22. (10分)如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q的速度都是1 cm/s,连接PQ,AQ,CP,设点P,Q运动的时间为t s.
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?
(2)当运动时间t为3时,请判断四边形AQCP是怎样的特殊平行四边形?并说明理由.

22. 【点拨】本题考查矩形的判定,菱形的判定和性质,掌握相关判定方法是解题的关键.
【解析】(1)由题意,得 $BQ = t,DP = t$,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore CD = AB = 4,AD = BC = 8$,
$\therefore AP = 8 - t$.
当四边形 $ABQP$ 是矩形时,$BQ = AP$,
$\therefore t = 8 - t$,解得 $t = 4$,
$\therefore$ 当 $t = 4$ 时,四边形 $ABQP$ 是矩形.
(2)四边形 $AQCP$ 是菱形,理由如下:
$\because AB = 4,BQ = PD = t = 3,∠ B = 90°$,
$\therefore AQ = \sqrt{AB^2 + BQ^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$,
此时,$CQ = CB - BQ = 8 - 3 = 5,AP = AD - PD = 5$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AD // BC$.
$\because CQ = AP$,$\therefore$ 四边形 $AQCP$ 是平行四边形.
$\because AQ = CQ = 5$,$\therefore$ 四边形 $AQCP$ 是菱形.

【分析】
要解决这道题，需结合矩形、菱形的判定定理，先表示出动点运动t秒后各线段的长度：点P从D向A运动，DP=t，故AP=AD-DP=8-t；点Q从B向C运动，BQ=t，故CQ=BC-BQ=8-t。
(1) 四边形ABQP中，ABCD是矩形，所以∠B=∠A=90°，且AP//BQ，要使其为矩形，需满足一组对边相等，即BQ=AP，据此列方程求解t；
(2) 当t=3时，先计算AP、CQ的长度，判断四边形AQCP是平行四边形，再通过勾股定理计算AQ的长度，结合AQ=CQ，判定其为菱形。
【解析】
(1) 由题意，点P、Q的速度均为1cm/s，运动时间为t s，因此：
BQ = t cm，DP = t cm。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD = BC = 8 cm，AB = CD = 4 cm，且AD//BC，∠B=90°，
∴ AP = AD - DP = (8 - t) cm。
若四边形ABQP是矩形，需满足一组对边平行且相等（已有AP//BQ，且∠B=∠A=90°），故BQ = AP，即：
t = 8 - t，
解得 t = 4。
因此，当t=4时，四边形ABQP是矩形。
(2) 当t=3时，BQ=3 cm，DP=3 cm，
则 CQ = BC - BQ = 8 - 3 = 5 cm，
AP = AD - DP = 8 - 3 = 5 cm，
∴ AP = CQ，又
∵ AD//BC（矩形对边平行），即AP//CQ，
∴ 四边形AQCP是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
在Rt△ABQ中，AB=4 cm，BQ=3 cm，由勾股定理得：
AQ = √(AB² + BQ²) = √(4² + 3²) = 5 cm，
∴ AQ = CQ = 5 cm，
∴ 平行四边形AQCP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1) t=4；(2) 四边形AQCP是菱形。
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题为矩形背景下的动点问题，需先表示出动点相关线段的长度，再结合特殊四边形的判定定理逐步推导，考查学生对几何定理的应用能力，是初中几何的典型题型。
【难度系数】
0.5

23. (10分)【阅读材料】先来看一个有趣的现象：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2×2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这种现象的数还有许多，例如：$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}},\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$等.
【猜想】(1)$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\_\_\_\_\_\_$，并证明你的猜想；

23. (1) $\sqrt{5\dfrac{5}{24}} = 5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$,证明如下:
$\sqrt{5\dfrac{5}{24}} = \sqrt{\dfrac{24 × 5 + 5}{24}} = \sqrt{\dfrac{5^2 × 5}{24}} = 5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$.
故答案为 $5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$.

【分析】
本题探究二次根式的“穿墙”变形，解题思路是先将带分数转化为假分数，再对假分数的分子进行因式分解，提取出平方项，最后利用二次根式的性质将平方项开至根号外，从而得到结果。
【解析】
$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{5×24 +5}{24}}=\sqrt{\dfrac{120 +5}{24}}=\sqrt{\dfrac{125}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=\sqrt{5^2}×\sqrt{\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$。
【答案】
$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
【知识点】
二次根式的化简、带分数与假分数的转换
【点评】
本题通过趣味“穿墙”现象考察二次根式的化简，要求学生掌握带分数化假分数的方法和二次根式的性质，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

【推理证明】(2)请你用一个正整数$n$($n$为“穿墙”数，$n≥2$)表示含有上述规律的等式，并给出证明；
【创新应用】(3)按此规律，若$\sqrt{a \dfrac{8}{b}} = a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$($a,b$为正整数)，则$a + b$的值为________.
·53·

23. (2) $\sqrt{n\dfrac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\dfrac{n}{n^2 - 1}}(n≥2)$,证明如下:
$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{n^3 - n + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\dfrac{n^2 · n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\dfrac{n}{n^2 - 1}}(n≥2)$.
(3)由(2)可知,$a = 8,b = a^2 - 1$,
$\therefore b = 8^2 - 1 = 63$,$\therefore a + b = 8 + 63 = 71$. 故答案为 71.

【分析】
先观察等式结构，将带分数转化为假分数，通过二次根式化简探究规律；第(2)问先猜想规律，再通过代数变形证明等式成立；第(3)问直接应用第(2)问的规律，确定a、b的值后计算a+b。
【解析】
(2) 猜想规律：$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\dfrac{n}{n^2 - 1}}(n≥2)$，证明如下：
左边$=\sqrt{\dfrac{n(n^2 -1)+n}{n^2 -1}}=\sqrt{\dfrac{n^3 -n +n}{n^2 -1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2 -1}}=\sqrt{\dfrac{n^2 · n}{n^2 -1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2 -1}}=$右边，故等式成立。
(3) 由(2)的规律可知，$\sqrt{a \dfrac{8}{b}} = a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$中对应$n=8$，因此$a=8$，且$b=a^2 -1=8^2 -1=63$，所以$a+b=8+63=71$。
【答案】
(2) $\sqrt{n\dfrac{n}{n^2 - 1}} = n\sqrt{\dfrac{n}{n^2 - 1}}(n≥2)$；(3) 71
【知识点】
二次根式化简；规律探究
【点评】
本题为规律探究类题目，核心是通过带分数的假分数转化，结合二次根式性质总结规律并证明，再应用规律解题，考查观察、归纳与运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5