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1.先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于
0
的形式，再使这两个一次式分别等于0
，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.答案
1. 0 0
解析
【分析】
这道题考查因式分解法解一元二次方程的基本原理，我们可以从降次的核心目的倒推思路：要把二次方程转化为更易求解的一次方程，依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质。所以首先需要把方程变形为两个一次式相乘等于0的形式，再分别令两个一次式为0，就能得到两个一元一次方程，实现降次求解。
【解析】
根据因式分解法的定义：解一元二次方程时，先将方程整理为左边是两个一次因式的乘积、右边等于0的形式，再令这两个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程，通过解一次方程得到原二次方程的根，这种方法叫做因式分解法。因此两个空依次填入0、0。
【答案】
0；0
【知识点】
因式分解法；一元二次方程降次；乘积为0的性质
【点评】
本题考查因式分解法的基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握因式分解法的原理和步骤即可正确解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解法解一元二次方程的基本原理，我们可以从降次的核心目的倒推思路：要把二次方程转化为更易求解的一次方程，依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质。所以首先需要把方程变形为两个一次式相乘等于0的形式，再分别令两个一次式为0，就能得到两个一元一次方程，实现降次求解。
【解析】
根据因式分解法的定义：解一元二次方程时，先将方程整理为左边是两个一次因式的乘积、右边等于0的形式，再令这两个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程，通过解一次方程得到原二次方程的根，这种方法叫做因式分解法。因此两个空依次填入0、0。
【答案】
0；0
【知识点】
因式分解法；一元二次方程降次；乘积为0的性质
【点评】
本题考查因式分解法的基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握因式分解法的原理和步骤即可正确解答。
【难度系数】
0.9
2.因式分解法要先将方程一边化为两个
一次因式
相乘，另一边为0
，再分别使各一次因式
等于0
。答案
2. 一次因式 0 一次因式 0
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础步骤，解题核心是回忆因式分解法的原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0。基于该原理，解方程时首先要把方程变形为两个一次因式乘积等于0的形式，再令每个一次因式分别为0，转化为一元一次方程求解，据此就能对应填出空缺内容。
【解析】
因式分解法是解一元二次方程的常用方法，标准操作流程如下：
1. 先整理原方程，将方程的一边化为两个一次因式相乘的形式，另一边化为0；
2. 根据“若ab=0，则a=0或b=0”的零乘积性质，分别令两个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；
3. 求解这两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的解。
因此四个空依次填入：一次因式、0、一次因式、0。
【答案】
一次因式 0 一次因式 0
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 零乘积原理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对因式分解法解方程步骤的识记与理解，熟练掌握该方法的原理和操作步骤即可快速作答，是运用因式分解法快速求解一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础步骤，解题核心是回忆因式分解法的原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0。基于该原理，解方程时首先要把方程变形为两个一次因式乘积等于0的形式，再令每个一次因式分别为0，转化为一元一次方程求解，据此就能对应填出空缺内容。
【解析】
因式分解法是解一元二次方程的常用方法，标准操作流程如下：
1. 先整理原方程，将方程的一边化为两个一次因式相乘的形式，另一边化为0；
2. 根据“若ab=0，则a=0或b=0”的零乘积性质，分别令两个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；
3. 求解这两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的解。
因此四个空依次填入：一次因式、0、一次因式、0。
【答案】
一次因式 0 一次因式 0
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 零乘积原理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对因式分解法解方程步骤的识记与理解，熟练掌握该方法的原理和操作步骤即可快速作答，是运用因式分解法快速求解一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.9
·练习1 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 + 5x = 0$；
(2)$x^2 - 6x = -9$；
