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11.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(k-5)x+1-k=0$，其中$k$为常数.
(1)求证:无论$k$为何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知函数$y=x^2+(k-5)x+1-k$的图象不经过第三象限,求$k$的取值范围；
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求$k$的最大整数值.
(1)求证:无论$k$为何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知函数$y=x^2+(k-5)x+1-k$的图象不经过第三象限,求$k$的取值范围；
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求$k$的最大整数值.
答案
(1) 证明：$\because \Delta=(k-5)^2-4(1-k)=k^2-6k+21=(k-3)^2+12＞0$，
$\therefore$ 无论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：由题意知抛物线开口向上。
$\because \Delta=(k-3)^2+12＞0$，
$\therefore$ 抛物线与$x$轴有两个交点。
设抛物线与$x$轴的交点的横坐标分别为$x_1,x_2$，
$\because$ 抛物线不经过第三象限，
$\therefore x_1+x_2=5-k＞0,x_1· x_2=1-k\ge0$，
解得$k\le1$，即$k$的取值范围是$k\le1$。
(3) 解：设方程的两个根分别是$x_1',x_2'$，
根据题意得$(x_1'-3)(x_2'-3)＜0$，
即$x_1'· x_2'-3(x_1'+x_2')+9＜0$。
又$x_1'+x_2'=5-k,x_1'· x_2'=1-k$，
代入得$1-k-3(5-k)+9＜0$，解得$k＜\frac{5}{2}$，故$k$的最大整数值为2。
$\therefore$ 无论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：由题意知抛物线开口向上。
$\because \Delta=(k-3)^2+12＞0$，
$\therefore$ 抛物线与$x$轴有两个交点。
设抛物线与$x$轴的交点的横坐标分别为$x_1,x_2$，
$\because$ 抛物线不经过第三象限，
$\therefore x_1+x_2=5-k＞0,x_1· x_2=1-k\ge0$，
解得$k\le1$，即$k$的取值范围是$k\le1$。
(3) 解：设方程的两个根分别是$x_1',x_2'$，
根据题意得$(x_1'-3)(x_2'-3)＜0$，
即$x_1'· x_2'-3(x_1'+x_2')+9＜0$。
又$x_1'+x_2'=5-k,x_1'· x_2'=1-k$，
代入得$1-k-3(5-k)+9＜0$，解得$k＜\frac{5}{2}$，故$k$的最大整数值为2。
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴的交点的
横坐标
就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$
的根。答案
1. 横坐标
2. $ax^2+bx+c=0(a≠0)$
2. $ax^2+bx+c=0(a≠0)$
例 根据下面表格中的对应值判断:方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c$为常数)的一个解$x$的取值范围是(
A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
思路提示 由于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴的交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,所以本题实际上是确定抛物线与$x$轴交点横坐标的取值范围.
C
).A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
思路提示 由于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴的交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,所以本题实际上是确定抛物线与$x$轴交点横坐标的取值范围.
答案
例 C
变式训练 如图5-4-2，观察函数$y=x^2+3x-3$的图象，可以发现方程$x^2+3x-3=0$在0,1之间有根。取0,1的平均数0.5，当$x=0.5$时，$y＜0$，进一步可知这个根在0.5和1之间。则与方程$x^2+3x-3=0$的另一根更接近的是(
A.$-4.5$
B.$-4$
C.$-3.5$
D.$-3$
B
).A.$-4.5$
B.$-4$
C.$-3.5$
D.$-3$
答案
变式训练 B
