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1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$。
（1）若$a=3$，$b=4$，则$c=$
（2）若$a=5$，$c=13$，则$b=$
（3）若$b=2$，$c=3$，则$a=$
（1）若$a=3$，$b=4$，则$c=$
5
。（2）若$a=5$，$c=13$，则$b=$
12
。（3）若$b=2$，$c=3$，则$a=$
$\sqrt{5}$
。答案
1. (1) 5 (2) 12 (3) $\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知两边求第三边的基础计算题，核心解题依据是勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，公式为$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a、b$为两条直角边）。解题时先明确已知边是直角边还是斜边，再对勾股定理变形求解：求斜边直接用两直角边平方和开算术平方根，求直角边用斜边平方减去已知直角边平方后开算术平方根，注意边长为正数，仅取正根。
【解析】
已知$△ ABC$中$∠ C=90°$，故$c$为斜边，$a、b$为直角边，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$计算：
（1）已知$a=3$，$b=4$，求斜边$c$：
$c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
因为边长为正数，所以$c = \sqrt{25} = 5$
（2）已知$a=5$，$c=13$，求直角边$b$：
$b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
因为边长为正数，所以$b = \sqrt{144} = 12$
（3）已知$b=2$，$c=3$，求直角边$a$：
$a^2 = c^2 - b^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$
因为边长为正数，所以$a = \sqrt{5}$
【答案】
(1) 5 (2) 12 (3) $\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理、算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确区分直角三角形的直角边和斜边，正确对勾股定理进行变形计算，注意边长的非负性，需熟练掌握勾股定理的公式及变形用法，为后续复杂的几何计算打好基础。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中已知两边求第三边的基础计算题，核心解题依据是勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，公式为$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a、b$为两条直角边）。解题时先明确已知边是直角边还是斜边，再对勾股定理变形求解：求斜边直接用两直角边平方和开算术平方根，求直角边用斜边平方减去已知直角边平方后开算术平方根，注意边长为正数，仅取正根。
【解析】
已知$△ ABC$中$∠ C=90°$，故$c$为斜边，$a、b$为直角边，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$计算：
（1）已知$a=3$，$b=4$，求斜边$c$：
$c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
因为边长为正数，所以$c = \sqrt{25} = 5$
（2）已知$a=5$，$c=13$，求直角边$b$：
$b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
因为边长为正数，所以$b = \sqrt{144} = 12$
（3）已知$b=2$，$c=3$，求直角边$a$：
$a^2 = c^2 - b^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$
因为边长为正数，所以$a = \sqrt{5}$
【答案】
(1) 5 (2) 12 (3) $\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理、算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确区分直角三角形的直角边和斜边，正确对勾股定理进行变形计算，注意边长的非负性，需熟练掌握勾股定理的公式及变形用法，为后续复杂的几何计算打好基础。
【难度系数】
0.9
2. 如图,已知两个正方形的面积分别为64和289,则正方形A的面积为
225
。答案
2. 225
解析
【分析】
观察图形可知，三个正方形的边长恰好构成直角三角形的三条边：面积为289的正方形的边长是直角三角形的斜边，另外两个正方形的边长是直角三角形的两条直角边。正方形的面积等于边长的平方，结合勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可得两个小正方形的面积和等于斜边对应的大正方形的面积，因此求正方形A的面积，直接用斜边对应的正方形面积减去已知直角边对应的正方形面积即可。
【解析】
解：根据图形和题意可得：
直角三角形斜边的平方 = 289，
其中一条直角边的平方 = 64，
由勾股定理可知，另一条直角边的平方 = 289 - 64 = 225，
正方形A的边长为该直角边，因此正方形A的面积等于这条直角边的平方，即225。
【答案】
225
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的几何意义，解题关键是明确直角三角形三边对应的正方形面积之间的关系，属于基础题型，熟练掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
观察图形可知，三个正方形的边长恰好构成直角三角形的三条边：面积为289的正方形的边长是直角三角形的斜边，另外两个正方形的边长是直角三角形的两条直角边。正方形的面积等于边长的平方，结合勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可得两个小正方形的面积和等于斜边对应的大正方形的面积，因此求正方形A的面积，直接用斜边对应的正方形面积减去已知直角边对应的正方形面积即可。
【解析】
解：根据图形和题意可得：
直角三角形斜边的平方 = 289，
其中一条直角边的平方 = 64，
由勾股定理可知，另一条直角边的平方 = 289 - 64 = 225，
正方形A的边长为该直角边，因此正方形A的面积等于这条直角边的平方，即225。
【答案】
225
