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3.关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别为$x_1=$
$$，$x_2=$
$$，下列判断一定正确的是(
A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=-1$
D.$\frac{c}{a}=1$
$$，$x_2=$$$，下列判断一定正确的是(C
).A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=-1$
D.$\frac{c}{a}=1$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。题目已经给出了方程两个根的表达式，我们只需要将已知根的结构和求根公式进行对应，找到根号内被开方数的等量关系，再化简计算即可判断选项。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
对比题目给出的两根$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2a}$、$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2a}$，可得根号内的被开方数相等，即：
$b^2-4ac = b^2+4$
等式两边同时减去$b^2$，得：
$-4ac=4$
两边同时除以$-4$，化简得$ac=-1$，故C选项正确。
对其他选项验证：
A选项：$a$可以取任意不为0的数，只要满足$ac=-1$即可，如$a=1,c=-1$也符合，故A错误；
B选项：同理$c$的值随$a$变化，不一定为1，故B错误；
D选项：若$\frac{c}{a}=1$，则$c=a$，$ac=a^2\ge0$，与$ac=-1$矛盾，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式、等式的性质
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的掌握，只需将已知根与求根公式对应，找到等量关系化简即可，解题时注意$a\ne0$的隐含条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。题目已经给出了方程两个根的表达式，我们只需要将已知根的结构和求根公式进行对应，找到根号内被开方数的等量关系，再化简计算即可判断选项。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
对比题目给出的两根$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2a}$、$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2a}$，可得根号内的被开方数相等，即：
$b^2-4ac = b^2+4$
等式两边同时减去$b^2$，得：
$-4ac=4$
两边同时除以$-4$，化简得$ac=-1$，故C选项正确。
对其他选项验证：
A选项：$a$可以取任意不为0的数，只要满足$ac=-1$即可，如$a=1,c=-1$也符合，故A错误；
B选项：同理$c$的值随$a$变化，不一定为1，故B错误；
D选项：若$\frac{c}{a}=1$，则$c=a$，$ac=a^2\ge0$，与$ac=-1$矛盾，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式、等式的性质
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的掌握，只需将已知根与求根公式对应，找到等量关系化简即可，解题时注意$a\ne0$的隐含条件。
【难度系数】
0.7
4.一元二次方程$x^2 -6x=9$的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
).A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
4. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行判断，解题思路如下：第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第二步确定$a、b、c$的取值，第三步计算判别式$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程无实数根。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 6x - 9 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-6$，常数项$c=-9$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(-9) = 36 + 36 = 72$
因为$\Delta=72＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题的易错点是移项时未改变常数项的符号，导致系数取值错误，只要正确整理方程、准确计算判别式即可快速得出结果，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行判断，解题思路如下：第一步先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第二步确定$a、b、c$的取值，第三步计算判别式$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程无实数根。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 6x - 9 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-6$，常数项$c=-9$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(-9) = 36 + 36 = 72$
因为$\Delta=72＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题的易错点是移项时未改变常数项的符号，导致系数取值错误，只要正确整理方程、准确计算判别式即可快速得出结果，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 -6x +4=0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是
$a＜\frac{9}{4}且a≠0$
.答案
5. $a＜\frac{9}{4}且a≠0$
解析
【分析】
首先，题目明确是关于x的一元二次方程，要先满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$a≠0$；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式$\Delta＞0$，代入判别式公式列不等式求解，最后结合两个条件即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 -6x +4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a≠0$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=-6$，常数项$c=4$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4× a ×4 = 36 - 16a ＞ 0$
解不等式$36-16a＞0$：
移项得$16a ＜ 36$，两边同时除以16得$a ＜ \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$
综上，$a$的取值范围是$a ＜ \frac{9}{4}$且$a≠0$
【答案】
$a＜\frac{9}{4}且a≠0$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；不等式求解
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，仅通过判别式求解参数范围，解题时要先满足方程的类型要求，再结合根的情况列不等式计算。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确是关于x的一元二次方程，要先满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$a≠0$；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式$\Delta＞0$，代入判别式公式列不等式求解，最后结合两个条件即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 -6x +4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a≠0$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=-6$，常数项$c=4$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4× a ×4 = 36 - 16a ＞ 0$
解不等式$36-16a＞0$：
移项得$16a ＜ 36$，两边同时除以16得$a ＜ \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$
综上，$a$的取值范围是$a ＜ \frac{9}{4}$且$a≠0$
【答案】
$a＜\frac{9}{4}且a≠0$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；不等式求解
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，仅通过判别式求解参数范围，解题时要先满足方程的类型要求，再结合根的情况列不等式计算。
【难度系数】
0.7
6.用公式法解下列方程：
(1)$(2x+1)(2x-1)=2\sqrt{2}x$；
(2)$3x^2-(x+2)^2+2x=0$。
(1)$(2x+1)(2x-1)=2\sqrt{2}x$；
(2)$3x^2-(x+2)^2+2x=0$。
答案
(1) $x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4},x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
(2) $x_1=2,x_2=-1$.
