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6. 在一个等腰三角形中,有两条边分别长5厘米和10厘米,那么,这个等腰三角形是(
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
A
)。A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
答案
6. A
解析
【分析】
解题时要分两步推进：第一步先确定该等腰三角形的合法三边长度，已知等腰三角形两条边为5厘米和10厘米，等腰三角形有两条边长度相等，因此分腰长为5厘米、腰长为10厘米两种情况讨论，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”排除不存在的情况，得到唯一有效的三边组合；第二步判断三角形的角的类型，根据“三角形的最大内角决定三角形按角分类的结果”，验证最长边对应的内角属性，即可得到三角形的类型。
【解析】
1. 验证确定三边长度：
等腰三角形两条边分别为5cm和10cm，分两种情况讨论：
情况1：假设腰长为5cm，底边长为10cm，此时两腰之和为5+5=10cm，等于第三边长度，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，该三角形不存在。
情况2：假设腰长为10cm，底边长为5cm，此时5+10＞10，10+10＞5，完全符合三边关系，因此该等腰三角形的三条边长度为5cm、10cm、10cm。
2. 判断三角形角的类型：
该三角形的最长边为10cm，设最长边10cm所对的内角为θ，代入余弦定理计算：
$\cosθ = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 10^2 - 10^2}{2×5×10} = \frac{25}{100}=0.25＞0$
说明θ是锐角，由于三角形中最大的内角是锐角，其余两个内角都小于θ，也都是锐角，因此这个三角形是锐角三角形。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，三角形按角分类
【点评】
本题有两个常见易错点：一是容易忽略三角形三边关系，错误认为三边可以是5cm、5cm、10cm；二是确定三边后凭直觉误判角的类型，解题时要牢记：判断三角形按角分类的核心是验证最大内角的属性，最大角为锐角则整个三角形为锐角三角形。
【难度系数】
0.4
解题时要分两步推进：第一步先确定该等腰三角形的合法三边长度，已知等腰三角形两条边为5厘米和10厘米，等腰三角形有两条边长度相等，因此分腰长为5厘米、腰长为10厘米两种情况讨论，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”排除不存在的情况，得到唯一有效的三边组合；第二步判断三角形的角的类型，根据“三角形的最大内角决定三角形按角分类的结果”，验证最长边对应的内角属性，即可得到三角形的类型。
【解析】
1. 验证确定三边长度：
等腰三角形两条边分别为5cm和10cm，分两种情况讨论：
情况1：假设腰长为5cm，底边长为10cm，此时两腰之和为5+5=10cm，等于第三边长度，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，该三角形不存在。
情况2：假设腰长为10cm，底边长为5cm，此时5+10＞10，10+10＞5，完全符合三边关系，因此该等腰三角形的三条边长度为5cm、10cm、10cm。
2. 判断三角形角的类型：
该三角形的最长边为10cm，设最长边10cm所对的内角为θ，代入余弦定理计算：
$\cosθ = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 10^2 - 10^2}{2×5×10} = \frac{25}{100}=0.25＞0$
说明θ是锐角，由于三角形中最大的内角是锐角，其余两个内角都小于θ，也都是锐角，因此这个三角形是锐角三角形。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，三角形按角分类
【点评】
本题有两个常见易错点：一是容易忽略三角形三边关系，错误认为三边可以是5cm、5cm、10cm；二是确定三边后凭直觉误判角的类型，解题时要牢记：判断三角形按角分类的核心是验证最大内角的属性，最大角为锐角则整个三角形为锐角三角形。
