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4. 24个完全相同的铁圆锥,可以熔铸成与它们等底等高的圆柱的个数是(
A. 36
B. 8
C. 12
B
)。A. 36
B. 8
C. 12
答案
4. B
解析
【分析】
首先我们要明确两个核心前提：第一，熔铸过程中物体的总体积不会发生变化，仅形状改变；第二，回忆等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，可知等底等高时1个圆柱的体积等于3个圆锥的体积，也就是每3个符合要求的铁圆锥才能熔铸成1个等底等高的圆柱。接下来只需要用圆锥的总个数除以3，就能算出可熔铸的圆柱数量。
【解析】
1. 推导等底等高的圆柱与圆锥的体积关系：
设二者的底面积为S，高为h，
圆柱体积公式：$V_{柱}=Sh$
圆锥体积公式：$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$
因此可得 $V_{柱}=3V_{锥}$，即3个完全相同的等底等高铁圆锥的总体积，等于1个等底等高圆柱的体积。
2. 计算可熔铸的圆柱个数：
总共有24个铁圆锥，因此圆柱个数为 $24÷3=8$ 个。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥体积计算，圆柱体积计算，等底等高柱锥体积关系
【点评】
本题属于立体几何基础题型，核心考察对等底等高的圆柱、圆锥体积倍数关系的掌握，易错点是容易把倍数关系搞反，误将圆锥数量乘3得到错误结果，只要牢记3个等底等高圆锥体积等价于1个圆柱体积，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
首先我们要明确两个核心前提：第一，熔铸过程中物体的总体积不会发生变化，仅形状改变；第二，回忆等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，可知等底等高时1个圆柱的体积等于3个圆锥的体积，也就是每3个符合要求的铁圆锥才能熔铸成1个等底等高的圆柱。接下来只需要用圆锥的总个数除以3，就能算出可熔铸的圆柱数量。
【解析】
1. 推导等底等高的圆柱与圆锥的体积关系：
设二者的底面积为S，高为h，
圆柱体积公式：$V_{柱}=Sh$
圆锥体积公式：$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$
因此可得 $V_{柱}=3V_{锥}$，即3个完全相同的等底等高铁圆锥的总体积，等于1个等底等高圆柱的体积。
2. 计算可熔铸的圆柱个数：
总共有24个铁圆锥，因此圆柱个数为 $24÷3=8$ 个。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥体积计算，圆柱体积计算，等底等高柱锥体积关系
【点评】
本题属于立体几何基础题型，核心考察对等底等高的圆柱、圆锥体积倍数关系的掌握，易错点是容易把倍数关系搞反，误将圆锥数量乘3得到错误结果，只要牢记3个等底等高圆锥体积等价于1个圆柱体积，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
5. 一块铁皮(如右图),配上两块(
A. $d=4.5$分米的圆形铁皮
B. $d=9$分米的圆形铁皮
C. $d=18.84$分米的圆形铁皮
B
)可以做成圆柱。A. $d=4.5$分米的圆形铁皮
B. $d=9$分米的圆形铁皮
C. $d=18.84$分米的圆形铁皮
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确圆柱的组成特征：这块长方形铁皮是圆柱的侧面，要搭配的圆形铁皮是圆柱的两个底面，长方形的其中一条边的长度就等于底面圆的周长。我们可以分两种情况计算对应的底面直径：第一种把长方形的长作为底面周长，第二种把长方形的宽作为底面周长，利用圆的周长公式$C=π d$反推直径$d=C÷π$，再对比选项里的直径，就能找到符合要求的答案。