(2) $x_1=2,x_2=-1$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的核心思路是先将方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再按固定步骤计算：①确定$a,b,c$的值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果并化简。
对于第(1)题，左边先利用平方差公式展开，再移项合并为一般式；第(2)题先展开完全平方，再合并同类项得到一般式，之后按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 先化简原方程：
左边利用平方差公式展开得$4x^2-1=2\sqrt{2}x$，
移项整理为一般形式：$4x^2 - 2\sqrt{2}x - 1 = 0$，
其中$a=4$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4×4×(-1) = 8 + 16 = 24 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式：
$x = \frac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{24}}{2×4} = \frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{4}$。
(2) 先化简原方程：
展开完全平方得$3x^2 - (x^2+4x+4) + 2x = 0$，
去括号、合并同类项整理为一般形式：$2x^2 - 2x - 4 = 0$，两边同除以2简化得$x^2 - x - 2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式：
$x = \frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×1} = \frac{1\pm3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4},x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
(2) $x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程一般式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题重点考察公式法解一元二次方程的规范步骤，解题的关键是正确将非标准形式的方程化简为一般形式，确定系数时要注意符号，计算判别式和求根时要细心化简，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程的核心思路是先将方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再按固定步骤计算：①确定$a,b,c$的值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果并化简。
对于第(1)题，左边先利用平方差公式展开，再移项合并为一般式；第(2)题先展开完全平方，再合并同类项得到一般式，之后按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 先化简原方程：
左边利用平方差公式展开得$4x^2-1=2\sqrt{2}x$，
移项整理为一般形式：$4x^2 - 2\sqrt{2}x - 1 = 0$，
其中$a=4$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4×4×(-1) = 8 + 16 = 24 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式：
$x = \frac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{24}}{2×4} = \frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{4}$。
(2) 先化简原方程：
展开完全平方得$3x^2 - (x^2+4x+4) + 2x = 0$，
去括号、合并同类项整理为一般形式：$2x^2 - 2x - 4 = 0$，两边同除以2简化得$x^2 - x - 2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式：
$x = \frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×1} = \frac{1\pm3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4},x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
(2) $x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程一般式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题重点考察公式法解一元二次方程的规范步骤，解题的关键是正确将非标准形式的方程化简为一般形式，确定系数时要注意符号，计算判别式和求根时要细心化简，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
7.如果一元二次方程$x^2 + px + q = 0$能用公式法求解，那么必须满足的条件是（
A.$p^2 -4q≥0$
B.$p^2 -4q≤0$
C.$p^2 -4q＞0$
D.$p^2 -4q＜0$
A
）。A.$p^2 -4q≥0$
B.$p^2 -4q≤0$
C.$p^2 -4q＞0$
D.$p^2 -4q＜0$
答案
7. A
解析
【分析】
本题考查公式法解一元二次方程的适用条件，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程求根公式的适用前提是方程存在实数根；第二步，回忆一元二次方程根的判别式与实数根的关系：当判别式Δ≥0时，方程有两个实数根（两个不等或两个相等实根），此时可使用公式法求解；第三步，结合题干给出的方程写出对应的判别式表达式，即可得到满足的条件。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，若使用公式法求解，需保证方程有实数根，即根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
本题中方程为$x^2 + px + q = 0$，对应系数$a=1$，$b=p$，$c=q$，因此判别式$\Delta = p^2 - 4×1× q = p^2-4q$。