【难度系数】
0.4
7. 以虚线为轴将图形旋转一周,下面选项中的四个图形旋转后形成的几何体与左边的图形旋转后形成的几何体体积相等的是(
B
)。答案
7. B
解析
【分析】
我们的解题思路是：首先算出左侧原始图形绕虚线旋转一周得到的几何体的体积，再依次计算四个选项的图形绕对应虚线旋转后所得几何体的体积，对比后选出体积相等的选项。首先要明确：长方形绕自身一条边所在直线旋转一周得到圆柱，直角三角形绕自身一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥，分别代入对应体积公式，结合图中标注的边长计算即可。
【解析】
1. 计算左侧原图旋转后的体积
左侧图形是长4cm、宽3cm的长方形，竖直边与旋转轴（虚线）重合，绕轴旋转一周得到圆柱：
圆柱底面半径$r_1=4\ \mathrm{cm}$，高$h_1=3\ \mathrm{cm}$，代入圆柱体积公式$V=π r^2 h$：
$V_1=π × 4^2 × 3=48π\ \mathrm{cm}^3$。
2. 分别计算各选项旋转后的体积
选项A：长方形竖直边长4cm，水平边长3cm，绕轴旋转得到圆柱：
$V_A=π × 3^2 × 4=36π\ \mathrm{cm}^3$，和$V_1$不相等。
选项B：直角三角形竖直直角边长4cm，水平直角边长6cm，绕轴旋转得到圆锥，代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V_B=\frac{1}{3} × π × 6^2 × 4=48π\ \mathrm{cm}^3$，和$V_1$相等。
选项C：直角三角形竖直直角边长3cm，水平直角边长8cm，绕轴旋转得到圆锥：
$V_C=\frac{1}{3} × π × 8^2 × 3=64π\ \mathrm{cm}^3$，和$V_1$不相等。
选项D：直角三角形竖直直角边长4cm，水平直角边长8cm，绕轴旋转得到圆锥：
$V_D=\frac{1}{3} × π × 8^2 × 4=\frac{256}{3}π\ \mathrm{cm}^3$，和$V_1$不相等。
综上，只有选项B旋转后形成的几何体体积和左侧原图相等。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，面动成体
【点评】
本题属于立体几何入门的基础题型，核心考点是平面图形旋转得到立体图形的体积计算，解题时要注意圆锥体积公式不要遗漏系数$\frac{1}{3}$，准确识别旋转后几何体的半径和高即可快速完成计算。
【难度系数】
0.7
我们的解题思路是：首先算出左侧原始图形绕虚线旋转一周得到的几何体的体积，再依次计算四个选项的图形绕对应虚线旋转后所得几何体的体积，对比后选出体积相等的选项。首先要明确：长方形绕自身一条边所在直线旋转一周得到圆柱，直角三角形绕自身一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥，分别代入对应体积公式，结合图中标注的边长计算即可。
【解析】
1. 计算左侧原图旋转后的体积
左侧图形是长4cm、宽3cm的长方形，竖直边与旋转轴（虚线）重合，绕轴旋转一周得到圆柱：
圆柱底面半径$r_1=4\ \mathrm{cm}$，高$h_1=3\ \mathrm{cm}$，代入圆柱体积公式$V=π r^2 h$：
$V_1=π × 4^2 × 3=48π\ \mathrm{cm}^3$。
2. 分别计算各选项旋转后的体积
选项A：长方形竖直边长4cm，水平边长3cm，绕轴旋转得到圆柱：
$V_A=π × 3^2 × 4=36π\ \mathrm{cm}^3$，和$V_1$不相等。
选项B：直角三角形竖直直角边长4cm，水平直角边长6cm，绕轴旋转得到圆锥，代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
$V_B=\frac{1}{3} × π × 6^2 × 4=48π\ \mathrm{cm}^3$，和$V_1$相等。
选项C：直角三角形竖直直角边长3cm，水平直角边长8cm，绕轴旋转得到圆锥：
$V_C=\frac{1}{3} × π × 8^2 × 3=64π\ \mathrm{cm}^3$，和$V_1$不相等。
选项D：直角三角形竖直直角边长4cm，水平直角边长8cm，绕轴旋转得到圆锥：
$V_D=\frac{1}{3} × π × 8^2 × 4=\frac{256}{3}π\ \mathrm{cm}^3$，和$V_1$不相等。