【解析】
要做成圆柱，长方形铁皮的边需作为底面圆的周长，根据圆的周长公式$C=π d$，可得底面直径$d=C÷π$：
1. 若以长方形的长28.26分米作为底面周长：
$d=28.26÷3.14=9$分米
2. 若以长方形的宽18.84分米作为底面周长：
$d=18.84÷3.14=6$分米
对比三个选项，只有直径为9分米的圆形铁皮符合计算结果，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面展开图，圆的周长计算
【点评】
本题考察圆柱侧面和底面的对应关系，解题时要注意长方形的长和宽都可以作为圆柱底面的周长，不要只默认其中一条边为底面周长，计算出所有可能的底面直径后再匹配选项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确圆柱的组成特征：这块长方形铁皮是圆柱的侧面，要搭配的圆形铁皮是圆柱的两个底面，长方形的其中一条边的长度就等于底面圆的周长。我们可以分两种情况计算对应的底面直径：第一种把长方形的长作为底面周长，第二种把长方形的宽作为底面周长，利用圆的周长公式$C=π d$反推直径$d=C÷π$，再对比选项里的直径，就能找到符合要求的答案。
【解析】
要做成圆柱，长方形铁皮的边需作为底面圆的周长，根据圆的周长公式$C=π d$，可得底面直径$d=C÷π$：
1. 若以长方形的长28.26分米作为底面周长：
$d=28.26÷3.14=9$分米
2. 若以长方形的宽18.84分米作为底面周长：
$d=18.84÷3.14=6$分米
对比三个选项，只有直径为9分米的圆形铁皮符合计算结果，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面展开图，圆的周长计算
【点评】
本题考察圆柱侧面和底面的对应关系，解题时要注意长方形的长和宽都可以作为圆柱底面的周长，不要只默认其中一条边为底面周长，计算出所有可能的底面直径后再匹配选项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
6. 一个长方体的长、宽、高分别是8分米、6分米、7分米,把它削成一个最大的圆柱,求这个圆柱的最大体积的算式是(
A. $3.14×(\frac{6}{2})^{2}×7$
B. $3.14×(\frac{7}{2})^{2}×6$
C. $3.14×(\frac{6}{2})^{2}×8$
B
)。A. $3.14×(\frac{6}{2})^{2}×7$
B. $3.14×(\frac{7}{2})^{2}×6$
C. $3.14×(\frac{6}{2})^{2}×8$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道题，核心思路是明确：在长方体内削出最大圆柱时，圆柱的底面圆必须能完全贴合在长方体的某一个长方形面上，圆的直径最大只能等于对应长方形面的较短边长，圆柱的高则为长方体剩下的第三条棱长。我们需要把所有符合要求的削法对应的圆柱体积都计算出来，对比后选出体积最大的那个对应的算式即可，不能仅凭直觉认为高越大体积就越大。
【解析】
圆柱的体积公式为$V=π r^2 h = π (\frac{d}{2})^2 h$，我们分三种可能的削法分别计算体积：
1. 以长8分米、宽6分米的面作为圆柱的底面：此时底面圆最大直径为6分米，圆柱的高为7分米，对应选项A的算式，体积为：
$3.14×(\frac{6}{2})^2×7=3.14×9×7=197.82$（立方分米）
2. 以长8分米、宽7分米的面作为圆柱的底面：此时底面圆最大直径为7分米，圆柱的高为6分米，对应选项B的算式，体积为：
$3.14×(\frac{7}{2})^2×6=3.14×12.25×6=230.79$（立方分米）
3. 以长6分米、宽7分米的面作为圆柱的底面：此时底面圆最大直径为6分米，圆柱的高为8分米，对应选项C的算式，体积为：
$3.14×(\frac{6}{2})^2×8=3.14×9×8=226.08$（立方分米）
