【例1】 如果$4x^2 + 3x - 5 = kx^2 - 20x + 20k$是关于$x$的一元一次方程，那么$k=$，方程的解是。
思路分析:要判断一个方程是不是一元一次方程,首先应先化为最简形式,原方程化为一般形式得$(4 - k)x^2 + 23x - 5 - 20k = 0$. 由一元一次方程的定义知$4 - k = 0$,解得$k = 4$,把$k = 4$代入方程得$23x - 85 = 0$,解得$x = \frac{85}{23}$.
答案:$4$ $x = \frac{85}{23}$

答案:$4$ $x = \frac{85}{23}$

【例2】 已知关于$x$的方程$\frac{a - x}{2} = \frac{bx - 3}{3}$的解是$x=2$，其中$a≠0$，且$b≠0$，求代数式$\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$的值。
思路分析：根据方程的解的定义找出$a,b$的关系，进而得出$\frac{a}{b}$和$\frac{b}{a}$的值。
解：把$x=2$代入方程得$\frac{a - 2}{2} = \frac{2b - 3}{3}$，化简得$3a=4b$，则$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$。所以原式$=\frac{4}{3} - \frac{3}{4} = \frac{7}{12}$。

解：把$x=2$代入方程得$\frac{a - 2}{2} = \frac{2b - 3}{3}$，化简得$3a=4b$，则$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$。所以原式$=\frac{4}{3} - \frac{3}{4} = \frac{7}{12}$。

【例3】 某班去商场为书法比赛获奖者买奖品，书包每个定价40元，文具盒每个定价8元，商场实行两种优惠方案：①买一个书包送一个文具盒；②按总价的九折付款。若该班需购买书包10个，购买文具盒若干个（不少于10个）。
(1)当买文具盒40个时，分别计算两种方案应付的费用。
(2)当购买文具盒多少个时，两种方案所付的费用相同？
(3)根据购买文具盒的个数，算出比较合算的优惠方案。
思路分析：根据两种优惠方案分别计算。
解：(1)第①种方案应付的费用为$10×40+(40-10)×8=640$(元)，第②种方案应付的费用为$(10×40+40×8)×90\%=648$(元)。即第①种方案应付的费用为640元，第②种方案应付的费用为648元。
(2)设购买文具盒$x$个时，两种方案所付的费用相同，由题意，得$10×40+(x-10)×8=(10×40+8x)×90\%$，解得$x=50$。即当购买文具盒50个时，两种方案所付的费用相同。
(3)由(1)(2)可得：当购买文具盒个数小于50个时，选择方案①比较合算；当购买文具盒个数等于50个时，两种方案所付的费用相同，两种方案都可以选择；当购买文具盒个数大

解：(1)第①种方案应付的费用为$10×40+(40-10)×8=640$(元)，第②种方案应付的费用为$(10×40+40×8)×90\%=648$(元)。即第①种方案应付的费用为640元，第②种方案应付的费用为648元。
(2)设购买文具盒$x$个时，两种方案所付的费用相同，由题意，得$10×40+(x-10)×8=(10×40+8x)×90\%$，解得$x=50$。即当购买文具盒50个时，两种方案所付的费用相同。
(3)由(1)(2)可得：当购买文具盒个数小于50个时，选择方案①比较合算；当购买文具盒个数等于50个时，两种方案所付的费用相同，两种方案都可以选择；当购买文具盒个数大于50个时，选择方案②比较合算。