综上，只有选项B旋转后形成的几何体体积和左侧原图相等。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，面动成体
【点评】
本题属于立体几何入门的基础题型，核心考点是平面图形旋转得到立体图形的体积计算，解题时要注意圆锥体积公式不要遗漏系数$\frac{1}{3}$，准确识别旋转后几何体的半径和高即可快速完成计算。
【难度系数】
0.7
8. 下面的4个图形中,面积最大的是(
A. 长方形
B. 三角形
C. 平行四边形
D. 圆形
C
)。A. 长方形
B. 三角形
C. 平行四边形
D. 圆形
答案
8. C
解析
【分析】
首先观察题图中四个图形，它们的上下边都落在两条平行线上，因此所有图形的竖直方向的高是完全相等的，我们可以先设这个公共的高为h，再分别代入长方形、三角形、平行四边形、圆形的面积公式计算出各自的面积，最后对比四个面积的大小，就能得到面积最大的图形。这里注意圆形的水平方向标注长度为10cm，也就是圆的直径为10cm，因此公共高h就等于圆的直径10cm，代入计算即可完成比较。
【解析】
设两条平行线之间的距离，也就是四个图形的公共高为h：
1. 计算长方形面积：长方形的底边长为5cm，高为h，根据长方形面积公式$S=ab$，得$S_{长}=5× h=5h$。
2. 计算三角形面积：三角形的底边长为10cm，高为h，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，得$S_{三}=\frac{1}{2}×10× h=5h$。
3. 计算平行四边形面积：平行四边形的底边长为10cm，高为h，根据平行四边形面积公式$S=ah$，得$S_{平}=10× h=10h$。
4. 计算圆形面积：由图可知圆的水平方向直径为10cm，因此圆的半径$r=10÷2=5\mathrm{cm}$，同时圆的直径等于公共高h，即$h=10\mathrm{cm}$，代入圆的面积公式$S=π r^2$，得$S_{圆}=π×5^2=25π\approx78.5\mathrm{cm}^2$。
将h=10代入前三个面积：
$S_{长}=5×10=50\mathrm{cm}^2$，$S_{三}=5×10=50\mathrm{cm}^2$，$S_{平}=10×10=100\mathrm{cm}^2$。
对比四个面积：$100＞78.5＞50$，因此面积最大的是平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
常见图形面积计算，平行线间距离相等
【点评】
本题的核心突破口是发现四个图形的高全部相等，无需额外测量高的数值，直接代入对应面积公式计算对比即可。不少同学会凭直觉误以为圆形面积最大，忽略了平行四边形的底和高的乘积远大于圆的面积，通过定量计算就能避免这类直觉错误。
【难度系数】
0.6
首先观察题图中四个图形，它们的上下边都落在两条平行线上，因此所有图形的竖直方向的高是完全相等的，我们可以先设这个公共的高为h，再分别代入长方形、三角形、平行四边形、圆形的面积公式计算出各自的面积，最后对比四个面积的大小，就能得到面积最大的图形。这里注意圆形的水平方向标注长度为10cm，也就是圆的直径为10cm，因此公共高h就等于圆的直径10cm，代入计算即可完成比较。
【解析】
设两条平行线之间的距离，也就是四个图形的公共高为h：
1. 计算长方形面积：长方形的底边长为5cm，高为h，根据长方形面积公式$S=ab$，得$S_{长}=5× h=5h$。
2. 计算三角形面积：三角形的底边长为10cm，高为h，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，得$S_{三}=\frac{1}{2}×10× h=5h$。
3. 计算平行四边形面积：平行四边形的底边长为10cm，高为h，根据平行四边形面积公式$S=ah$，得$S_{平}=10× h=10h$。
4. 计算圆形面积：由图可知圆的水平方向直径为10cm，因此圆的半径$r=10÷2=5\mathrm{cm}$，同时圆的直径等于公共高h，即$h=10\mathrm{cm}$，代入圆的面积公式$S=π r^2$，得$S_{圆}=π×5^2=25π\approx78.5\mathrm{cm}^2$。
将h=10代入前三个面积：
$S_{长}=5×10=50\mathrm{cm}^2$，$S_{三}=5×10=50\mathrm{cm}^2$，$S_{平}=10×10=100\mathrm{cm}^2$。