对比三个体积：$230.79＞226.08＞197.82$，可知选项B对应的圆柱体积最大。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算，长方体内切圆柱
【点评】
本题属于易错题，很多同学会直接默认高取最大值就能得到最大体积，忽略了底面积是和直径的平方成正比的，直径的变化对体积的影响往往更大，解题时必须把所有合法的削法全部枚举计算后再对比，才能得到正确的最大体积。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，核心思路是明确：在长方体内削出最大圆柱时，圆柱的底面圆必须能完全贴合在长方体的某一个长方形面上，圆的直径最大只能等于对应长方形面的较短边长，圆柱的高则为长方体剩下的第三条棱长。我们需要把所有符合要求的削法对应的圆柱体积都计算出来，对比后选出体积最大的那个对应的算式即可，不能仅凭直觉认为高越大体积就越大。
【解析】
圆柱的体积公式为$V=π r^2 h = π (\frac{d}{2})^2 h$，我们分三种可能的削法分别计算体积：
1. 以长8分米、宽6分米的面作为圆柱的底面：此时底面圆最大直径为6分米，圆柱的高为7分米，对应选项A的算式，体积为：
$3.14×(\frac{6}{2})^2×7=3.14×9×7=197.82$（立方分米）
2. 以长8分米、宽7分米的面作为圆柱的底面：此时底面圆最大直径为7分米，圆柱的高为6分米，对应选项B的算式，体积为：
$3.14×(\frac{7}{2})^2×6=3.14×12.25×6=230.79$（立方分米）
3. 以长6分米、宽7分米的面作为圆柱的底面：此时底面圆最大直径为6分米，圆柱的高为8分米，对应选项C的算式，体积为：
$3.14×(\frac{6}{2})^2×8=3.14×9×8=226.08$（立方分米）
对比三个体积：$230.79＞226.08＞197.82$，可知选项B对应的圆柱体积最大。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算，长方体内切圆柱
【点评】
本题属于易错题，很多同学会直接默认高取最大值就能得到最大体积，忽略了底面积是和直径的平方成正比的，直径的变化对体积的影响往往更大，解题时必须把所有合法的削法全部枚举计算后再对比，才能得到正确的最大体积。
【难度系数】
0.6
四、实践操作。(共6分)
在下面的方格纸上画出圆柱的展开图。(每个小方格的边长表示1 cm)
在下面的方格纸上画出圆柱的展开图。(每个小方格的边长表示1 cm)
答案
3.14×2 = 6.28 (cm)
答：在方格纸上画出长为6.28cm、宽为5cm的长方形作为圆柱的侧面，再在长方形旁的合适空白位置画出2个直径为2cm的完全相同的圆作为圆柱的上下底面，即为该圆柱的展开图。
答：在方格纸上画出长为6.28cm、宽为5cm的长方形作为圆柱的侧面，再在长方形旁的合适空白位置画出2个直径为2cm的完全相同的圆作为圆柱的上下底面，即为该圆柱的展开图。
解析
【分析】
首先明确圆柱展开图的组成：1个侧面长方形+2个完全相同的圆形底面。解题时先确定各部分尺寸：首先圆柱的高是5cm，对应侧面展开长方形的宽就是5cm；侧面展开长方形的长等于圆柱底面的周长，已知底面直径为2cm，用圆的周长公式就能算出长的数值；最后两个底面圆的直径就是给定的2cm，所有尺寸确认后就可以在方格纸上对应绘制各部分了。
【解析】
步骤1：计算侧面展开图的长
圆柱沿高展开后，侧面长方形的长等于圆柱底面的周长，已知底面直径d=2cm，代入圆的周长公式计算：
$C=π d=3.14×2=6.28\ \mathrm{cm}$
步骤2：绘制侧面长方形
长方形的长为6.28cm，宽等于圆柱的高5cm，在方格纸上横向画出长度约6.28cm（占6个完整方格加0.28格）、纵向高度为5格的长方形，作为圆柱的侧面。
步骤3：绘制上下底面圆
圆柱的两个底面是完全相同的圆，直径为2cm即半径1cm，在长方形旁的空白位置，画出2个直径占2个方格长度的等大的圆，就完成了圆柱展开图的绘制。
