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4. 一根圆柱形钢管长3米,外直径的长度是6分米,管壁的厚度是1分米,每立方分米的钢重7.8千克。10根这样的钢管重多少千克?(6分)
答案
4. $6÷2=3$(分米) $3-1=2$(分米) 3米=30分米 $3.14×(3^2-2^2)×30×7.8×10=36738$(千克)
解析
【分析】
这道题的核心是计算空心圆柱形钢管的总重量，解题思路可以按步骤梳理：1. 先统一单位：题目中钢管长度单位是米，其余条件单位都是分米，首先把长度单位转换为分米，避免单位不统一导致计算错误。2. 计算钢管的外半径：已知外直径是6分米，根据半径=直径÷2算出外半径。3. 计算钢管的内半径：管壁厚度是1分米，用外半径减去管壁厚度就能得到内部空心部分的半径。4. 计算单根钢管的体积：空心圆柱的体积=圆环底面积×钢管长度，圆环底面积=π×(外半径²-内半径²)。5. 先算出单根钢管的重量（体积乘每立方分米钢的重量7.8千克），最后乘10就得到10根钢管的总重量。
【解析】
解：
① 统一长度单位：
3米 = 30分米
② 计算钢管外半径：
外直径为6分米，外半径$R = 6÷2 = 3$分米
③ 计算钢管内半径：
管壁厚度1分米，内半径$r = 3 - 1 = 2$分米
④ 计算单根钢管的体积：
空心圆柱体积$V = π×(R^2 - r^2)× h = 3.14×(3^2 - 2^2)×30 = 471$立方分米
⑤ 计算10根钢管的总重量：
总重量 = 单根体积×每立方分米钢重量×钢管数量 = $471×7.8×10 = 36738$千克
【答案】
36738千克
【知识点】
1. 空心圆柱体积计算
2. 长度单位换算
3. 小数乘法应用
【点评】
本题属于圆柱体积的实际应用题，易错点集中在三处：一是容易忽略单位不统一的问题，忘记把米转换成分米；二是计算内半径时容易错误用外直径直接减厚度，得到错误的内半径数值；三是容易直接按实心圆柱计算体积，忘记减去内部空心部分的体积，解题时要注意规避这些误区。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是计算空心圆柱形钢管的总重量，解题思路可以按步骤梳理：1. 先统一单位：题目中钢管长度单位是米，其余条件单位都是分米，首先把长度单位转换为分米，避免单位不统一导致计算错误。2. 计算钢管的外半径：已知外直径是6分米，根据半径=直径÷2算出外半径。3. 计算钢管的内半径：管壁厚度是1分米，用外半径减去管壁厚度就能得到内部空心部分的半径。4. 计算单根钢管的体积：空心圆柱的体积=圆环底面积×钢管长度，圆环底面积=π×(外半径²-内半径²)。5. 先算出单根钢管的重量（体积乘每立方分米钢的重量7.8千克），最后乘10就得到10根钢管的总重量。
【解析】
解：
① 统一长度单位：
3米 = 30分米
② 计算钢管外半径：
外直径为6分米，外半径$R = 6÷2 = 3$分米
③ 计算钢管内半径：
管壁厚度1分米，内半径$r = 3 - 1 = 2$分米
④ 计算单根钢管的体积：
空心圆柱体积$V = π×(R^2 - r^2)× h = 3.14×(3^2 - 2^2)×30 = 471$立方分米
⑤ 计算10根钢管的总重量：
总重量 = 单根体积×每立方分米钢重量×钢管数量 = $471×7.8×10 = 36738$千克
【答案】
36738千克
【知识点】
1. 空心圆柱体积计算
2. 长度单位换算
3. 小数乘法应用
【点评】
本题属于圆柱体积的实际应用题，易错点集中在三处：一是容易忽略单位不统一的问题，忘记把米转换成分米；二是计算内半径时容易错误用外直径直接减厚度，得到错误的内半径数值；三是容易直接按实心圆柱计算体积，忘记减去内部空心部分的体积，解题时要注意规避这些误区。
【难度系数】
0.6
5. 要做一个圆柱形水桶,以下是已有的铁皮型号可供搭配选择。
(1)你选择的材料是(
(2)你选择的材料制成的水桶最多能装多少千克的水?(1升水重1千克)(3分)
