(素材来源:教材 P168 数学活动)综合与实践.
平结是一种古老、实用的结索,以一线(或一物)为轴,将另一线的两端绕轴穿梭而成,是中国结的基本结之一.“平”有高低相等、不相上下之意,同时又有稳定的含义,给人以四平八稳之感.
利用纸条平结可以得到多种几何图形:
材料:等宽的纸条数根.
折法:如图 1,将两根等宽的纸条对折,穿插后重叠部分为正方形.

如图 2,取一根等宽的纸条打个结,拉紧,重叠部分即为正五边形.

如图 3,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得正六边形.

如图 4,把图 2 的纸条再打一个结,拉紧,重叠部分即为正七边形.

问题:
(1)若要编一个边长为 2 cm 的正方形,则所需纸条的宽度是多少厘米?
(2)若要编一个边长为 2 cm 的正六边形,则所需纸条的宽度是多少厘米?
(3)把图 4 的纸条再打一个结,拉紧,能得到正九边形吗?请你试一试,并求出正九边形各内角的度数.

1. 2 cm
2. √3 cm
3. 能得到正九边形.各内角的度数为 140°.

【分析】
(1) 第一问结合折叠特点思考：等宽纸条对折穿插后重叠部分为正方形，纸条的宽度和正方形的边长相等，直接代入正方形边长即可求出纸条宽度。
(2) 第二问可结合正六边形的性质求解：正六边形的边长等于其外接圆半径，纸条的宽度就是正六边形的边心距（中心到边的距离），构造直角三角形利用三角函数即可算出边心距，也就是纸条宽度。
(3) 第三问先看题干操作规律：正五边形打一个结得到正七边形，边数增加2，因此再打一个结可得到正九边形；再利用正多边形内角和公式计算每个内角的度数即可。
【解析】
(1) 两根等宽纸条对折穿插后重叠部分是正方形，纸条的宽度等于正方形的边长，已知正方形边长为2cm，因此所需纸条的宽度为2cm。
(2) 正六边形的边长等于其外接圆半径，取边长为2cm的正六边形的一边与中心构成等边三角形，过中心作该边的垂线，这条垂线就是正六边形的边心距，也就是所需纸条的宽度。
在构成的直角三角形中，一个锐角为60°，斜边为2cm，因此边心距$h=2×\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，即纸条宽度为$\sqrt{3}$ cm。
(3) 根据题干操作规律，每多打一个结，正多边形的边数增加2，正五边形打1个结得到正七边形，因此再打1个结可以得到正九边形。
根据正多边形内角和公式，正九边形的内角和为$(9-2)×180°=1260°$，正九边形所有内角相等，因此每个内角的度数为$1260°÷9=140°$。
【答案】
1. 2 cm
2. √3 cm
3. 能得到正九边形，各内角的度数为140°
【知识点】
正方形的性质，正多边形内角和，解直角三角形
【点评】
本题结合生活中的平结折纸操作考查正多边形相关知识，将实践操作与几何计算结合，要求学生能从实际情境中提炼出几何模型，侧重对基础公式和性质的灵活运用，趣味性较强。
【难度系数】
0.7