【答案】
3.14×2 = 6.28 (cm)
答：在方格纸上画出长为6.28cm、宽为5cm的长方形作为圆柱的侧面，再在长方形旁的合适空白位置画出2个直径为2cm的完全相同的圆作为圆柱的上下底面，即为该圆柱的展开图。
【知识点】
圆柱展开图，圆的周长计算
【点评】
本题考察圆柱展开图的核心特征，需要学生准确理解侧面展开图的长和底面周长的对应关系，规避把侧面长错当成底面直径的常见错误，结合方格边长1cm的设定合理排布图形位置即可完成绘制。
【难度系数】
0.7
首先明确圆柱展开图的组成：1个侧面长方形+2个完全相同的圆形底面。解题时先确定各部分尺寸：首先圆柱的高是5cm，对应侧面展开长方形的宽就是5cm；侧面展开长方形的长等于圆柱底面的周长，已知底面直径为2cm，用圆的周长公式就能算出长的数值；最后两个底面圆的直径就是给定的2cm，所有尺寸确认后就可以在方格纸上对应绘制各部分了。
【解析】
步骤1：计算侧面展开图的长
圆柱沿高展开后，侧面长方形的长等于圆柱底面的周长，已知底面直径d=2cm，代入圆的周长公式计算：
$C=π d=3.14×2=6.28\ \mathrm{cm}$
步骤2：绘制侧面长方形
长方形的长为6.28cm，宽等于圆柱的高5cm，在方格纸上横向画出长度约6.28cm（占6个完整方格加0.28格）、纵向高度为5格的长方形，作为圆柱的侧面。
步骤3：绘制上下底面圆
圆柱的两个底面是完全相同的圆，直径为2cm即半径1cm，在长方形旁的空白位置，画出2个直径占2个方格长度的等大的圆，就完成了圆柱展开图的绘制。
【答案】
3.14×2 = 6.28 (cm)
答：在方格纸上画出长为6.28cm、宽为5cm的长方形作为圆柱的侧面，再在长方形旁的合适空白位置画出2个直径为2cm的完全相同的圆作为圆柱的上下底面，即为该圆柱的展开图。
【知识点】
圆柱展开图，圆的周长计算
【点评】
本题考察圆柱展开图的核心特征，需要学生准确理解侧面展开图的长和底面周长的对应关系，规避把侧面长错当成底面直径的常见错误，结合方格边长1cm的设定合理排布图形位置即可完成绘制。
【难度系数】
0.7
五、走进生活。(共40分)
1. 某超市销售A、B、C三种饮料,已知A种饮料比C种饮料少销售1.8万箱。三种饮料共销售多少万箱? B种饮料销售多少万箱?(6分)
1. 某超市销售A、B、C三种饮料,已知A种饮料比C种饮料少销售1.8万箱。三种饮料共销售多少万箱? B种饮料销售多少万箱?(6分)
答案
1. $1-40\%-25\%=35\%$ $1.8÷(35\%-25\%)=18$(万箱) $18×40\%=7.2$(万箱) 三种饮料共销售18万箱,B种饮料销售7.2万箱
解析
【分析】
这是一道结合扇形统计图的百分数应用题，我们可以按照三步思路解题：第一，把三种饮料的总销量看作单位“1”，也就是整体占比100%，已知A占25%、B占40%，用单位1减去A、B的占比就能算出C饮料的占比；第二，题目给出A比C少销售1.8万箱，先算出C的占比比A的占比多出的部分，这个占比差值就是1.8万箱对应的总销量占比，用“对应部分量÷对应占比”就能求出单位“1”也就是三种饮料的总销量；第三，用总销量直接乘B对应的40%占比，就能算出B种饮料的销量。
【解析】
1. 计算C饮料的占比
扇形统计图整体占比为1，代入已知的A、B占比计算：
$1-40\%-25\%=35\%$
2. 计算三种饮料的总销量
先算出C比A多出的占比：$35\%-25\%=10\%$，该占比对应的实际销量为1.8万箱，因此总销量为：
$1.8÷10\%=18$（万箱）
3. 计算B种饮料的销量
B占总销量的40%，代入总销量计算：
$18×40\%=7.2$（万箱）
【答案】
三种饮料共销售18万箱，B种饮料销售7.2万箱
【知识点】
扇形统计图，百分数应用题
【点评】
本题是扇形统计图和百分数结合的常规实际应用题，核心是找准部分量对应的百分率，利用“部分量÷对应百分率=总数量”求出单位“1”，解题关键是先算出C的占比，找到1.8万箱对应的占比，适合巩固扇形统计和百分数应用的基础知识点。