(3)如果选择③号和④号两种材料做一个有盖圆柱形水桶,选择其中一种剪出两个底面,选择另一种做侧面,要想做出的水桶表面积最接近$81\ \mathrm{dm}^{2}$,那么应该如何裁剪?(结果保留两位小数)(4分)
(1)你选择的材料是(
①
)号和(③
)号。(2分)(2)你选择的材料制成的水桶最多能装多少千克的水?(1升水重1千克)(3分)
(3)如果选择③号和④号两种材料做一个有盖圆柱形水桶,选择其中一种剪出两个底面,选择另一种做侧面,要想做出的水桶表面积最接近$81\ \mathrm{dm}^{2}$,那么应该如何裁剪?(结果保留两位小数)(4分)
答案
5. (1) ① ③ (2) $3.14×(4÷2)^2×6=75.36$(立方分米) 75.36立方分米=75.36升 $75.36×1=75.36$(千克) (3) 将③号作为水桶侧面,将④号裁剪成2个直径为$(6÷3.14)\approx1.91$(dm)的圆。
解析
【分析】
首先从圆柱的核心特征入手梳理解题思路：1. 第一问要匹配圆柱的侧面和底面，圆柱侧面展开长方形的其中一条边长度必须等于底面圆的周长，因此先计算两个圆形铁皮的周长，再和两个长方形铁皮的边长对比，找到数值匹配的组合即可。2. 第二问计算装水质量，先通过圆柱容积公式算出容积，再结合1升水重1千克的条件，直接将容积的升数转化为水的质量。3. 第三问需要分两种情况讨论：分别假设两块长方形铁皮其中一块做侧面，另一块裁剪出两个底面，先判断方案是否符合铁皮尺寸限制，再计算对应水桶的表面积，选出最接近81dm²的可行方案，得到最终裁剪方法。
【解析】
(1) 计算两个圆形的周长：
①号圆直径4dm，周长$C_1=π d_1=3.14×4=12.56\ \mathrm{dm}$
②号圆直径5dm，周长$C_2=π d_2=3.14×5=15.7\ \mathrm{dm}$
对比两个长方形的边长：③号长12.56dm、宽6dm，④号长9.42dm、宽2dm，可见①号圆的周长刚好等于③号长方形的长，二者可以搭配组成圆柱水桶，其余组合的圆周长和长方形边长均不匹配。
(2) 所选水桶底面半径$r=4÷2=2\ \mathrm{dm}$，高$h=6\ \mathrm{dm}$，圆柱容积：
$V=π r^2 h=3.14×2^2×6=75.36\ \mathrm{dm}^3$
$75.36\ \mathrm{dm}^3=75.36\ \mathrm{L}$，已知1升水重1千克，因此水的总质量为$75.36×1=75.36$千克。
(3) 分两种方案讨论：
方案1：用④号做侧面，③号裁剪出两个底面：
若④号做侧面，取边长9.42dm作为底面周长，底面直径$d=9.42÷3.14=3\ \mathrm{dm}$，总表面积为$9.42×2 + 2×3.14×(3÷2)^2=32.97\ \mathrm{dm}^2$，远小于81$\mathrm{dm}^2$，不符合要求。
方案2：用③号做侧面，④号裁剪出两个底面：
若取③号的长12.56dm作为底面周长，底面直径为4dm，远大于④号的宽度2dm，无法剪出对应圆；因此取③号的宽6dm作为底面周长，此时底面直径$d=6÷3.14\approx1.91\ \mathrm{dm}$，该直径小于④号的宽度2dm，可以在④号铁皮上剪出2个直径约1.91dm的圆，此时总表面积约为$12.56×6 + 2×3.14×(1.91÷2)^2\approx81.09\ \mathrm{dm}^2$，非常接近81$\mathrm{dm}^2$，符合要求。
【答案】
(1) ①；③
(2) 75.36千克
(3) 将③号作为水桶侧面，将④号裁剪成2个直径约为1.91dm的圆作为水桶的两个底面。
【知识点】
圆柱侧面积与底面周长关系
圆柱容积计算
圆柱表面积计算
【点评】
本题是圆柱的实际应用类题型，既考察了基础的圆柱相关公式计算，又要求学生结合铁皮的实际尺寸限制，对不同组合方案逐一排查筛选，避免生搬硬套公式，能有效锻炼学生的逻辑分析和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.55