要使方程能用公式法求解，需满足$\Delta = p^2-4q≥0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对公式法适用条件的掌握，牢记根的判别式的取值和方程实数根的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查公式法解一元二次方程的适用条件，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程求根公式的适用前提是方程存在实数根；第二步，回忆一元二次方程根的判别式与实数根的关系：当判别式Δ≥0时，方程有两个实数根（两个不等或两个相等实根），此时可使用公式法求解；第三步，结合题干给出的方程写出对应的判别式表达式，即可得到满足的条件。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，若使用公式法求解，需保证方程有实数根，即根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。
本题中方程为$x^2 + px + q = 0$，对应系数$a=1$，$b=p$，$c=q$，因此判别式$\Delta = p^2 - 4×1× q = p^2-4q$。
要使方程能用公式法求解，需满足$\Delta = p^2-4q≥0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对公式法适用条件的掌握，牢记根的判别式的取值和方程实数根的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
8.已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - bx + c = 0$，其中$b,c$在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
).A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
8. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式求解。首先写出对应方程的判别式表达式，再结合数轴判断b、c的正负性，进而推导判别式的符号，最后根据判别式符号确定根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - bx + c = 0$，其根的判别式为：
$\Delta = (-b)^2 - 4×2× c = b^2 - 8c$
由数轴可得：$b＞0$，$c＜0$。
因此$b^2＞0$，$-8c＞0$（负数乘负数结果为正），则$\Delta = b^2 - 8c ＞ 0$。
根据一元二次方程根的判别式性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，数轴的认识
【点评】
本题结合数轴考查一元二次方程根的判别式的应用，解题核心是先通过数轴确定b、c的符号，再正确计算判别式并判断其符号，是基础的综合类题型。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式求解。首先写出对应方程的判别式表达式，再结合数轴判断b、c的正负性，进而推导判别式的符号，最后根据判别式符号确定根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - bx + c = 0$，其根的判别式为：
$\Delta = (-b)^2 - 4×2× c = b^2 - 8c$
由数轴可得：$b＞0$，$c＜0$。
因此$b^2＞0$，$-8c＞0$（负数乘负数结果为正），则$\Delta = b^2 - 8c ＞ 0$。
根据一元二次方程根的判别式性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，数轴的认识
【点评】
本题结合数轴考查一元二次方程根的判别式的应用，解题核心是先通过数轴确定b、c的符号，再正确计算判别式并判断其符号，是基础的综合类题型。
【难度系数】
0.8
9.若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 -2kx +k -3=0$有实数根，则$k$的取值范围为（
A.$k≥0$
B.$k≥0$且$k≠1$
C.$k≥\frac{3}{4}$
D.$k≥\frac{3}{4}$且$k≠1$
D
）.A.$k≥0$
B.$k≥0$且$k≠1$
C.$k≥\frac{3}{4}$
D.$k≥\frac{3}{4}$且$k≠1$
答案
9. D
解析
【分析】
要解决本题，需同时满足两个条件：一是题干明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。先分别根据两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(k-1)x^2 -2kx +k -3=0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k-1$，$b=-2k$，$c=k-3$，代入得：
$\Delta = (-2k)^2 - 4×(k-1)×(k-3)$
$=4k^2 - 4(k^2 - 4k + 3)$
$=4k^2 -4k^2 +16k -12$
$=16k -12$
令$16k -12 ≥ 0$，解得$k ≥ \frac{3}{4}$
综合两个条件，k的取值范围为$k ≥ \frac{3}{4}$且$k≠1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程参数取值问题的典型考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，直接仅根据判别式求解错选C，解题时需注意审题，明确方程类型的隐含限制。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需同时满足两个条件：一是题干明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。先分别根据两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(k-1)x^2 -2kx +k -3=0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k-1$，$b=-2k$，$c=k-3$，代入得：
$\Delta = (-2k)^2 - 4×(k-1)×(k-3)$
$=4k^2 - 4(k^2 - 4k + 3)$
$=4k^2 -4k^2 +16k -12$
$=16k -12$
令$16k -12 ≥ 0$，解得$k ≥ \frac{3}{4}$
综合两个条件，k的取值范围为$k ≥ \frac{3}{4}$且$k≠1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程参数取值问题的典型考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，直接仅根据判别式求解错选C，解题时需注意审题，明确方程类型的隐含限制。
【难度系数】
0.6
