处理
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心是准确读懂题目给出的新规则，将新定义转化为熟悉的一元一次方程问题求解，主要考察对新概念的理解和迁移运用能力。
【难度系数】
0.8
1.（2026·南充）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”.设有牧童x人，可列方程为（）
A.$3x+5=5x-7$
B.$5x+3=7x-5$
C.$3x-5=5x+7$
D.$5x-3=7x+5$
A.$3x+5=5x-7$
B.$5x+3=7x-5$
C.$3x-5=5x+7$
D.$5x-3=7x+5$
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住题目中的不变量：竹竿的总数量。已知设牧童有x人，我们可以分别根据两种分竹竿的描述，用含x的式子表示出竹竿的总数量，再根据总数量相等的关系列出方程即可。首先看第一种分配情况：每人分5竿还多3竿，总竿数就是人数乘5再加多余的3竿；第二种分配情况：每人分7竿还少5竿，说明总竿数比7乘人数少5，两个式子都代表总竿数，联立即可得到方程。
【解析】
首先确定不变量为竹竿的总数量。
已知牧童有x人，根据“每人五竿多三竿”，可得竹竿总数量为：$5x + 3$；
再根据“每人七竿少五竿”，可得竹竿总数量为：$7x - 5$。
由于竹竿总数量固定不变，因此可列方程：$5x + 3 = 7x - 5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 找等量关系列方程
【点评】
本题以古代数学诗歌为命题背景，侧重考查一元一次方程的列写方法，解题关键是找准题目中的不变量，结合不同分配方案的描述正确表示出总量，理清数量关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住题目中的不变量：竹竿的总数量。已知设牧童有x人，我们可以分别根据两种分竹竿的描述，用含x的式子表示出竹竿的总数量，再根据总数量相等的关系列出方程即可。首先看第一种分配情况：每人分5竿还多3竿，总竿数就是人数乘5再加多余的3竿；第二种分配情况：每人分7竿还少5竿，说明总竿数比7乘人数少5，两个式子都代表总竿数，联立即可得到方程。
【解析】
首先确定不变量为竹竿的总数量。
已知牧童有x人，根据“每人五竿多三竿”，可得竹竿总数量为：$5x + 3$；
再根据“每人七竿少五竿”，可得竹竿总数量为：$7x - 5$。
由于竹竿总数量固定不变，因此可列方程：$5x + 3 = 7x - 5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 找等量关系列方程
【点评】
本题以古代数学诗歌为命题背景，侧重考查一元一次方程的列写方法，解题关键是找准题目中的不变量，结合不同分配方案的描述正确表示出总量，理清数量关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2.（2024·无锡）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺.别立一表，长一尺五寸，影得五寸.问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺.同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸.问：竿的长度是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（）
A.$\frac{x}{15}=\frac{1.5}{0.5}$
B.$\frac{x}{15}=\frac{0.5}{1.5}$
C.$x+15=1.5+0.5$
D.$x-15=1.5-0.5$
A.$\frac{x}{15}=\frac{1.5}{0.5}$
B.$\frac{x}{15}=\frac{0.5}{1.5}$
C.$x+15=1.5+0.5$
D.$x-15=1.5-0.5$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确同一时刻阳光下的投影规律：同一时刻，不同物体的高度和其对应影长的比值是相等的。解题第一步先统一所有长度的单位为尺，再根据物高与影长的比例相等的关系，代入对应数值列出方程，最后匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
首先进行单位换算：
1丈=10尺，因此竿的影长1丈5尺=15尺；
1尺=10寸，因此标杆长1尺5寸=1.5尺，标杆影长5寸=0.5尺。
同一时刻，物体高度与对应影长的比值为定值，即$\frac{\mathrm{物体高度}}{\mathrm{对应影长}}=\mathrm{固定值}$。
设竿的长度为x尺，将竿和标杆的高度、影长代入比例关系可得：$\frac{x}{15}=\frac{1.5}{0.5}$，因此A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为背景，考查平行投影下物高与影长比例关系的应用，解题关键是先统一单位，再准确对应物高和影长的比例关系列方程，注意不要将比例的前后项搞反。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确同一时刻阳光下的投影规律：同一时刻，不同物体的高度和其对应影长的比值是相等的。解题第一步先统一所有长度的单位为尺，再根据物高与影长的比例相等的关系，代入对应数值列出方程，最后匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
首先进行单位换算：
1丈=10尺，因此竿的影长1丈5尺=15尺；
1尺=10寸，因此标杆长1尺5寸=1.5尺，标杆影长5寸=0.5尺。
同一时刻，物体高度与对应影长的比值为定值，即$\frac{\mathrm{物体高度}}{\mathrm{对应影长}}=\mathrm{固定值}$。
设竿的长度为x尺，将竿和标杆的高度、影长代入比例关系可得：$\frac{x}{15}=\frac{1.5}{0.5}$，因此A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为背景，考查平行投影下物高与影长比例关系的应用，解题关键是先统一单位，再准确对应物高和影长的比例关系列方程，注意不要将比例的前后项搞反。
【难度系数】
0.7
3.(2025·吉林)《孙子算经》中记载了这样一道题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问车几何?其译文为:有若干人乘车,若每3人同乘一车,最终剩余2辆空车;若每2人同乘一车,最终剩下9人因无车可乘而步行.问有多少辆车?为解决此问题,设共有x辆车,可列方程为.