【难度系数】
0.7
这是一道结合扇形统计图的百分数应用题，我们可以按照三步思路解题：第一，把三种饮料的总销量看作单位“1”，也就是整体占比100%，已知A占25%、B占40%，用单位1减去A、B的占比就能算出C饮料的占比；第二，题目给出A比C少销售1.8万箱，先算出C的占比比A的占比多出的部分，这个占比差值就是1.8万箱对应的总销量占比，用“对应部分量÷对应占比”就能求出单位“1”也就是三种饮料的总销量；第三，用总销量直接乘B对应的40%占比，就能算出B种饮料的销量。
【解析】
1. 计算C饮料的占比
扇形统计图整体占比为1，代入已知的A、B占比计算：
$1-40\%-25\%=35\%$
2. 计算三种饮料的总销量
先算出C比A多出的占比：$35\%-25\%=10\%$，该占比对应的实际销量为1.8万箱，因此总销量为：
$1.8÷10\%=18$（万箱）
3. 计算B种饮料的销量
B占总销量的40%，代入总销量计算：
$18×40\%=7.2$（万箱）
【答案】
三种饮料共销售18万箱，B种饮料销售7.2万箱
【知识点】
扇形统计图，百分数应用题
【点评】
本题是扇形统计图和百分数结合的常规实际应用题，核心是找准部分量对应的百分率，利用“部分量÷对应百分率=总数量”求出单位“1”，解题关键是先算出C的占比，找到1.8万箱对应的占比，适合巩固扇形统计和百分数应用的基础知识点。
【难度系数】
0.7
2. 工厂要建造一个圆柱形蓄水池,蓄水池底面半径是3米,池深5米。如果在蓄水池的四周与底面抹上水泥,那么抹水泥部分的面积是多少平方米?(6分)
答案
2. $π×3×2×5+π×3^2=39π$(平方米)
解析
【分析】
首先读题明确需求：给圆柱形蓄水池的四周和底面抹水泥，说明不需要计算圆柱的上顶面，抹水泥的总面积等于圆柱的侧面积加上1个底面圆的面积。接下来分步思考：第一步先回忆圆柱侧面积的计算方法，圆柱侧面积=底面周长×高，已知底面半径是3米，池深也就是圆柱的高是5米，代入就能算出侧面积；第二步回忆圆的面积公式，代入半径算出单个底面的面积；最后把两部分面积相加，就能得到抹水泥部分的总面积。
【解析】
解：抹水泥部分的面积 = 圆柱侧面积 + 1个底面圆的面积
1. 计算圆柱侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{侧}=2π r h$，其中底面半径$r=3$米，池深即圆柱的高$h=5$米
代入得：$S_{侧}=2×π×3×5=30π$ 平方米
2. 计算底面圆的面积：
圆的面积公式为$S_{底}=π r^2$，$r=3$米
代入得：$S_{底}=π×3^2=9π$ 平方米
3. 求和得到抹水泥总面积：
$S_{总}=30π +9π=39π$ 平方米
【答案】
$39π$平方米
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆的面积计算，圆柱表面积实际应用
【点评】
本题是圆柱表面积的实际应用型题目，核心易错点是不要直接套用完整圆柱的表面积公式（包含两个底面），需要结合蓄水池开口无顶面的实际场景，判断仅需计算1个底面加侧面的面积，解题时要注意联系生活实际筛选需要计算的面。
【难度系数】
0.7
首先读题明确需求：给圆柱形蓄水池的四周和底面抹水泥，说明不需要计算圆柱的上顶面，抹水泥的总面积等于圆柱的侧面积加上1个底面圆的面积。接下来分步思考：第一步先回忆圆柱侧面积的计算方法，圆柱侧面积=底面周长×高，已知底面半径是3米，池深也就是圆柱的高是5米，代入就能算出侧面积；第二步回忆圆的面积公式，代入半径算出单个底面的面积；最后把两部分面积相加，就能得到抹水泥部分的总面积。
【解析】
解：抹水泥部分的面积 = 圆柱侧面积 + 1个底面圆的面积
1. 计算圆柱侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{侧}=2π r h$，其中底面半径$r=3$米，池深即圆柱的高$h=5$米
代入得：$S_{侧}=2×π×3×5=30π$ 平方米