10.下面是小明解一元二次方程$x^2 -5x=-4$的过程：
因为a=1,b=-5,c=-4，……第一步
所以$b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×(-4)=41. ……$第二步所以$x=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}. ……………………$第三步
所以$x_1=\frac{5+\sqrt{41}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{41}}{2}. …$第四步
小明是从第___________步开始出错的。
因为a=1,b=-5,c=-4，……第一步
所以$b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×(-4)=41. ……$第二步所以$x=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}. ……………………$第三步
所以$x_1=\frac{5+\sqrt{41}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{41}}{2}. …$第四步
小明是从第___________步开始出错的。
答案
一
解析
【分析】
要判断小明解题的错误步骤，首先回忆公式法解一元二次方程的前提：必须先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$。我们先处理原方程，将其化为一般形式后对比小明的步骤即可找到错误位置。
【解析】
用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般形式：
原方程$x^2 -5x=-4$，移项可得$x^2 -5x +4=0$，此时对应系数为$a=1$，$b=-5$，$c=4$。
小明未将方程化为一般形式，直接认定常数项$c=-4$，不符合公式法的使用要求，因此从第一步就开始出错。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的基础要求，解题时要先将方程转化为一般形式再确定各项系数，尤其要注意移项时的符号变化，避免系数取值错误。
【难度系数】
0.8
要判断小明解题的错误步骤，首先回忆公式法解一元二次方程的前提：必须先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$。我们先处理原方程，将其化为一般形式后对比小明的步骤即可找到错误位置。
【解析】
用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般形式：
原方程$x^2 -5x=-4$，移项可得$x^2 -5x +4=0$，此时对应系数为$a=1$，$b=-5$，$c=4$。
小明未将方程化为一般形式，直接认定常数项$c=-4$，不符合公式法的使用要求，因此从第一步就开始出错。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的基础要求，解题时要先将方程转化为一般形式再确定各项系数，尤其要注意移项时的符号变化，避免系数取值错误。
【难度系数】
0.8
11.定义新运算：$a\otimes b=a^2-ab$，例如：$2\otimes 3=2^2-2× 3=-2$.若关于$x$的方程$x\otimes 2-n=0$有两个实数根，则$n$的取值范围是
$n≥-1$
.答案
11. $n≥-1$
解析
【分析】
解题时首先要根据题目给出的新运算定义，将$x\otimes2$转化为常规的代数式，再代入给定的方程整理为一元二次方程的一般形式；题目说明方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta≥0$时方程有两个实数根，代入对应系数列不等式，最后解不等式即可得到$n$的取值范围。
【解析】
根据新运算定义$a\otimes b=a^2-ab$，可得：
$x\otimes 2 = x^2 - x×2 = x^2 - 2x$
将其代入方程$x\otimes 2 -n=0$，整理得：
$x^2 - 2x -n = 0$
∵该方程是关于$x$的一元二次方程，且有两个实数根
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-n$
代入得：
$(-2)^2 - 4×1×(-n) ≥ 0$
计算化简：
$4 + 4n ≥ 0$
$4n ≥ -4$
解得：$n ≥ -1$
【答案】
$n≥-1$
【知识点】
定义新运算，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程根的判别式结合考查，解题的核心是正确转化新运算为常规代数形式，再结合根的情况列不等式求解，属于基础综合题，侧重对基础公式和规则的应用考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据题目给出的新运算定义，将$x\otimes2$转化为常规的代数式，再代入给定的方程整理为一元二次方程的一般形式；题目说明方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta≥0$时方程有两个实数根，代入对应系数列不等式，最后解不等式即可得到$n$的取值范围。
【解析】
根据新运算定义$a\otimes b=a^2-ab$，可得：
$x\otimes 2 = x^2 - x×2 = x^2 - 2x$
将其代入方程$x\otimes 2 -n=0$，整理得：
$x^2 - 2x -n = 0$
∵该方程是关于$x$的一元二次方程，且有两个实数根
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-n$
代入得：
$(-2)^2 - 4×1×(-n) ≥ 0$
计算化简：
$4 + 4n ≥ 0$
$4n ≥ -4$
解得：$n ≥ -1$
【答案】
$n≥-1$
【知识点】
定义新运算，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程根的判别式结合考查，解题的核心是正确转化新运算为常规代数形式，再结合根的情况列不等式求解，属于基础综合题，侧重对基础公式和规则的应用考查。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x$的方程$x^2 - (m+1)x + (m - \frac{1}{4}) = 0$
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)当$0 ＜ m ＜ 5$，且$m$取整数时，方程存在两个有理数根，求$m$的值和这两个有理数根。
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)当$0 ＜ m ＜ 5$，且$m$取整数时，方程存在两个有理数根，求$m$的值和这两个有理数根。
答案
(1) 略
(2) $m$的值为1,这两个有理数根为$\frac{3}{2}$和$\frac{1}{2}$.