(3)$(x - 3)^2 - 4x^2 = 0$。
易错提醒 (1)在方程的右边没有化为0前，不能把方程左边进行因式分解；
(2)方程两边不能随意约去含未知数的代数式，如$x(x - 1) = x$，若约去$x$，则会漏掉$x = 0$这个根，应先移项，提公因式，将方程化为$x(x - 1 - 1) = 0$，即$x(x - 2) = 0$，所以$x = 0$，或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$。
(1)$x^2 + 5x = 0$；
(2)$x^2 - 6x = -9$；
(3)$(x - 3)^2 - 4x^2 = 0$。
易错提醒 (1)在方程的右边没有化为0前，不能把方程左边进行因式分解；
(2)方程两边不能随意约去含未知数的代数式，如$x(x - 1) = x$，若约去$x$，则会漏掉$x = 0$这个根，应先移项，提公因式，将方程化为$x(x - 1 - 1) = 0$，即$x(x - 2) = 0$，所以$x = 0$，或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$。
答案
练习1 (1) $x_1=0,x_2=-5$. (2) $x_1=x_2=3$. (3) $x_1=1,x_2=-3$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为“几个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将二次方程转化为两个一次方程求解，同时注意不能随意约去含未知数的代数式，避免漏根。
(1) 观察方程左边有公因式$x$，直接提取公因式即可将左边化为乘积形式；
(2) 先将方程移项使右边为0，左边刚好是完全平方式，利用完全平方公式因式分解即可；
(3) 方程左边是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的结构，利用平方差公式因式分解即可。
【解析】
(1) 对$x^2 + 5x = 0$提取公因式$x$，得：
$x(x + 5) = 0$
令每个因式为0，得：
$x = 0$ 或 $x + 5 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -5$
(2) 对$x^2 - 6x = -9$移项，使右边为0，得：
$x^2 - 6x + 9 = 0$
由完全平方公式因式分解，得：
$(x - 3)^2 = 0$
令因式为0，得：
$x - 3 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 3$
(3) 对$(x - 3)^2 - 4x^2 = 0$利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$因式分解，这里$a = x - 3$，$b = 2x$，得：
$[(x - 3) + 2x][(x - 3) - 2x] = 0$
化简两个括号内的式子，得：
$(3x - 3)(-x - 3) = 0$
令每个因式为0，得：
$3x - 3 = 0$ 或 $-x - 3 = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=-5$；(2) $x_1=x_2=3$；(3) $x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用题型，需要熟练掌握提公因式、完全平方公式、平方差公式三种常见的因式分解方法，解题前需先将方程右边化为0，注意不要随意约去含未知数的项，避免漏解。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为“几个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将二次方程转化为两个一次方程求解，同时注意不能随意约去含未知数的代数式，避免漏根。
(1) 观察方程左边有公因式$x$，直接提取公因式即可将左边化为乘积形式；
(2) 先将方程移项使右边为0，左边刚好是完全平方式，利用完全平方公式因式分解即可；
(3) 方程左边是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的结构，利用平方差公式因式分解即可。
【解析】
(1) 对$x^2 + 5x = 0$提取公因式$x$，得：
$x(x + 5) = 0$
令每个因式为0，得：
$x = 0$ 或 $x + 5 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -5$
(2) 对$x^2 - 6x = -9$移项，使右边为0，得：
$x^2 - 6x + 9 = 0$
由完全平方公式因式分解，得：
$(x - 3)^2 = 0$
令因式为0，得：
$x - 3 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 3$
(3) 对$(x - 3)^2 - 4x^2 = 0$利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$因式分解，这里$a = x - 3$，$b = 2x$，得：
$[(x - 3) + 2x][(x - 3) - 2x] = 0$
化简两个括号内的式子，得：
$(3x - 3)(-x - 3) = 0$
令每个因式为0，得：
$3x - 3 = 0$ 或 $-x - 3 = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=-5$；(2) $x_1=x_2=3$；(3) $x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用题型，需要熟练掌握提公因式、完全平方公式、平方差公式三种常见的因式分解方法，解题前需先将方程右边化为0，注意不要随意约去含未知数的项，避免漏解。
【难度系数】
0.8
3.