首先从圆柱的核心特征入手梳理解题思路：1. 第一问要匹配圆柱的侧面和底面，圆柱侧面展开长方形的其中一条边长度必须等于底面圆的周长，因此先计算两个圆形铁皮的周长，再和两个长方形铁皮的边长对比，找到数值匹配的组合即可。2. 第二问计算装水质量，先通过圆柱容积公式算出容积，再结合1升水重1千克的条件，直接将容积的升数转化为水的质量。3. 第三问需要分两种情况讨论：分别假设两块长方形铁皮其中一块做侧面，另一块裁剪出两个底面，先判断方案是否符合铁皮尺寸限制，再计算对应水桶的表面积，选出最接近81dm²的可行方案，得到最终裁剪方法。
【解析】
(1) 计算两个圆形的周长：
①号圆直径4dm，周长$C_1=π d_1=3.14×4=12.56\ \mathrm{dm}$
②号圆直径5dm，周长$C_2=π d_2=3.14×5=15.7\ \mathrm{dm}$
对比两个长方形的边长：③号长12.56dm、宽6dm，④号长9.42dm、宽2dm，可见①号圆的周长刚好等于③号长方形的长，二者可以搭配组成圆柱水桶，其余组合的圆周长和长方形边长均不匹配。
(2) 所选水桶底面半径$r=4÷2=2\ \mathrm{dm}$，高$h=6\ \mathrm{dm}$，圆柱容积：
$V=π r^2 h=3.14×2^2×6=75.36\ \mathrm{dm}^3$
$75.36\ \mathrm{dm}^3=75.36\ \mathrm{L}$，已知1升水重1千克，因此水的总质量为$75.36×1=75.36$千克。
(3) 分两种方案讨论：
方案1：用④号做侧面，③号裁剪出两个底面：
若④号做侧面，取边长9.42dm作为底面周长，底面直径$d=9.42÷3.14=3\ \mathrm{dm}$，总表面积为$9.42×2 + 2×3.14×(3÷2)^2=32.97\ \mathrm{dm}^2$，远小于81$\mathrm{dm}^2$，不符合要求。
方案2：用③号做侧面，④号裁剪出两个底面：
若取③号的长12.56dm作为底面周长，底面直径为4dm，远大于④号的宽度2dm，无法剪出对应圆；因此取③号的宽6dm作为底面周长，此时底面直径$d=6÷3.14\approx1.91\ \mathrm{dm}$，该直径小于④号的宽度2dm，可以在④号铁皮上剪出2个直径约1.91dm的圆，此时总表面积约为$12.56×6 + 2×3.14×(1.91÷2)^2\approx81.09\ \mathrm{dm}^2$，非常接近81$\mathrm{dm}^2$，符合要求。
【答案】
(1) ①；③
(2) 75.36千克
(3) 将③号作为水桶侧面，将④号裁剪成2个直径约为1.91dm的圆作为水桶的两个底面。
【知识点】
圆柱侧面积与底面周长关系
圆柱容积计算
圆柱表面积计算
【点评】
本题是圆柱的实际应用类题型，既考察了基础的圆柱相关公式计算，又要求学生结合铁皮的实际尺寸限制，对不同组合方案逐一排查筛选，避免生搬硬套公式，能有效锻炼学生的逻辑分析和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.55
6. (1)转化思想是重要的数学思想方法之一,在数学课上,推导圆柱的侧面积计算公式时,我们将圆柱的侧面沿高剪开得到一个长方形,长方形的长相当于圆柱的(
(2)尝试用上面的数学思想解决下面的实际问题。
如图,一个瓶子深24厘米,底面内直径是10厘米,瓶子里水深15厘米。把瓶子盖紧之后使其瓶口向下倒立,这时水深19厘米。这个瓶子的容积是多少毫升?(4分)
底面周长
),长方形的宽相当于圆柱的(高
),根据长方形的面积公式,可以推导出圆柱的侧面积=(底面周长×高
)。(3分)(2)尝试用上面的数学思想解决下面的实际问题。
如图,一个瓶子深24厘米,底面内直径是10厘米,瓶子里水深15厘米。把瓶子盖紧之后使其瓶口向下倒立,这时水深19厘米。这个瓶子的容积是多少毫升?(4分)
答案
6. (1) 底面周长 高 底面周长×高 (2) $24-19=5$(厘米) $π×(10÷2)^2×(15+5)=500π$(立方厘米) $500π$立方厘米=$500π$毫升
解析
【分析】
先解决第(1)小问：回忆圆柱侧面积的推导过程，将圆柱侧面沿高剪开得到的长方形，其中一条边的长度刚好等于圆柱底面一圈的长度，也就是底面周长，另一条边的长度和圆柱的高完全相等，结合长方形面积公式，替换对应量就能推导出圆柱侧面积公式。