对比四个面积：$100＞78.5＞50$，因此面积最大的是平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
常见图形面积计算，平行线间距离相等
【点评】
本题的核心突破口是发现四个图形的高全部相等，无需额外测量高的数值，直接代入对应面积公式计算对比即可。不少同学会凭直觉误以为圆形面积最大，忽略了平行四边形的底和高的乘积远大于圆的面积，通过定量计算就能避免这类直觉错误。
【难度系数】
0.6
9. 下面表述中,正确的有(
① 小芳做抛硬币实验,连续5次抛到反面朝上,接下来再抛一次,则正面朝上的可能性变大。
② 某商品的售价在原价基础上优惠了30%,也就是按原价的七折出售。
③ 0.9和0.90的大小相等,但意义和精确度不同。
④ 一个物体由若干个小正方体拼成,从上面和前面看到的都是,拼成这个物体至少需要5个小正方体。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
C
)句。① 小芳做抛硬币实验,连续5次抛到反面朝上,接下来再抛一次,则正面朝上的可能性变大。
② 某商品的售价在原价基础上优惠了30%,也就是按原价的七折出售。
③ 0.9和0.90的大小相等,但意义和精确度不同。
④ 一个物体由若干个小正方体拼成,从上面和前面看到的都是,拼成这个物体至少需要5个小正方体。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
9. C
解析
【分析】
我们采用逐个验证的思路解题：依次判断4个表述的正误，统计正确表述的总数量即可选出对应选项。首先判断①：抛硬币是独立随机事件，每一次抛硬币正反面朝上的概率都固定为1/2，过往的抛掷结果不会影响下一次的概率，可直接判定该表述错误。接着判断②：优惠30%等价于售价为原价的70%，对应折扣就是七折，表述成立。然后判断③：根据小数性质0.9和0.90大小相等，但二者计数单位、精确位数都不同，意义和精确度有区别，表述成立。最后判断④：从上面看到的图形说明底层至少有4个小正方体，从前面看到的图形说明第二层至少还需要1个小正方体，总数量最少为5个，表述成立。统计后可知正确表述共3句。
【解析】
我们逐一验证每个表述：
1. 对于①：抛硬币的每次结果相互独立，单次抛掷正面朝上的概率始终为$\frac{1}{2}$，不会因为之前连续抛出反面就变大，①错误；
2. 对于②：在原价基础上优惠30%，实际售价为原价的$1-30\%=70\%$，也就是按原价的七折出售，②正确；
3. 对于③：根据小数的性质$0.9=0.90$，二者大小相等；0.9精确到十分位，计数单位是0.1，0.90精确到百分位，计数单位是0.01，二者意义和精确度均不相同，③正确；
4. 对于④：从上面观察到的图形说明底层至少有4个小正方体，从前面观察到的图形说明第二层至少有1个小正方体，总数量最少为$4+1=5$个，④正确。
综上，正确的表述共有3句。
【答案】
C
【知识点】
随机事件概率，小数的意义，观察几何体
【点评】
本题综合考察小学阶段多个基础数学知识点，易错点是容易混淆独立随机事件的概率规律，数最少小正方体数量时容易漏算底层的全部占位，解题时需要逐个对照概念定义判断，避免主观想当然出错。
【难度系数】
0.7
我们采用逐个验证的思路解题：依次判断4个表述的正误，统计正确表述的总数量即可选出对应选项。首先判断①：抛硬币是独立随机事件，每一次抛硬币正反面朝上的概率都固定为1/2，过往的抛掷结果不会影响下一次的概率，可直接判定该表述错误。接着判断②：优惠30%等价于售价为原价的70%，对应折扣就是七折，表述成立。然后判断③：根据小数性质0.9和0.90大小相等，但二者计数单位、精确位数都不同，意义和精确度有区别，表述成立。最后判断④：从上面看到的图形说明底层至少有4个小正方体，从前面看到的图形说明第二层至少还需要1个小正方体，总数量最少为5个，表述成立。统计后可知正确表述共3句。
【解析】
我们逐一验证每个表述：
1. 对于①：抛硬币的每次结果相互独立，单次抛掷正面朝上的概率始终为$\frac{1}{2}$，不会因为之前连续抛出反面就变大，①错误；
2. 对于②：在原价基础上优惠30%，实际售价为原价的$1-30\%=70\%$，也就是按原价的七折出售，②正确；
3. 对于③：根据小数的性质$0.9=0.90$，二者大小相等；0.9精确到十分位，计数单位是0.1，0.90精确到百分位，计数单位是0.01，二者意义和精确度均不相同，③正确；