配方法、公式法
适用于所有一元二次方程，因式分解法
只在解某些一元二次方程时比较简便。答案
3. 配方法、公式法 因式分解法
解析
【分析】
解题时先回忆一元二次方程的常用解法，再梳理各类解法的适用范围：首先明确通用解法是对任意一元二次方程都可使用的，简便解法需要满足特定条件才能使用。配方法通过移项、配方将方程转化为完全平方式求解，对所有一元二次方程都可操作；公式法是由配方法推导得到的通用求根公式，确定方程各项系数后代入即可求解，因此也适用于所有一元二次方程。因式分解法的核心是将方程变形为“两个一次因式乘积为0”的形式再求根，仅当方程容易分解为两个一次因式乘积时使用才更简便，不具备普适性。
【解析】
一元二次方程的常见解法包括配方法、公式法、因式分解法。其中配方法、公式法对任意一元二次方程都适用；因式分解法需要方程可化为两个一次因式乘积为0的形式，仅在满足该条件时使用更简便，无法适用于所有一元二次方程。
【答案】
配方法、公式法；因式分解法
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法适用条件
【点评】
本题考查对一元二次方程不同解法适用范围的识记与理解，属于基础概念类习题，掌握各类解法的特点是解题时灵活选择最优方法的前提。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆一元二次方程的常用解法，再梳理各类解法的适用范围：首先明确通用解法是对任意一元二次方程都可使用的，简便解法需要满足特定条件才能使用。配方法通过移项、配方将方程转化为完全平方式求解，对所有一元二次方程都可操作；公式法是由配方法推导得到的通用求根公式，确定方程各项系数后代入即可求解，因此也适用于所有一元二次方程。因式分解法的核心是将方程变形为“两个一次因式乘积为0”的形式再求根，仅当方程容易分解为两个一次因式乘积时使用才更简便，不具备普适性。
【解析】
一元二次方程的常见解法包括配方法、公式法、因式分解法。其中配方法、公式法对任意一元二次方程都适用；因式分解法需要方程可化为两个一次因式乘积为0的形式，仅在满足该条件时使用更简便，无法适用于所有一元二次方程。
【答案】
配方法、公式法；因式分解法
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法适用条件
【点评】
本题考查对一元二次方程不同解法适用范围的识记与理解，属于基础概念类习题，掌握各类解法的特点是解题时灵活选择最优方法的前提。
【难度系数】
0.85
•练习2 我们学过的一元二次方程的解法有:①直接开平方法;②配方法;③公式法;④因式分解法.请认真观察下列几个方程,选出较为适当的方法.(均填序号)
(1)$x^2 +16x=5$,应选用方法
(2)$2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)$,应选用方法
(3)$2x^2 -3x -3=0$,应选用方法
(1)$x^2 +16x=5$,应选用方法
②
较适当;(2)$2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)$,应选用方法
④
较适当;(3)$2x^2 -3x -3=0$,应选用方法
③
较适当.答案
练习2 (1) ② (2) ④ (3) ③
解析
【分析】
解此类题需先明确一元二次方程四种解法的适用场景：①直接开平方法适用于左边为完全平方式、右边为非负常数的方程；②配方法适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的方程；③公式法适用于所有一元二次方程，尤其是难以配方、因式分解的方程；④因式分解法适用于方程左右两边有公因式或可整理为两个因式乘积等于0形式的方程。再结合每个方程的特征对应选择即可：
(1) 方程$x^2 +16x=5$的二次项系数为1，一次项系数是偶数，符合配方法的适用特征；
(2) 方程$2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)$两边有共同因式$(x+2)$，移项后可提公因式分解，符合因式分解法的适用特征；
(3) 方程$2x^2 -3x -3=0$无公因式、也难以快速配方，适合用公式法直接求解。
【解析】
(1) 方程$x^2 +16x=5$的二次项系数为1，一次项系数16是偶数，等式两边加$8^2=64$即可将左边凑为完全平方式，计算简便，故选用配方法。
(2) 方程$2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)$两边均含公因式$(x+2)$，移项后提取公因式即可转化为乘积为0的形式求解，无需展开计算，故选用因式分解法。
(3) 方程$2x^2 -3x -3=0$的二次项系数不为1，各项无公因式，若用配方法会出现分数运算较繁琐，直接代入求根公式求解更简便，故选用公式法。
【答案】
(1)②；(2)④；(3)③
【知识点】
一元二次方程解法选择，配方法，因式分解法
【点评】
本题核心是考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时要先观察方程的结构特征，优先选择最简便的解法，既能提高解题速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
解此类题需先明确一元二次方程四种解法的适用场景：①直接开平方法适用于左边为完全平方式、右边为非负常数的方程；②配方法适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的方程；③公式法适用于所有一元二次方程，尤其是难以配方、因式分解的方程；④因式分解法适用于方程左右两边有公因式或可整理为两个因式乘积等于0形式的方程。再结合每个方程的特征对应选择即可：
(1) 方程$x^2 +16x=5$的二次项系数为1，一次项系数是偶数，符合配方法的适用特征；
(2) 方程$2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)$两边有共同因式$(x+2)$，移项后可提公因式分解，符合因式分解法的适用特征；
(3) 方程$2x^2 -3x -3=0$无公因式、也难以快速配方，适合用公式法直接求解。
【解析】
(1) 方程$x^2 +16x=5$的二次项系数为1，一次项系数16是偶数，等式两边加$8^2=64$即可将左边凑为完全平方式，计算简便，故选用配方法。
(2) 方程$2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)$两边均含公因式$(x+2)$，移项后提取公因式即可转化为乘积为0的形式求解，无需展开计算，故选用因式分解法。
(3) 方程$2x^2 -3x -3=0$的二次项系数不为1，各项无公因式，若用配方法会出现分数运算较繁琐，直接代入求根公式求解更简便，故选用公式法。
【答案】
(1)②；(2)④；(3)③
【知识点】
一元二次方程解法选择，配方法，因式分解法
【点评】
本题核心是考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时要先观察方程的结构特征，优先选择最简便的解法，既能提高解题速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
1.解方程$(x+5)^2 -3(x+5)=0$，较简便的方法是（
A.因式分解法
B.配方法
C.公式法
D.以上三种方法都简便
A
）.A.因式分解法