再解决第(2)小问：瓶子是不规则容器，直接计算容积难度很高，这里用转化思想简化问题：正放时水的部分是规则圆柱体，高度为15cm；倒立后，水占据了下方19cm的空间，此时瓶子上方空白的部分也是规则圆柱体，空白部分的高度等于瓶子总深度24cm减去倒立后的水深19cm，也就是5cm。瓶子总容积就等于水的体积加上空白部分的体积，两部分底面积都等于瓶子的内底面积，合并后等效为一个底面积和瓶子内底面积相同、总高度为15+5=20cm的规则圆柱的体积，代入圆柱体积公式计算再转换单位即可。
【解析】
(1) 推导圆柱侧面积时，沿高剪开侧面得到的长方形，长相当于圆柱的底面周长，宽相当于圆柱的高，根据长方形面积=长×宽，可推导出圆柱的侧面积=底面周长×高。
(2) 步骤1：计算倒立后瓶内空白部分的高度
$24-19=5$（厘米）
步骤2：计算瓶子的内底面积，已知底面内直径为10厘米，半径为$10÷2=5$厘米
底面积$S=π r^2=π×(10÷2)^2=25π$（平方厘米）
步骤3：瓶子容积等效为底面积为$25π$平方厘米、总高为$15+5=20$厘米的圆柱体积
$V=S×(15+5)=25π×20=500π$（立方厘米）
步骤4：单位转换，1立方厘米=1毫升，因此$500π$立方厘米=$500π$毫升
【答案】
(1) 底面周长；高；底面周长×高
(2) 这个瓶子的容积是$500π$毫升
【知识点】
圆柱侧面积推导，圆柱体积计算，转化思想应用
【点评】
本题先考察圆柱侧面积推导的基础概念，再引导学生将转化思想应用到实际问题中，把不规则瓶子的容积转化为两个规则圆柱的体积之和，避开了直接计算不规则容器部分体积的难点，能很好地锻炼学生的空间思维和转化解题的能力，解题易错点是误算倒立后空白部分的高度，需要明确瓶子总深度和倒立后水深的差值才是空白部分的高度。
【难度系数】
0.6
先解决第(1)小问：回忆圆柱侧面积的推导过程，将圆柱侧面沿高剪开得到的长方形，其中一条边的长度刚好等于圆柱底面一圈的长度，也就是底面周长，另一条边的长度和圆柱的高完全相等，结合长方形面积公式，替换对应量就能推导出圆柱侧面积公式。
再解决第(2)小问：瓶子是不规则容器，直接计算容积难度很高，这里用转化思想简化问题：正放时水的部分是规则圆柱体，高度为15cm；倒立后，水占据了下方19cm的空间，此时瓶子上方空白的部分也是规则圆柱体，空白部分的高度等于瓶子总深度24cm减去倒立后的水深19cm，也就是5cm。瓶子总容积就等于水的体积加上空白部分的体积，两部分底面积都等于瓶子的内底面积，合并后等效为一个底面积和瓶子内底面积相同、总高度为15+5=20cm的规则圆柱的体积，代入圆柱体积公式计算再转换单位即可。
【解析】
(1) 推导圆柱侧面积时，沿高剪开侧面得到的长方形，长相当于圆柱的底面周长，宽相当于圆柱的高，根据长方形面积=长×宽，可推导出圆柱的侧面积=底面周长×高。
(2) 步骤1：计算倒立后瓶内空白部分的高度
$24-19=5$（厘米）
步骤2：计算瓶子的内底面积，已知底面内直径为10厘米，半径为$10÷2=5$厘米
底面积$S=π r^2=π×(10÷2)^2=25π$（平方厘米）
步骤3：瓶子容积等效为底面积为$25π$平方厘米、总高为$15+5=20$厘米的圆柱体积
$V=S×(15+5)=25π×20=500π$（立方厘米）
步骤4：单位转换，1立方厘米=1毫升，因此$500π$立方厘米=$500π$毫升
【答案】
(1) 底面周长；高；底面周长×高
(2) 这个瓶子的容积是$500π$毫升
【知识点】
圆柱侧面积推导，圆柱体积计算，转化思想应用
【点评】
本题先考察圆柱侧面积推导的基础概念，再引导学生将转化思想应用到实际问题中，把不规则瓶子的容积转化为两个规则圆柱的体积之和，避开了直接计算不规则容器部分体积的难点，能很好地锻炼学生的空间思维和转化解题的能力，解题易错点是误算倒立后空白部分的高度，需要明确瓶子总深度和倒立后水深的差值才是空白部分的高度。
【难度系数】
0.6
在一个底面直径是30厘米的圆柱形木桶里,有一段直径为10厘米的圆柱形钢材浸没在水里(无水溢出),当钢材从桶里取出来时,桶里的水下降3厘米。这段钢材长多少厘米?
