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8.阅读材料并解答下列问题.
把代数式通过配方等手段得到完全平方式,再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题,这种解题方法叫作配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题中有广泛的应用.
例如:利用配方法求$a^2 +6a +8$的最小值.
解:$a^2 +6a +8 = a^2 +6a +3^2 -3^2 +8 = (a+3)^2 -1$,
因为不论$a$取何值,$(a+3)^2$总是非负数,即$(a+3)^2 ≥ 0$,
所以$(a+3)^2 -1 ≥ -1$,所以当$a=-3$时,$a^2 +6a +8$有最小值$-1$.
(1)在横线上添上一个常数项,使式子成为完全平方式:$a^2 +14a + \_\_\_\_\_\_$;
(2)将$x^2 -10x +27$变形为$(x -m)^2 +n$的形式,并求出$x^2 -10x +27$的最小值;
(3)若代数式$N=-a^2 +8a +1$,试求$N$的最大值.
把代数式通过配方等手段得到完全平方式,再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题,这种解题方法叫作配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题中有广泛的应用.
例如:利用配方法求$a^2 +6a +8$的最小值.
解:$a^2 +6a +8 = a^2 +6a +3^2 -3^2 +8 = (a+3)^2 -1$,
因为不论$a$取何值,$(a+3)^2$总是非负数,即$(a+3)^2 ≥ 0$,
所以$(a+3)^2 -1 ≥ -1$,所以当$a=-3$时,$a^2 +6a +8$有最小值$-1$.
(1)在横线上添上一个常数项,使式子成为完全平方式:$a^2 +14a + \_\_\_\_\_\_$;
(2)将$x^2 -10x +27$变形为$(x -m)^2 +n$的形式,并求出$x^2 -10x +27$的最小值;
(3)若代数式$N=-a^2 +8a +1$,试求$N$的最大值.
答案
8.(1) 49
(2)解:$x^2 -10x +27 = x^2 -10x +25 +2=(x-5)^2 +2$.
$\because (x-5)^2≥0$,
$\therefore (x-5)^2 +2≥2$.
$\therefore x^2 -10x +27$的最小值是2.
(3)解:$N=-a^2 +8a +1 = -(a^2 -8a) +1 = -(a^2 -8a +16 -16) +1=-(a-4)^2 +17$.
$\because (a-4)^2≥0$,
$\therefore -(a-4)^2≤0$.
$\therefore -(a-4)^2 +17≤17$.
$\therefore -a^2 +8a +1$的最大值是17.
(2)解:$x^2 -10x +27 = x^2 -10x +25 +2=(x-5)^2 +2$.
$\because (x-5)^2≥0$,
$\therefore (x-5)^2 +2≥2$.
$\therefore x^2 -10x +27$的最小值是2.
(3)解:$N=-a^2 +8a +1 = -(a^2 -8a) +1 = -(a^2 -8a +16 -16) +1=-(a-4)^2 +17$.
$\because (a-4)^2≥0$,
$\therefore -(a-4)^2≤0$.
$\therefore -(a-4)^2 +17≤17$.
$\therefore -a^2 +8a +1$的最大值是17.