B.配方法
C.公式法
D.以上三种方法都简便
答案
1. A
解析
【分析】
首先观察方程的结构特征，方程左边两项都含有相同的因式$(x+5)$，可将$(x+5)$看作一个整体，不需要展开方程，直接提取公因式即可完成降次求解。对比配方法需要先整理方程再配方、公式法需要先确定各项系数再代入公式的步骤，因式分解法步骤最少、计算最简便，因此优先选择因式分解法。
【解析】
观察方程$(x+5)^2 -3(x+5)=0$的左边，两项均含有公因式$(x+5)$，将$(x+5)$看作整体提取公因式，可得：
$(x+5)(x+5-3)=0$
整理得$(x+5)(x+2)=0$，直接可得方程的解为$x_1=-5$，$x_2=-2$。
该方法无需展开方程、无需代入公式，计算步骤远少于配方法和公式法，是最简便的解法，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程解法选择
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程简便解法的选择，解题核心是学会观察方程的结构特征，当方程中出现相同的整体因式时，优先选择因式分解法可大幅简化计算。
【难度系数】
0.9
首先观察方程的结构特征，方程左边两项都含有相同的因式$(x+5)$，可将$(x+5)$看作一个整体，不需要展开方程，直接提取公因式即可完成降次求解。对比配方法需要先整理方程再配方、公式法需要先确定各项系数再代入公式的步骤，因式分解法步骤最少、计算最简便，因此优先选择因式分解法。
【解析】
观察方程$(x+5)^2 -3(x+5)=0$的左边，两项均含有公因式$(x+5)$，将$(x+5)$看作整体提取公因式，可得：
$(x+5)(x+5-3)=0$
整理得$(x+5)(x+2)=0$，直接可得方程的解为$x_1=-5$，$x_2=-2$。
该方法无需展开方程、无需代入公式，计算步骤远少于配方法和公式法，是最简便的解法，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程解法选择
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程简便解法的选择，解题核心是学会观察方程的结构特征，当方程中出现相同的整体因式时，优先选择因式分解法可大幅简化计算。
【难度系数】
0.9
2.方程$(x-1)(x+3)=x-1$的根是(
A.$x=1$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x_1=-2,x_2=1$
D.$x_1=-3,x_2=0$
C
).A.$x=1$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x_1=-2,x_2=1$
D.$x_1=-3,x_2=0$
答案
2. C
解析
【分析】
解这道题首先要注意不能直接在方程两边同时除以$(x-1)$，否则会漏掉$x=1$这个根。正确思路是先通过移项把方程右边化为0，再提取公因式$(x-1)$将方程左边分解为两个一次因式的乘积，最后令每个因式等于0，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-1)(x+3)-(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x-1)[(x+3)-1]=0$
化简括号内的式子，得：
$(x-1)(x+2)=0$
则有$x-1=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
因此方程的根为$x_1=-2,x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提取公因式，一元二次方程的根
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题，解题核心是掌握因式分解法的步骤，注意不要直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误，熟练运用提取公因式分解因式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要注意不能直接在方程两边同时除以$(x-1)$，否则会漏掉$x=1$这个根。正确思路是先通过移项把方程右边化为0，再提取公因式$(x-1)$将方程左边分解为两个一次因式的乘积，最后令每个因式等于0，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-1)(x+3)-(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x-1)[(x+3)-1]=0$
化简括号内的式子，得：
$(x-1)(x+2)=0$
则有$x-1=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
因此方程的根为$x_1=-2,x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提取公因式，一元二次方程的根
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题，解题核心是掌握因式分解法的步骤，注意不要直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误，熟练运用提取公因式分解因式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.一个三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程$(x-2)(x-7)=0$的根，则这个三角形的周长是（
A.12
B.12或17
C.17
D.19
C
）.A.12
B.12或17
C.17
D.19
答案
3. C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要求出方程的根得到第三边的可能取值，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对根进行取舍，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
1. 解方程求第三边的可能值：
已知方程$(x-2)(x-7)=0$，根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得$x-2=0$或$x-7=0$，解得$x_1=2$，$x_2=7$，即第三边的可能长度为2或7。
2. 根据三角形三边关系取舍：
若第三边长为2，此时三边长为4、6、2，由于$4+2=6$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，因此不能构成三角形，舍去该值；
若第三边长为7，此时三边长为4、6、7，$4+6＞7$，$4+7＞6$，$6+7＞4$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 计算周长：