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的几何意义，解题关键是明确直角三角形三边对应的正方形面积之间的关系，属于基础题型，熟练掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 利用圆规，在如图数轴上表示$-\sqrt{5}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{13}$的点。
答案
解：
设图中每个小方格的边长为1个单位长度：
① 作表示$-\sqrt{5}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1^2}$，在数轴上原点左侧取点$A(-2,0)$，过点A作数轴的垂线，在垂线上向上截取1个单位长度得到点B，连接OB，则$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。以原点O为圆心，OB长为半径画弧，与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{5}$的点。
② 作表示$\sqrt{8}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，在数轴上取点$C(2,0)$，过点C作数轴的垂线，在垂线上向上截取2个单位长度得到点D，连接OD，则$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$。以原点O为圆心，OD长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点。
③ 作表示$\sqrt{13}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{13}=\sqrt{3^2+2^2}$，在数轴上取点$E(3,0)$，过点E作数轴的垂线，在垂线上向上截取2个单位长度得到点F，连接OF，则$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。以原点O为圆心，OF长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{13}$的点。
设图中每个小方格的边长为1个单位长度：
① 作表示$-\sqrt{5}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1^2}$，在数轴上原点左侧取点$A(-2,0)$，过点A作数轴的垂线，在垂线上向上截取1个单位长度得到点B，连接OB，则$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。以原点O为圆心，OB长为半径画弧，与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{5}$的点。
② 作表示$\sqrt{8}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，在数轴上取点$C(2,0)$，过点C作数轴的垂线，在垂线上向上截取2个单位长度得到点D，连接OD，则$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$。以原点O为圆心，OD长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点。
③ 作表示$\sqrt{13}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{13}=\sqrt{3^2+2^2}$，在数轴上取点$E(3,0)$，过点E作数轴的垂线，在垂线上向上截取2个单位长度得到点F，连接OF，则$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。以原点O为圆心，OF长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{13}$的点。
解析
【分析】
要在数轴上表示无理数，可借助勾股定理将无理数转化为直角三角形的斜边长度，再用圆规将该长度平移到数轴对应位置。首先明确图中小方格边长为1个单位长度，先将三个无理数的被开方数拆分为两个整数的平方和：$5=2^2+1^2$，$8=2^2+2^2$，$13=3^2+2^2$，分别构造对应直角边长的直角三角形得到对应的斜边长度，再以原点为圆心、斜边长度为半径画弧，与数轴的交点即为所求点，其中$-\sqrt{5}$对应数轴负半轴的交点，$\sqrt{8}$和$\sqrt{13}$对应数轴正半轴的交点。
【解析】
设图中每个小方格的边长为1个单位长度：
① 作表示$-\sqrt{5}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1^2}$，在数轴上原点左侧取点$A(-2,0)$，过点A作数轴的垂线，在垂线上向上截取1个单位长度得到点B，连接OB，则$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。以原点O为圆心，OB长为半径画弧，与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{5}$的点。
② 作表示$\sqrt{8}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，在数轴上取点$C(2,0)$，过点C作数轴的垂线，在垂线上向上截取2个单位长度得到点D，连接OD，则$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$。以原点O为圆心，OD长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点。
③ 作表示$\sqrt{13}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{13}=\sqrt{3^2+2^2}$，在数轴上取点$E(3,0)$，过点E作数轴的垂线，在垂线上向上截取2个单位长度得到点F，连接OF，则$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。以原点O为圆心，OF长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{13}$的点。
【答案】
按照上述步骤作出的数轴上三个交点，分别为表示$-\sqrt{5}$、$\sqrt{8}$、$\sqrt{13}$的点。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 数轴的表示
3. 尺规作图
【点评】
本题是勾股定理的应用类题型，体现了数形结合的思想，既考查了勾股定理的计算应用，也考查了动手作图能力，帮助理解无理数的几何意义。
【难度系数】
0.7
要在数轴上表示无理数，可借助勾股定理将无理数转化为直角三角形的斜边长度，再用圆规将该长度平移到数轴对应位置。首先明确图中小方格边长为1个单位长度，先将三个无理数的被开方数拆分为两个整数的平方和：$5=2^2+1^2$，$8=2^2+2^2$，$13=3^2+2^2$，分别构造对应直角边长的直角三角形得到对应的斜边长度，再以原点为圆心、斜边长度为半径画弧，与数轴的交点即为所求点，其中$-\sqrt{5}$对应数轴负半轴的交点，$\sqrt{8}$和$\sqrt{13}$对应数轴正半轴的交点。