4. 对于④：从上面观察到的图形说明底层至少有4个小正方体，从前面观察到的图形说明第二层至少有1个小正方体，总数量最少为$4+1=5$个，④正确。
综上，正确的表述共有3句。
【答案】
C
【知识点】
随机事件概率，小数的意义，观察几何体
【点评】
本题综合考察小学阶段多个基础数学知识点，易错点是容易混淆独立随机事件的概率规律，数最少小正方体数量时容易漏算底层的全部占位，解题时需要逐个对照概念定义判断，避免主观想当然出错。
【难度系数】
0.7
10. 小学阶段学习了很多数学知识,它们之间有密切的联系,下面表示关系不正确的是(
B
)。答案
10. B
解析
【分析】
我们需要逐个验证每个选项中数学概念的逻辑关系，先回忆对应概念的定义，判断它们是从属包含关系还是并列关系：1. 先看A选项：正方形是邻边相等的特殊长方形，长方形是有一个角为直角的特殊平行四边形，三者是层层包含的从属关系，图示符合逻辑。2. 再看B选项：正比例和反比例是两种完全不同的比例关系，二者是并列独立的关系，不存在反比例包含正比例的从属关系，图示逻辑明显错误。3. 再看C选项：三角形按角的大小分类，恰好分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，三者是互斥且穷尽的并列关系，图示符合分类逻辑。4. 最后看D选项：同一平面内两条直线的位置关系分为平行、相交两类，垂直是相交中夹角为90°的特殊情况，属于相交的子集，图示符合逻辑。最终就能选出关系不正确的选项。
【解析】
逐一判断各选项的概念逻辑关系：
1. 选项A：平行四边形包含长方形，长方形包含正方形，图示为层层嵌套的包含关系，关系表述正确。
2. 选项B：正比例和反比例是两类完全独立的比例关系，属于并列关系，不存在包含关系，图示用反比例包含正比例，关系表述错误。
3. 选项C：三角形按角分类，恰好分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，三者是并列互斥的关系，图示符合分类逻辑，关系表述正确。
4. 选项D：同一平面内两条直线的位置关系分为平行和相交，垂直是特殊的相交，属于相交的子集，图示关系表述正确。
综上，表示关系不正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
几何概念从属关系，正反比例定义，直线位置关系
【点评】
本题综合考察小学阶段多个基础数学概念的逻辑关联，要求学生准确区分概念间的包含、并列关系，排查概念认知误区，巩固对不同基础概念定义的准确理解。
【难度系数】
0.7
我们需要逐个验证每个选项中数学概念的逻辑关系，先回忆对应概念的定义，判断它们是从属包含关系还是并列关系：1. 先看A选项：正方形是邻边相等的特殊长方形，长方形是有一个角为直角的特殊平行四边形，三者是层层包含的从属关系，图示符合逻辑。2. 再看B选项：正比例和反比例是两种完全不同的比例关系，二者是并列独立的关系，不存在反比例包含正比例的从属关系，图示逻辑明显错误。3. 再看C选项：三角形按角的大小分类，恰好分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，三者是互斥且穷尽的并列关系，图示符合分类逻辑。4. 最后看D选项：同一平面内两条直线的位置关系分为平行、相交两类，垂直是相交中夹角为90°的特殊情况，属于相交的子集，图示符合逻辑。最终就能选出关系不正确的选项。
【解析】
逐一判断各选项的概念逻辑关系：
1. 选项A：平行四边形包含长方形，长方形包含正方形，图示为层层嵌套的包含关系，关系表述正确。
2. 选项B：正比例和反比例是两类完全独立的比例关系，属于并列关系，不存在包含关系，图示用反比例包含正比例，关系表述错误。
3. 选项C：三角形按角分类，恰好分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，三者是并列互斥的关系，图示符合分类逻辑，关系表述正确。
4. 选项D：同一平面内两条直线的位置关系分为平行和相交，垂直是特殊的相交，属于相交的子集，图示关系表述正确。
综上，表示关系不正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
几何概念从属关系，正反比例定义，直线位置关系
【点评】
本题综合考察小学阶段多个基础数学概念的逻辑关联，要求学生准确区分概念间的包含、并列关系，排查概念认知误区，巩固对不同基础概念定义的准确理解。
【难度系数】
0.7