三角形周长为$4+6+7=17$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程的解与三角形三边关系的综合题，难度不大，易错点是容易忽略三角形三边的限制条件，直接将两个根代入计算周长，误选B选项，解题时要注意对求得的边长进行验证。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要求出方程的根得到第三边的可能取值，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对根进行取舍，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
1. 解方程求第三边的可能值：
已知方程$(x-2)(x-7)=0$，根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得$x-2=0$或$x-7=0$，解得$x_1=2$，$x_2=7$，即第三边的可能长度为2或7。
2. 根据三角形三边关系取舍：
若第三边长为2，此时三边长为4、6、2，由于$4+2=6$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，因此不能构成三角形，舍去该值；
若第三边长为7，此时三边长为4、6、7，$4+6＞7$，$4+7＞6$，$6+7＞4$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 计算周长：
三角形周长为$4+6+7=17$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程的解与三角形三边关系的综合题，难度不大，易错点是容易忽略三角形三边的限制条件，直接将两个根代入计算周长，误选B选项，解题时要注意对求得的边长进行验证。
【难度系数】
0.7
4.一元二次方程$4x(x-2)=x-2$的解为
$x_1=2,x_2=\frac{1}{4}$
。答案
4. $x_1=2,x_2=\frac{1}{4}$
解析
【分析】
观察方程结构，左右两侧都含有公因式$(x-2)$，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$的解。正确思路是先移项，将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x-2)$，把原方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得$4x(x-2)-(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(4x-1)=0$，
所以$x-2=0$或$4x-1=0$，
分别解这两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，解得$x_1=2$；
当$4x-1=0$时，$4x=1$，解得$x_2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$x_1=2,x_2=\frac{1}{4}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，解题核心是避免直接两边除以含未知数的整式造成漏根，熟练掌握提取公因式的方法即可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，左右两侧都含有公因式$(x-2)$，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$的解。正确思路是先移项，将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x-2)$，把原方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得$4x(x-2)-(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(4x-1)=0$，
所以$x-2=0$或$4x-1=0$，
分别解这两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，解得$x_1=2$；
当$4x-1=0$时，$4x=1$，解得$x_2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$x_1=2,x_2=\frac{1}{4}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，解题核心是避免直接两边除以含未知数的整式造成漏根，熟练掌握提取公因式的方法即可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
5.若$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 1) - 6 = 0$，则$x^2 + y^2$的值是
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
观察方程结构可知，两个因式中都含有整体$x^2+y^2$，因此可采用换元法简化计算：先设$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解，最后舍去不符合取值范围的根即可得到结果。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由平方的非负性可得$t≥0$，
原方程可变形为：
$t(t-1) - 6 = 0$
展开整理得：$t^2 - t - 6 = 0$
用因式分解法解方程：
$(t - 3)(t + 2) = 0$
解得$t_1=3$，$t_2=-2$
$\because t≥0$，$\therefore t=-2$不符合题意，舍去
$\therefore x^2 + y^2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
换元法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；非负数的性质
【点评】
本题重点考查换元法在解方程中的应用，解题时需注意隐含条件$x^2+y^2≥0$，避免未对根进行取舍导致错解。
【难度系数】
0.7
观察方程结构可知，两个因式中都含有整体$x^2+y^2$，因此可采用换元法简化计算：先设$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解，最后舍去不符合取值范围的根即可得到结果。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由平方的非负性可得$t≥0$，
原方程可变形为：
$t(t-1) - 6 = 0$
展开整理得：$t^2 - t - 6 = 0$
用因式分解法解方程：
$(t - 3)(t + 2) = 0$
解得$t_1=3$，$t_2=-2$
$\because t≥0$，$\therefore t=-2$不符合题意，舍去
$\therefore x^2 + y^2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
换元法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；非负数的性质
【点评】
本题重点考查换元法在解方程中的应用，解题时需注意隐含条件$x^2+y^2≥0$，避免未对根进行取舍导致错解。
【难度系数】
0.7