【解析】
设图中每个小方格的边长为1个单位长度：
① 作表示$-\sqrt{5}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1^2}$，在数轴上原点左侧取点$A(-2,0)$，过点A作数轴的垂线，在垂线上向上截取1个单位长度得到点B，连接OB，则$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。以原点O为圆心，OB长为半径画弧，与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{5}$的点。
② 作表示$\sqrt{8}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，在数轴上取点$C(2,0)$，过点C作数轴的垂线，在垂线上向上截取2个单位长度得到点D，连接OD，则$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$。以原点O为圆心，OD长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点。
③ 作表示$\sqrt{13}$的点：
由勾股定理得$\sqrt{13}=\sqrt{3^2+2^2}$，在数轴上取点$E(3,0)$，过点E作数轴的垂线，在垂线上向上截取2个单位长度得到点F，连接OF，则$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。以原点O为圆心，OF长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{13}$的点。
【答案】
按照上述步骤作出的数轴上三个交点，分别为表示$-\sqrt{5}$、$\sqrt{8}$、$\sqrt{13}$的点。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 数轴的表示
3. 尺规作图
【点评】
本题是勾股定理的应用类题型，体现了数形结合的思想，既考查了勾股定理的计算应用，也考查了动手作图能力，帮助理解无理数的几何意义。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$。$M$ 是 $AB$ 的中点，则 $CM=$
5
。答案
4. 5
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：△ABC是直角三角形，两条直角边AC、BC长度已知，CM是斜边AB的中线。首先利用勾股定理计算出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出CM的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
根据勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，
∴ $AB=10$（边长为正数，取算术平方根）。
∵ M是AB的中点，CM是斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查勾股定理的应用和直角三角形的特殊性质，熟练掌握相关定理即可快速得出结果，是直角三角形相关计算中的常见典型题。
【难度系数】
0.9
解题时先明确已知条件：△ABC是直角三角形，两条直角边AC、BC长度已知，CM是斜边AB的中线。首先利用勾股定理计算出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出CM的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
根据勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，
∴ $AB=10$（边长为正数，取算术平方根）。
∵ M是AB的中点，CM是斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查勾股定理的应用和直角三角形的特殊性质，熟练掌握相关定理即可快速得出结果，是直角三角形相关计算中的常见典型题。
【难度系数】
0.9
5. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$。若$AB=AC=2\ \mathrm{cm}$，$AD=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，求$BC$的长。
答案
5. 因为 $AD⊥BC,AB=2,AD=\sqrt{2}$,所以 $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。又因为 $AB=AC$,所以 $BC=2BD=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD垂直BC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是BC边上的中线，即BC=2BD，因此只需要求出BD的长度就能得到BC的长；再观察△ABD是直角三角形，已知斜边AB和直角边AD的长度，直接用勾股定理即可求出BD的长度，最后乘2即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是BC边上的中线，即BC=2BD。
在Rt△ABD中，AB=2cm，AD=√2 cm，
由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=2BD=2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将等腰三角形三线合一的性质与勾股定理结合考查，解题关键是先通过等腰三角形性质转化所求线段，再用勾股定理计算，有助于巩固基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD垂直BC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是BC边上的中线，即BC=2BD，因此只需要求出BD的长度就能得到BC的长；再观察△ABD是直角三角形，已知斜边AB和直角边AD的长度，直接用勾股定理即可求出BD的长度，最后乘2即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是BC边上的中线，即BC=2BD。
在Rt△ABD中，AB=2cm，AD=√2 cm，
由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=2BD=2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将等腰三角形三线合一的性质与勾股定理结合考查，解题关键是先通过等腰三角形性质转化所求线段，再用勾股定理计算，有助于巩固基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