(2) $m$的值为1,这两个有理数根为$\frac{3}{2}$和$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明方程的判别式Δ恒大于0即可，先确定方程各项系数，代入判别式公式化简，判断化简结果的正负性即可得证。
(2) 首先根据0＜m＜5且m为整数，得出m的所有可能取值；再根据方程有两个有理数根的条件：判别式必须是完全平方数，逐一验证m的取值，找到符合条件的m，最后代入原方程求解两个有理数根。
【解析】
(1) 证明：在方程$x^2 - (m+1)x + (m - \frac{1}{4}) = 0$中，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m+1)$，常数项$c=m-\frac{1}{4}$，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+1)]^2 - 4×1×(m - \frac{1}{4})$
$= m^2 + 2m + 1 - 4m + 1$
$= m^2 - 2m + 2$
$= (m-1)^2 + 1$，
∵无论m取任意实数，$(m-1)^2 ≥ 0$恒成立，
∴$(m-1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
∵$0 ＜ m ＜ 5$，且m为整数，
∴m的可能取值为1、2、3、4，
若方程存在两个有理数根，则判别式$\Delta$必须是完全平方数，
由(1)知$\Delta = (m-1)^2 + 1$，分别代入验证：
当m=1时，$\Delta = 0 + 1 = 1 = 1^2$，是完全平方数，符合要求；
当m=2时，$\Delta = 1 + 1 = 2$，不是完全平方数，不符合；
当m=3时，$\Delta = 4 + 1 = 5$，不是完全平方数，不符合；
当m=4时，$\Delta = 9 + 1 = 10$，不是完全平方数，不符合；
综上，符合条件的m=1，
将m=1代入原方程得：$x^2 - 2x + \frac{3}{4} = 0$，
用公式法求解：$x = \frac{2 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{2 \pm 1}{2}$，
解得$x_1 = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$，$x_2 = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $m$的值为1，这两个有理数根为$\frac{3}{2}$和$\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
3. 完全平方数的性质
【点评】
本题主要考查一元二次方程根的判别式和根的情况的对应关系，结合整数、有理数的性质求解参数，解题时需牢记Δ＞0对应两个不相等的实数根，若根为有理数则Δ必须为完全平方数。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明方程的判别式Δ恒大于0即可，先确定方程各项系数，代入判别式公式化简，判断化简结果的正负性即可得证。
(2) 首先根据0＜m＜5且m为整数，得出m的所有可能取值；再根据方程有两个有理数根的条件：判别式必须是完全平方数，逐一验证m的取值，找到符合条件的m，最后代入原方程求解两个有理数根。
【解析】
(1) 证明：在方程$x^2 - (m+1)x + (m - \frac{1}{4}) = 0$中，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m+1)$，常数项$c=m-\frac{1}{4}$，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+1)]^2 - 4×1×(m - \frac{1}{4})$
$= m^2 + 2m + 1 - 4m + 1$
$= m^2 - 2m + 2$
$= (m-1)^2 + 1$，
∵无论m取任意实数，$(m-1)^2 ≥ 0$恒成立，
∴$(m-1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
∵$0 ＜ m ＜ 5$，且m为整数，
∴m的可能取值为1、2、3、4，
若方程存在两个有理数根，则判别式$\Delta$必须是完全平方数，
由(1)知$\Delta = (m-1)^2 + 1$，分别代入验证：
当m=1时，$\Delta = 0 + 1 = 1 = 1^2$，是完全平方数，符合要求；
当m=2时，$\Delta = 1 + 1 = 2$，不是完全平方数，不符合；
当m=3时，$\Delta = 4 + 1 = 5$，不是完全平方数，不符合；
当m=4时，$\Delta = 9 + 1 = 10$，不是完全平方数，不符合；
综上，符合条件的m=1，
将m=1代入原方程得：$x^2 - 2x + \frac{3}{4} = 0$，
用公式法求解：$x = \frac{2 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{2 \pm 1}{2}$，
解得$x_1 = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$，$x_2 = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $m$的值为1，这两个有理数根为$\frac{3}{2}$和$\frac{1}{2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
3. 完全平方数的性质
【点评】
本题主要考查一元二次方程根的判别式和根的情况的对应关系，结合整数、有理数的性质求解参数，解题时需牢记Δ＞0对应两个不相等的实数根，若根为有理数则Δ必须为完全平方数。
【难度系数】
0.7