2. 计算底面圆的面积：
圆的面积公式为$S_{底}=π r^2$，$r=3$米
代入得：$S_{底}=π×3^2=9π$ 平方米
3. 求和得到抹水泥总面积：
$S_{总}=30π +9π=39π$ 平方米
【答案】
$39π$平方米
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆的面积计算，圆柱表面积实际应用
【点评】
本题是圆柱表面积的实际应用型题目，核心易错点是不要直接套用完整圆柱的表面积公式（包含两个底面），需要结合蓄水池开口无顶面的实际场景，判断仅需计算1个底面加侧面的面积，解题时要注意联系生活实际筛选需要计算的面。
【难度系数】
0.7
3. 一个圆锥形煤堆,底面直径是4米,高1.8米。如果每立方米煤重1.35吨,那么这堆煤大约重多少吨?(结果保留整数)(6分)
答案
3. $\frac{1}{3}×3.14×(\frac{4}{2})^2×1.8×1.35\approx10$(吨)
解析
【分析】
要计算这堆煤的总重量，首先需要先求出圆锥形煤堆的体积，再用体积乘每立方米煤的重量即可得到总重量。解题思路分三步：第一步，已知底面直径，先求出底面半径；第二步，代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$计算出煤堆的体积；第三步，用体积乘单位体积煤的重量，最后对结果取整数保留即可。要注意圆锥体积公式不要遗漏乘$\frac{1}{3}$，这是这类题最容易出错的点。
【解析】
1. 计算圆锥底面半径：
已知底面直径为4米，可得半径$r=4÷2=2$米
2. 代入圆锥体积公式计算煤堆体积：
取$π=3.14$，高$h=1.8$米，代入公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V=\frac{1}{3}×3.14×2^2×1.8$
$=\frac{1}{3}×3.14×4×1.8$
$=7.536$立方米
3. 计算煤堆总重量并取近似值：
总重量 = 煤堆体积 × 每立方米煤重量
$7.536×1.35=10.1736$，按照要求保留整数得结果约为10吨。
【答案】
10吨
【知识点】
圆锥体积计算，小数乘法，近似数取值
【点评】
本题是圆锥体积的生活实际应用题，核心考查圆锥体积公式的运用，最常见的易错点是计算体积时遗漏乘$\frac{1}{3}$，误将圆锥按圆柱体积计算，最后需要按题目要求将结果保留整数，贴合实际称重的应用场景。
【难度系数】
0.7
要计算这堆煤的总重量，首先需要先求出圆锥形煤堆的体积，再用体积乘每立方米煤的重量即可得到总重量。解题思路分三步：第一步，已知底面直径，先求出底面半径；第二步，代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$计算出煤堆的体积；第三步，用体积乘单位体积煤的重量，最后对结果取整数保留即可。要注意圆锥体积公式不要遗漏乘$\frac{1}{3}$，这是这类题最容易出错的点。
【解析】
1. 计算圆锥底面半径：
已知底面直径为4米，可得半径$r=4÷2=2$米
2. 代入圆锥体积公式计算煤堆体积：
取$π=3.14$，高$h=1.8$米，代入公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V=\frac{1}{3}×3.14×2^2×1.8$
$=\frac{1}{3}×3.14×4×1.8$
$=7.536$立方米
3. 计算煤堆总重量并取近似值：
总重量 = 煤堆体积 × 每立方米煤重量
$7.536×1.35=10.1736$，按照要求保留整数得结果约为10吨。
【答案】
10吨
【知识点】
圆锥体积计算，小数乘法，近似数取值
【点评】
本题是圆锥体积的生活实际应用题，核心考查圆锥体积公式的运用，最常见的易错点是计算体积时遗漏乘$\frac{1}{3}$，误将圆锥按圆柱体积计算，最后需要按题目要求将结果保留整数，贴合实际称重的应用场景。
【难度系数】
0.7