答案
$π×(30÷2)^2×3÷[π×(10÷2)^2]=27$(厘米)
解析
【分析】
这是典型的排水法求浸没物体长度的题型，解题核心是抓住等量关系：钢材从水中取出后，木桶里下降的那部分水的体积，就等于原本完全浸没在水中的圆柱形钢材的体积。我们可以分两步思考：第一步先根据木桶的底面直径和水面下降的高度，算出下降部分水的体积，也就是钢材的总体积；第二步根据钢材的底面直径算出钢材自身的底面积，用钢材的总体积除以钢材的底面积，就能得到钢材的长度。
【解析】
1. 计算圆柱形木桶的底面半径：
$R = 30÷2 = 15$（厘米）
2. 计算下降部分水的体积（即钢材的体积）：
根据圆柱体积公式$V=π R^2 h$，代入数据得：
$V_{\mathrm{钢}}=π×15^2×3=675π$（立方厘米）
3. 计算圆柱形钢材的底面半径：
$r = 10÷2 = 5$（厘米）
4. 计算钢材的底面积：
$S_{\mathrm{钢}}=π r^2=π×5^2=25π$（平方厘米）
5. 计算钢材的长度：
钢材的长度等于钢材体积除以自身底面积，代入得：
$h_{\mathrm{钢}}=675π÷25π=27$（厘米）
【答案】27厘米
【知识点】圆柱体积计算，排水法求体积
【点评】本题是圆柱体积应用的经典基础题，核心考点就是浸没物体和排开水的体积相等的排水法原理，计算时可以直接约去分子分母的π，不需要代入π的近似值，能大幅简化运算、降低计算出错的概率。
【难度系数】0.7
这是典型的排水法求浸没物体长度的题型，解题核心是抓住等量关系：钢材从水中取出后，木桶里下降的那部分水的体积，就等于原本完全浸没在水中的圆柱形钢材的体积。我们可以分两步思考：第一步先根据木桶的底面直径和水面下降的高度，算出下降部分水的体积，也就是钢材的总体积；第二步根据钢材的底面直径算出钢材自身的底面积，用钢材的总体积除以钢材的底面积，就能得到钢材的长度。
【解析】
1. 计算圆柱形木桶的底面半径：
$R = 30÷2 = 15$（厘米）
2. 计算下降部分水的体积（即钢材的体积）：
根据圆柱体积公式$V=π R^2 h$，代入数据得：
$V_{\mathrm{钢}}=π×15^2×3=675π$（立方厘米）
3. 计算圆柱形钢材的底面半径：
$r = 10÷2 = 5$（厘米）
4. 计算钢材的底面积：
$S_{\mathrm{钢}}=π r^2=π×5^2=25π$（平方厘米）
5. 计算钢材的长度：
钢材的长度等于钢材体积除以自身底面积，代入得：
$h_{\mathrm{钢}}=675π÷25π=27$（厘米）
【答案】27厘米
【知识点】圆柱体积计算，排水法求体积
【点评】本题是圆柱体积应用的经典基础题，核心考点就是浸没物体和排开水的体积相等的排水法原理，计算时可以直接约去分子分母的π，不需要代入π的近似值，能大幅简化运算、降低计算出错的概率。
【难度系数】0.7