答案
解：
已知共有x辆车，
根据总人数不变可列方程：
$3(x-2)=2x+9$
已知共有x辆车，
根据总人数不变可列方程：
$3(x-2)=2x+9$
解析
【分析】
解决这类列方程的应用题，核心是先找到题目中不变的量作为列等式的依据，本题中乘车的总人数是固定不变的。我们已设车的数量为x辆，接下来只需要分别用含x的式子表示出两种乘车规则对应的总人数，再让两个总人数相等就能得到方程。第一步分析第一种乘车情况：每3人共乘一车，剩余2辆空车，说明实际用来载人的车有(x-2)辆，总人数就是3乘实际使用的车辆数；第二步分析第二种乘车情况：每2人共乘一车，剩下9人步行，说明x辆车一共载了2x人，加上步行的9人就是总人数；最后根据总人数相等列等式即可。
【解析】
已知共有x辆车，
第一种乘车方式：每3人乘1车，剩余2辆空车，实际使用车辆为$(x-2)$辆，总人数可表示为$3(x-2)$；
第二种乘车方式：每2人乘1车，9人无车可乘步行，总人数可表示为$2x+9$；
因为两种乘车方式的总人数相等，因此可列方程为$3(x-2)=2x+9$。
【答案】
$3(x-2)=2x+9$
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系识别，列一元一次方程
【点评】
本题以古代经典数学问题为背景，考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住“总人数不变”这一隐含等量关系，属于基础常规题型，只要能准确用含未知数的式子表示两种场景下的总人数即可正确解题。
【难度系数】
0.8
解决这类列方程的应用题，核心是先找到题目中不变的量作为列等式的依据，本题中乘车的总人数是固定不变的。我们已设车的数量为x辆，接下来只需要分别用含x的式子表示出两种乘车规则对应的总人数，再让两个总人数相等就能得到方程。第一步分析第一种乘车情况：每3人共乘一车，剩余2辆空车，说明实际用来载人的车有(x-2)辆，总人数就是3乘实际使用的车辆数；第二步分析第二种乘车情况：每2人共乘一车，剩下9人步行，说明x辆车一共载了2x人，加上步行的9人就是总人数；最后根据总人数相等列等式即可。
【解析】
已知共有x辆车，
第一种乘车方式：每3人乘1车，剩余2辆空车，实际使用车辆为$(x-2)$辆，总人数可表示为$3(x-2)$；
第二种乘车方式：每2人乘1车，9人无车可乘步行，总人数可表示为$2x+9$；
因为两种乘车方式的总人数相等，因此可列方程为$3(x-2)=2x+9$。
【答案】
$3(x-2)=2x+9$
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系识别，列一元一次方程
【点评】
本题以古代经典数学问题为背景，考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住“总人数不变”这一隐含等量关系，属于基础常规题型，只要能准确用含未知数的式子表示两种场景下的总人数即可正确解题。
【难度系数】
0.8
